Bảng Biến Đổi Laplace – Thông tin tuyển sinh đào tạo Đại học Cao đẳng
Bảng Biến Đổi Laplace đang là thông tin được nhiều người quan tâm tìm hiểu để lựa chọn theo học sau nhiều đợt giãn cách kéo dài do dịch. Website BzHome sẽ giới thiệu cho bạn những thông tin mới nhất chính xác nhất về Bảng Biến Đổi Laplace trong bài viết này nhé!
Nội dung chính
Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]
Từ năm 1744, nhà toán học người Thụy Sĩ Leonhard Euler đã đưa ra các tích phân dưới đây để giải các phương trình vi phân:
và
Năm 1773, nhà toán học người Pháp gốc Ý Joseph-Louis Lagrange, một người rất ngưỡng mộ Euler, đã nghiên cứu cách tính tích phân của hàm mật độ xác suất và đưa ra biểu thức tích phân:
Năm 1782, Laplace đã chú ý đến các dạng tích phân này khi ông tiếp tục công trình của Euler là sử dụng phép tính tích phân để giải phương trình. Đến năm 1785, vượt ra khỏi giới hạn giải quyết các phương trình bằng phương pháp tích phân, ông đã đưa ra các biến đổi mà sẽ trở nên phổ biến về sau, với phép tích phân:
Nó tương tự với biến đổi Mellin, bằng cách biến đổi phương trình sai phân để giải phương trình biến đổi. Với cách thức tương tự, Laplace đã suy ra các tính chất của biến đổi Laplace. Ông cũng nhận ra rằng phương pháp của Joseph Fourier trong chuỗi Fourier để giải phương trình khuếch tán chỉ có thể áp dụng trong một vùng không gian giới hạn.
Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]
Phép biến đổi Laplace là cách tiếp cận miền tần số cho các tín hiệu thời gian liên tục bất kể tính ổn định của hệ thống. Phép biến đổi Laplace của hàm số f(t) (với mọi số thực t ≥ 0) là hàm số F(s), được định nghĩa như sau:
Trong đó: là biến số phức cho bởi (với là miền tần số, có đơn vị là phần giây (second)
Giới hạn chỉ rõ thời điểm bắt đầu ngay trước khi , được dùng để lấy gốc hàm số tại thời điểm .
Biến đổi Laplace hai phía[sửa | sửa mã nguồn]
Một khi nói “biến đổi Laplace” mà không chú ý thêm gì, thường là ta nói đến biến đổi một phía. Biến đổi Laplace có thể được định nghĩa là biến đổi Laplace hai phía bằng cách mở rộng giới hạn của tích phân đến vô cực.
Như vậy, biến đổi Laplace một phía đơn giản sẽ trở thành trường hợp đặc biệt của biến đổi Laplace hai phía, được xác định bằng cách lấy hàm đã chuyển đổi nhân với hàm bước nhảy Heaviside.
Biến đổi Laplace ngược[sửa | sửa mã nguồn]
Biến đổi Laplace ngược giúp chúng ta tìm lại hàm gốc f(t) từ hàm ảnh F(s). Biến đổi Laplace ngược được định nghĩa bởi tích phân sau.
Nhưng thông thường chúng ta ít dùng đến tích phân này để tính hàm gốc mà dùng bảng “các hàm gốc – hàm ảnh tương ứng” đã có sẵn để tìm lại hàm gốc f(t).
Hàm biến đổi Laplace
Biến đổi Laplace được xác định bằng toán tử L {}:
Biến đổi Laplace ngược
Biến đổi Laplace ngược có thể được tính toán trực tiếp.
Thông thường biến đổi nghịch đảo được đưa ra từ bảng biến đổi.
