Cách Chia Đa Thức – Thông tin tuyển sinh đào tạo Đại học Cao đẳng

Quy tắc chia hai lũy thừa có cùng cơ số

Đầu tiên bạn cần phải nắm được quy tắc chia hai lũy thừa có cùng cơ số. Đó là

với m,n là các số tự nhiên và m>n.

Ví dụ.

Quy tắc chia đơn thức cho đơn thức

Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B) ta làm như sau:

Ví dụ: Chia đơn thức cho đơn thức

Ở phép chia trên ta chia hệ số cho hệ số là 5:10

Sau đó chia lũy thừa của biến a cho lũy thừa của biến a, lũy thừa biến b cho lũy thừa biến b (tức là a²: a² và

)

Cuối cùng ta nhân các kết quả lại với nhau.

Quy tắc chia đa thức cho đơn thức

Muốn chia đa thức A cho đơn thức B ( mọi hạng tử của A đều chia hết cho B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả lại.

(a+b) : c = a : c + b : c

Ví dụ. Chia đa thức cho đơn thức

Quy tắc chia đa thức cho đa thức

Ví dụ. Thực hiện phép chia đa thức cho đa thức:

Giải.

a) Các đa thức đã được sắp xếp theo số mũ giảm dần. Ta chỉ cần thực hiện phép chia.

Đầu tiên ta lấy x² : x được x.

Ta nhân x với x – 1 được x² – x và viết ngay dưới đa thức bị chia.

Ta thực hiện phép trừ đa thức x² – 5x + 4 cho x² – x được -4x + 4.

Ta lấy -4x chia cho x được -4.

Ta nhân -4 với x – 1 được -4x + 4 và viết tiếp xuống dưới để thực hiện phép trừ.

Ta được số dư là 0.

b)

c)

Các ví dụ vừa xong là các phép chia đa thức cho đa thức có số dư bằng 0, tức là phép chia hết.

Đôi khi ta sẽ bắt gặp phép chia đa thức có dư, tức là số dư là một đa thức bậc nhỏ hơn số chia.

Ví dụ như sau:

Như vậy là ta đã học được cách chia đơn thức cho đơn thức, đa thức cho đơn thức và đa thức cho đa thức.

Hãy để lại bình luận nếu có thắc mắc cần giải đáp phần này nhé!

Hãy xem các bài học Toán 8 khác tại đây.

Xem thêm Đề thi Toán 8 tại đây

Lý thuyết chia đa thức cho đa thức 

Chia đa thức A cho đa thức B. Cho A và B là hai đa thức tuỳ ý của cùng một biến số (Cách Chia Đa Thức) ((Bneq 0)), khi đó tồn tại duy nhất một cặp đa thức Q và R sao cho (A=B.Q+R), trong đó (R=0) hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B. 

Q được gọi là đa thức thương, R được gọi là dư trong phép chia A cho B. 

Nếu (R=0) thì phép chia A cho B là phép chia hết. 

Có thể dùng hằng đẳng thức để rút gọn phép chia

((A^{3}+B^{3}):(A+B)=A^{2}-AB+B^{2})

((A^{3}-B^{3}):(A-B)=A^{2}+AB+B^{2})

((A^{2}-B^{2}):(A+B)=A-B)

Ví dụ: Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện phép chia:

1. ((125x^{3} + 1) : (5x + 1))
2. ((x^{2} –2xy + y^{2}) : (y – x))

Hướng dẫn giải:

1. ((125x^{3} + 1) : (5x + 1) = [(5x)^{3} + 1] : (5x + 1) =(5x)^{2}-5x+1 = 25x^{2}-5x+1)
2. ((x^{2}-2xy+y^{2}) : (y-x) = (x-y)^{2}: [-(x-y)] =-(x-y)=y-x)

         Hoặc ((x^{2}–2xy+y^{2}):(y-x) = (y^{2}-2xy+x^{2}) : (y-x))

Cách chia đa thức cho đa thức nâng cao

Tìm thương và dư trong phép chia đa thức 

Phương pháp giải: từ điều kiện đề bài đã cho, đặt phép chia A:B được kết quả là thương Q và dư R.

Tìm điều kiện của m để đa thức A chia hết cho đa thức B

Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của n để biểu thức (4n^{3}-4n^{2}-n+4) chia hết cho biểu thức (2n+1)

Hướng dẫn giải:

Thực hiện phép chia (4n^{3}-4n^{2}-n+4) cho  (2n+1) ta được:

(4n^{3}-4n^{2}-n+4=(2n+1)(n^{2}+1)+3)

Từ đó suy  ra, để có phép chia hết điều kiện là 3 chia hết cho  (2n+1), tức là cần tìm giá trị nguyên của n để   (2n+1) là ước của 3, ta được:

(2n+1=3Leftrightarrow n=1)

(2n+1=1Leftrightarrow n=0)

(2n+1=-3Leftrightarrow n=-2)

(2n+1=-1Leftrightarrow n=-1)

Vây (n=1;n=0;n=2) thỏa mãn điều kiện đề bài.

Ứng dụng định lý Bezout khi giải 

Ngoài ra còn có các dạng toán liên quan như: chia đa thức chứa tham số; chia đa thức với đa thức nguyên hàm.

Bài tập chia đa thức cho đa thức lớp 8

Giải câu 67 sgk Toán 8 tập 1 Trang 31

1.  (x3 – 7x + 3 – x2) : (x – 3).
2. (2x4 – 3x2 – 3x2 – 2 + 6x) : (x2 – 2).

Hướng dẫn giải:

1. (x3 – 7x + 3 – x2) : (x – 3)

     2. (2x4 – 3x2 – 3x2 – 2 + 6x) : (x2 – 2)

Giải câu 69 sgk Toán 8 tập 1 Trang 31

Cho hai đa thức (A = 3x^{4}+ x^{3} + 6x-5) và (B = x^{2}+1). Tìm dư R trong phép chia A cho B rồi viết A dưới dạng (A = B . Q + R)

Hướng dẫn giải:

Để có thể tìm được dư R và Q thì ta cần đặt phép tính và thực hiện phép chia đa thức:

Phép chia đa thức  (A = 3x^{4}+ x^{3} + 6x-5) cho (B = x^{2}+1) được thực hiện như sau:

Suy ra (Q = 3x^{2}+ x-3 ; R = 5x – 2)

Kết luận: (3x^{4}+ x^{3}+ 6x- 5 = (x^{2}+ 1)(3x^{2} + x-3) + 5x – 2)

Giải câu 71 sgk Toán 8 tập 1 Trang 32

Không thực hiện phép chia, hãy xét xem đa thức A có chia hết cho đa thức B hay không?

1. (A = 15x^{4}-8x^{3}+x^{2})

(B=frac{1}{2}x^{2})

      2. (A = x^{2}-2x+1)

(B=1-x)

Hướng  dẫn giải:

1. Ta thấy từng hạng tử của A : (15x^{4} ; 8x^{3} ; x^{2})  đều chia hết cho(x^{2})

Suy ra đa thức A chia hết cho đa thức B.

     2. Ta có: (A = x^{2}-2x+1=(1-x)^{2}), chia hết cho (1-x)

Suy ra đa thức A chia hết cho đa thức B.

Giải câu 73 sgk Toán 8 tập 1 Trang 32

Tính nhanh:

1. ((4x^{2}-9y^{2}) : (2x-3y))
2. ((27x^{3}-1) : (3x-1))
3. ((8x^{3}+1) : (4x^{2}-2x+1))                       
4. ((x^{2}- 3x + xy -3y) : (x + y))

Hướng dẫn giải:

1. ((4x^{2}-9y^{2}) : (2x-3y) = [(2x)^{2}–(3y)^{2}] : (2x-3y)=2x+3y)
2. ((27x^{3}-1) : (3x-1) = [(3x)^{3}-1] : (3x-1) = (3x)^{2} + 3x + 1 = 9x^{2} + 3x + 1)
3. ((8x^{3}+1):(4x^{2}–2x+1)=[(2x)^{3}+1]:(4x^{2}-2x+1)=(2x+1)[(2x)^{2}–2x+1]:(4x^{2}–2x+1)=(2x+1)(4x^{2}–2x+1):(4x^{2}–2x+1)=2x+1)
4. ((x^{2}-3x + xy -3y) : (x + y) = [(x^{2}+ xy)-(3x+3y)] : (x + y) = [x(x + y)-3(x + y)] : (x + y) = (x + y)(x-3) : (x + y) = x-3)