Bảng biến đổi Laplace
| Tên chức năng | Hàm miền thời gian | Biến đổi laplace |
|---|---|---|
|
f ( t ) |
F ( s ) = L { f ( t )} |
|
| Không thay đổi | 1 | |
| Tuyến tính | t | |
| Quyền lực |
t n |
|
| Quyền lực |
t a |
Γ ( a +1) ⋅ s – ( a +1) |
| Số mũ |
e ở |
|
| Sin |
tội lỗi tại |
|
| Cô sin |
cos tại |
|
| Sin hyperbol |
sinh tại |
|
| Cosin hyperbolic |
cosh tại |
|
| Mọc sin |
t tội lỗi tại |
|
| Cosine đang phát triển |
t cos tại |
|
| Hình sin thối rữa |
e -at sin ωt |
|
| Cosin suy giảm |
e -at cos ωt |
|
| Chức năng Delta |
δ ( t ) |
1 |
| Châu thổ bị trì hoãn |
δ ( ta ) |
e -as |
Thuộc tính biến đổi Laplace
Các ví dụ về biến đổi Laplace
Ví dụ 1
Tìm phép biến hình của f (t):
f ( t ) = 3 t + 2 t 2
Giải pháp:
ℒ { t } = 1 / s 2
ℒ { t 2 } = 2 / s 3
F ( s ) = ℒ { f ( t )} = ℒ {3 t + 2 t 2 } = 3ℒ { t } + 2ℒ { t 2 } = 3 / s 2 + 4 / s 3
Ví dụ số 2
Tìm phép biến đổi nghịch đảo của F (s):
F ( s ) = 3 / ( s 2 + s – 6)
Giải pháp:
Để tìm phép biến đổi nghịch đảo, chúng ta cần thay đổi miền của hàm s thành một dạng đơn giản hơn:
F ( s ) = 3 / ( s 2 + s – 6) = 3 / [( s -2) ( s +3)] = a / ( s -2) + b / ( s +3)
[ a ( s +3) + b ( s -2)] / [( s -2) ( s +3)] = 3 / [( s -2) ( s +3)]
a ( s +3) + b ( s -2) = 3
Để tìm a và b, chúng ta nhận được 2 phương trình – một trong các hệ số của s và thứ hai của phần còn lại:
( a + b ) s + 3 a -2 b = 3
a + b = 0, 3 a -2 b = 3
a = 3/5, b = -3/5
F ( s ) = 3/5 ( s -2) – 3/5 ( s +3)
Bây giờ (các) F có thể được biến đổi dễ dàng bằng cách sử dụng bảng biến đổi cho hàm số mũ:
f ( t ) = (3/5) e 2 t – (3/5) e -3 t
Xem thêm
- Phát sinh
- Ký hiệu giải tích
Biến đổi Laplace của phương trình vi phân
Phép biến đổi Laplace là một kỹ thuật toán học được sử dụng phổ biến để giải một phương trình vi phân. Nhiều vấn đề toán học được giải quyết bằng cách sử dụng các phép biến đổi. Ý tưởng là chuyển đổi vấn đề thành một vấn đề khác dễ giải quyết hơn. Mặt khác, phép biến đổi nghịch đảo rất hữu ích để tính toán lời giải cho bài toán đã cho.
Để hiểu rõ hơn, chúng ta hãy giải một phương trình vi phân bậc nhất với sự trợ giúp của phép biến đổi Laplace,
Xét y’- 2y = e 3x và y (0) = -5. Tìm giá trị của L (y).
Bước đầu tiên của phương trình có thể được giải với sự trợ giúp của phương trình tuyến tính:
L (y ‘- 2y] = L (e 3x )
L (y ‘) – L (2y) = 1 / (s-3)
(vì L (e ax ) = 1 / (sa))
L (y ‘) – 2s (y) = 1 / (s-3)
sL (y) – y (0) – 2L (y) = 1 / (s-3)
(Sử dụng thuộc tính tuyến tính của phép biến đổi Laplace)
L (y) (s-2) + 5 = 1 / (s-3) (Giá trị sử dụng của y (0) tức là -5 (đã cho))
L (y) (s-2) = 1 / (s-3) – 5
L (y) = (-5s + 16) / (s-2) (s-3)… .. (1)
ở đây (-5s + 16) / (s-2) (s-3) có thể được viết thành -6 / s-2 + 1 / (s-3) bằng cách sử dụng phương pháp phân số từng phần
(1) ngụ ý L (y) = -6 / (s-2) + 1 / (s-3)
L (y) = -6e 2x + e 3x
Chức năng bước
Hàm bước thường được gọi là hàm Heaviside, và nó được định nghĩa như sau:
uc( t ) = {01tôi f t < ctôi f t ≥ c
Hàm bước có thể nhận các giá trị 0 hoặc 1. Nó giống như một công tắc bật và tắt. Các ký hiệu đại diện cho các hàm Heaviside là u c (t) hoặc u (tc) hoặc H (tc)
Biến đổi của một tổ hợp tuyến tính
Cho 2 hàm f1(t) và f2(t), với các hằng số a, b. F1(s) và F2(s) lần lượt là biến đổi Laplace của f1(t) và f2(t). Ta có:
Thí dụ 10.3
Tìm biến đổi Laplace của cosωt và sinωt
Từ công thức Euler
Biến đổi của e-atf(t)
Khi hàm f(t) nhân với e-at, biến đổi Laplace tương ứng e-at f(t) có được bằng cách thay F(s) bởi F(s+a)
Thí dụ 10.4
Tìm biến đổi Laplace của e-atcosωt và e-atsinωt
Chỉ cần thay s bởi s+a trong các các kết quả biến đổi của hàm sinωt và cosωt ở trên.
Thí dụ 10.5
Biến đổi của f(t-τ)u(t-τ)
f(t-τ) là hàm f(t) trễ τ đơn vị thời gian. (Lưu ý là f(t)=0 khi t<0 nên f(t-τ)=0 khi t<τ)
Hãy so sánh (10.5) và (10.6)
* Ở (10.5), F(s+a) biểu thị sự chuyển dịch của F(s) từ s đến s+a trong lãnh vực tần số tương ứng với nhân hàm f(t) với e-at trong lãnh vực thời gian.
* Ở (10.6), f(t-τ) biểu thị sự chuyển dịch của hàm f(t) từ t đến t-τ trong lãnh vực thời gian tương ứng với nhân F(s) với e-sτ trong lãnh vực tần số.
Thí dụ 10.6
Tìm biến đổi của f(t)=e-3tu(t-2)
Viết lại f(t):
f(t)= e-3(t-2)-6u(t-2) = e-6e-3(t-2) u(t-2)