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp kiến thức về chuyên đề chia đa thức cho đa thức: lý thuyết, ví dụ và cách làm. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem thêm >>> 7 Hằng đẳng thức đáng nhớ cơ bản và mở rộng

Xem thêm >>>  Định lý Talet trong tam giác, trong hình thang

Xem thêm >>> Quy tắc nhân đơn thức với đa thức và Một số dạng bài tập

Xem thêm >>> Chuyên đề dấu của tam thức bậc hai và Một số dạng bài tập

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:

(Nguồn: //youtube.com)

Bài viết bao gồm cả lý thuyết và bài tập về chia đa thức một biến đã sắp xếp. Phần lý thuyết có đầy đủ các công thức và tính chất các em đã được học để áp dụng làm các bài tập. Các bài tập đều có hướng dẫn giải giúp các em có hướng làm bài và vận dụng tốt để làm những bài sau.

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP

CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP

A. Tóm tắt kiến thức

1. Phương pháp:

Ta trình bày phép chia tương tự như cách chia các số tự nhiên. Với hai đa thức A và B của một biến, B ≠0 tồn tại duy nhất hai đa thức Q và R sao cho:

A = B . Q + R, với R = 0 hoặc bậc bé hơn bậc của 1

Nếu R = 0, ta được phép chia hết.

Nếu R ≠0, ta được phép chia có dư.

B. Bài tập:

Bài 1

Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến rồi làm phép chia:

a) (x³ – 7x + 3 – x²) : (x – 3);

b) (2x⁴ – 3x² – 3x² – 2 + 6x) : (x² – 2).

Đáp án và hướng dẫn giải bài:

a) (x³ – 7x + 3 – x2) : (x – 3)

Sắp xếp lại: (x³ – x² – 7x + 3 ) : (x – 3)

b) (2x⁴ – 3x² – 3x² – 2 + 6x) : (x² – 2)

Sắp xếp lại: (2x⁴ – 3x² – 3x² + 6x – 2) : (x² – 2)

Bài 2

Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện phép chia:

a) (x² + 2xy + y²) : (x + y);

b) (125x³ + 1) : (5x + 1);

c) (x² – 2xy + y²) : (y – x).

Đáp án và hướng dẫn giải bài:

a) (x² + 2xy + y²) : (x + y) = (x + y)² : (x + y) = x + y.

b) (125x³ + 1) : (5x + 1) = [(5x)³ + 1] : (5x + 1)

= (5x)² – 5x + 1 = 25x² – 5x + 1.

c) (x² – 2xy + y²) : (y – x) = (x – y)² : [-(x – y)] = – (x – y) = y – x

Hoặc (x² – 2xy + y²) : (y – x) = (y² – 2xy + x²) : (y – x)

= (y – x)² : (y – x) = y – x.

Bài 3

Cho hai đa thức A = 3×4 + x3 + 6x – 5 và B = x2+ 1. Tìm dư R trong phép chia A cho B rồi viết A dưới dạng A = B.Q + R.

Đáp án và hướng dẫn giải bài:

Vậy 3x⁴ + x³ + 6x – 5 = (x²+ 1)(3x² + x – 3) + 5x – 2

Bài 4

Làm tính chia:

a) (25x⁵ – 5x⁴ + 10x²) : 5x²;

b) (15x³y² – 6x²y – 3x²y²) : 6x²y.

Đáp án và hướng dẫn giải bài:

a) (25x⁵ – 5x⁴ + 10x²) : 5x² = (25x⁵ : 5x² ) – (5x⁴ : 5x² ) + (10x² : 5x²) = 5×3 – x2 + 2

b) (15x³y² – 6x²y – 3x²y²) : 6x²y

= (15x³y² : 6x²y) + (– 6x²y : 6x²y) + (– 3x²y² : 6x²y)

= 15/6xy – 1 – 3/6y = 5/2xy – 1/2y – 1.

Bài 5

Không thực hiện phép chia, hãy xét xem đa thức A có chia hết cho đa thức B hay không.

a) A = 15x⁴ – 8x³ + x²

B = 1/2x²

b) A = x² – 2x + 1

B = 1 – x

Đáp án và hướng dẫn giải bài:

a) Ta có 15x⁴ ; 8x³ ; x² chia hết cho 1/2x² nên đa thức A chia hết cho B.

b) A chia hết cho B, vì x² – 2x + 1 = (1 – x)², chia hết cho 1 – x

Bài 6

Làm tính chia:

(2x⁴ + x³ – 3x² + 5x – 2) : (x² – x + 1).

Đáp án và hướng dẫn giải bài

Khi đó :(2x⁴ + x³ – 3x² + 5x – 2) = (x² – x + 1)(2x³ + 3x – 2).

Bài 7

Tính nhanh:

a) (4x² – 9y2) : (2x – 3y);               b) (27x³ – 1) : (3x – 1);

c) (8x³ + 1) : (4x² – 2x + 1);             d) (x² – 3x + xy -3y) : (x + y)

Đáp án và hướng dẫn giải bài:

a) (4x² – 9y²) : (2x – 3y) = [(2x)² – (3y)²] : (2x – 3y) = (2x –3y)(2x +3y) : (2x –3y) = 2x + 3y;

b) (27x³ – 1) : (3x – 1) = [(3x)³ – 1] : (3x – 1) = (3x – 1) [(3x)2 + 3x + 1] : (3x – 1) = 9x²+ 3x + 1

c) (8x³ + 1) : (4x² – 2x + 1) = [(2x)³ + 1] : (4x² – 2x + 1)

= (2x + 1)[(2x)² – 2x + 1] : (4x² – 2x + 1)

= (2x + 1)(4x² – 2x + 1) : (4×2 – 2x + 1) = 2x + 1

d) (x² – 3x + xy -3y) : (x + y)

= [(x² + xy) – (3x + 3y)] : (x + y)

= [x(x + y) – 3(x + y)] : (x + y)

= (x + y)(x – 3) : (x + y)

= x – 3.

Bài 8

Tìm số a để đa thức 2x³ – 3x² + x + a chia hết cho đa thức x + 2

Đáp án và hướng dẫn giải bài:

Khi đó 2x³ – 3x² + x + a = (x + 2) (2x² – 7x + 15) + a – 30 để đa thức 2x³ – 3×2 + x + a chia hết cho đa thức (x + 2) thì phần dư a – 30 = 0 hay a = 30.

Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Lý thuyết Chia đa thức cho đa thức – lớp 8

Chia đa thức A cho đa thức B: Cho A và B là hai đa thức tuỳ ý của cùng một biến số (B ≠ 0), khi đó tồn tại duy nhất một cặp đa thức Q và R sao cho A = B.Q + R với R = 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B. Nếu R = 0 thì đó là phép chia hết, ngược lại là phép chia có dư. 

Trong đó:

• A, B là các đa thức. 
• R được gọi là dư trong phép chia A cho B.
• Q được gọi là đa thức thương của phép chia đa thức A cho đa thức B.

Để rút gọn cho phép chia đa thức và khai triển đa thức thành các bậc dễ nhìn thì bạn có thể sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn phép chia đa thức cho đa thức và cả chia đa thức cho đơn thức. 

(A3 + B3) : (A + B) = A2 − AB + B2

(A3 − B3) : (A − B) = A2 + AB + B2

(A2 − B2) : (A + B) = A – B

Ví dụ:  

Dùng hằng đẳng thức để thực hiện phép chia đa thức cho đa thức sau: 

1. (125x3 + 1) : (5x + 1)
2. (x2 –2xy + y2) : (y – x)

Hướng dẫn: 

1. (125x3 + 1) : (5x + 1) = [(5x)3 + 1] : (5x + 1)= (5x)2 − 5x + 1 =25x2 − 5x + 1
2. (x2 −2xy + y2) : (y − x) = (x − y)2 : [−(x − y)] = −(x − y) = y − x

Cách chia đa thức cho đa thức nâng cao

Tìm thương và số dư trong phép chia đa thức

Phương pháp: 

Từ điều kiện đề bài đã cho, đặt phép chia A cho B rồi viết A dưới dạng A = B.Q + R.

Ví dụ: 

Cho hai đa thức A = 3x4 + x3 + 6x – 5 và B = x2 + 1. Tìm dư R trong phép chia A cho B rồi viết A dưới dạng A = B.Q + R.

Giải: 

Thực hiện phép chia như sau:

Kết luận: Vậy số dư trong phép chia là 5x – 2 và đa thức A được viết lại dưới dạng 3x4 + x3 + 6x – 5 = (x2 + 1)(3x2 + x – 3) + 5x – 2

Tìm điều kiện để thực hiện phép chia đa thức

Dạng toán: 

Tìm điều kiện của m để đa thức A chia hết cho đa thức B

Phương pháp: 

– Thực hiện phép chia như bình thường, viết đa thức A về dạng A = B.Q + R.

– Sau đó dựa theo điều kiện bài toán để biện luận điều kiện. 

Ví dụ: 

Tìm giá trị nguyên của n để biểu thức 4n3 − 4n2 − n + 4 chia hết cho biểu thức 2n+1

Giải: 

Thực hiện phép chia 4n3 − 4n2 − n + 4  cho 2n + 1 ta được:

4n3 − 4n2 − n + 4 = (2n+1).(n2 + 1) + 3

Để có phép chia hết thì điều kiện là số dư cũng phải chia hết cho 2n + 1. Tức là 3 chia hết cho 2n + 1. Vậy chúng ta cần tìm giá trị nguyên của n sao cho 2n + 1 là ước của 3. Ta có như sau: 

2n + 1 = 3 <=> n = 1

2n + 1 = 1 <=> n = 0

2n + 1 = −3 <=> n = −2

2n + 1 = −1 <=> n = −1

Vậy có giá trị n = 1, n=0, n = 2 thỏa mãn điều kiện đề bài.

Ứng dụng định lý Bezout trong bài toán chia đa thức cho đa thức

Định lý Bézout phát biểu rằng:

 Đa thức f(x)  khi chia cho nhị thức x – a thì được dư là R thì R = f(a).

Chứng minh định lý:

+ Cho đa thức f(x) và nhị thức x – a, thương của phép chia f(x) cho (x – a) là Q và dư R

+ Khi đó: f(x) = (x – a). Q + R

+ Khi đó: f(a) = (a – a). Q + R = R

Ví dụ:

Đa thức f(x) = x2 + x + 1 chia cho nhị thức (x – 1) được số dư là 3 thì f(1) = 3.

Lý thuyết chia đa thức cho đa thức 

Muốn làm được các bài tập liên quan đến chia đa thức cho đa thức, bạn cần nắm được một số lý thuyết cơ bản sau đâu:

Lý thuyết

Để chia một đa thức cho một đa thức ta thực hiện tương tự như phép chia các số tự nhiên. Đối với hai đa thức A và B của một biến, điều kiện B khác 0 dẫn đến tồn tại hai đa thức Q và R sao cho:

A = B.Q + R với R = 0 hoặc R khác 0 có bậc bé hơn bậc của B.

Trong đó các kí hiệu A,B,Q,R là: 

A và B được xem là các đa thức

Q được cho là đa thức thương của phép chia đa thức A cho đa thức B

R là dư trong phép chia đa thức A cho đa thức B

Chú ý: Nếu R = 0 ta được phép tính chia đa thức cho đa thức hết.

            Nếu R khác 0 ta được phép chia đa thức cho một đa thức có dư.

Lưu ý khi chia đa thức cho đa thức

Để rút ngắn hơn phép tính chia đa thức cho một đa thức ta có thể dùng một trong các hằng đẳng thức sau:

(A^3 + B^3) : (A + B) = A^2 – 2AB + B^2

(A^3 – B^3) : (A + B) = A^2 + 2AB + B^2

(A^2 + B^2) : (A + B) = (A – B)

Ví dụ: Chia đa thức cho đa thức

Ví dụ 1: Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện các phép chia đa thức sau:

a) (125y^3 + 1) : (5y + 1)

Lời giải: 

(125y^3 + 1) : (5y + 1) = [(5y)^3 + 1] : (5y + 1)

= (5y)^2 – 5x + 1

= 25y^2 – 5x + 1

Vậy phép chia đa thức (125y^3 + 1) : (5y + 1)  có kết quả là: 25y^2 – 5x + 1

b) (x^2 – 2xy – y^2) : (y – x)

Lời giải:

(x^2 – 2xy – y^2) : (y – x)

= (y – x)^2 : [-(y – x)]

= – y – x

= x – y

Vậy phép chia đa thức (x^2 – 2xy – y^2) : (y – x) có kết quả là: x – y