Cách Chứng Minh Trọng Tâm – Thông tin tuyển sinh đào tạo Đại học Cao đẳng

Bạn đang xem video Lạm Dụng Thẩm mới nhất trong danh sách Thông tin tuyển sinh được cập nhật từ kênh HiKa Channel từ ngày 2023-07-13 với mô tả như dưới đây.

Để chứng minh một điểm là trọng tâm, trực tâm của tam giác thì ta cần sử dụng định nghĩa và tính chất trọng tâm, trực tâm trong tam giác.

Giả sử ta cần chứng minh G là trọng tâm, H là trực tâm của ΔABC. Ta có:

Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC

Để chứng minh điểm G là trọng tâm của tam giác ABC thì ta dùng một trong 2 cách:

– Cách 1: Chứng minh G là giao điểm của hai đường trung tuyến trong tam giác.

– Cách 2: Chứng minh G thuộc trung tuyến và chia trung tuyến theo tỉ lệ 2 : 1.

Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC

Để chứng minh điểm H là trung trực của tam giác ABC thì ta: Chứng minh H là giao điểm của hai đường cao trong tam giác.

Tin tức – Tags: tam giác, trọng tâm, trực tâm

• 5 cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy lớp 7

• 5 cách chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng

• 8 cách chứng minh 2 đường thẳng song song trong cùng một mặt phẳng

• Công thức Đại số và lượng giác luyện thi THPT quốc gia

• Một số phương pháp chứng minh Hình học lớp 7

• Các ví dụ chứng minh 3 điểm thẳng hàng – Toán lớp 7

• 62 quy tắc giáo dục con của người Đức

Trọng tâm là gì? Trọng tâm trong toán học là gì?

• Trọng tâm được hiểu là một vị trí ở giữa của một cái gì đó.
• Trong toán học trọng tâm là: giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác được xuất phát từ ba đỉnh của tam giác đó.
• Có rất nhiều định nghĩa về trọng tâm khác nhau trong nhiều lĩnh vực như là: trong tâm của tam giác,trọng tâm của tứ giác, trọng tâm của ngôi nhà, trọng tâm của con đường, trọng tâm của vấn đề, trọng tâm trong vật lý (Cách Chứng Minh Trọng Tâm),…

Trọng tâm trong tam giác là gì?

Trong một tam giác kẻ ba đường trung tuyến xuất phát từ ba đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện và điểm giao nhau của ba đường trung tuyến đó chính là trọng tâm của hình tam giác

Tính chất trọng tâm của các hình học

Trọng tâm của tam giác

Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.

Tam giác ABC, với các đường trung tuyến AM, BN, CP và trọng tâm G, ta có:

• GA = 2/3 AM
• GB = 2/3 BN
• GC = 2/3 CP

Trọng tâm của tam giác cân

Tam giác ABC cân tại A, có G là trọng tâm.

Vì tam giác ABC cân tại A nên AG vừa là đường trung tuyến, đường cao và là đường phân giác, từ đó ta suy ra được hệ quả của trọng tâm tam giác cân ABC như sau:

• Góc BAD bằng góc CAD.
• Trung tuyến AD vuông góc với cạnh đáy BC.

Trọng tâm của tam giác đều

Tam giác ABC đều, G là giao điểm ba đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác.

Vì vậy theo tính chất của tam giác đều ta có G vừa là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC.

Trọng tâm của tam giác vuông

Trọng tâm của tam giác vuông cũng được xác định giống như trọng tâm của tam giác thường.

Tam giác MNP vuông tại M.

3 đường trung tuyến MD, NE, PF giao nhau tại trọng tâm O. Ta có MD là trung tuyến của góc vuông PMN nên MD = 1/2 PN = DP = DN.

Trọng tâm của tam giác vuông cân

Có tam giác ABC vuông cân tại A và I là trọng tâm. AM là đường trung trực, đường trung tuyến và đường cao của tam giác này nên AM vuông góc với BC.

Mặt khác, vì tam giác ABC vuông cân tại A nên:

AB = AC.

=> BP = CN và BN = AN = CP = AP.

Trọng tâm của tứ giác

Trọng tâm của tứ giác là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh đối diện.

Cho tứ giác ABCD có trọng tâm là G ta được :

Tổng vecto GA + GB + GC + GD =0

Nếu ta có tứ giác ABCD có trọng tâm là G và điểm I là trọng tâm của tam giác ABC 

Tổng vecto GA + GB + GC + GD =0 (1) và IA + IB + IC = 0 (2)

=>Từ (1) và (2) => 3GI + GD = 0

Trọng tâm của tứ diện

Trọng tâm tứ diện là giao điểm của bốn đường thẳng nối  từ đỉnh và trọng tâm của tam giác đối diện.

Từ hình ta thấy trọng tâm của tứ diện ABCD chính là điểm G

Trong tâm tam giác là gì?

Trọng tâm trong tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến xuất phát từ ba đỉnh

Tính chất trọng tâm trong tam giác

Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.

Tam giác ABC với các đường trung tuyến AM, BN, CP và trọng tâm G, ta có: GA = 2/3 AM, GC = 2/3 GP, BG = 2/3 GN

1. Trọng tâm tam giác vuông

Trọng tâm của tam giác vuông cũng được xác định giống như trọng tâm của tam giác thường.

Tam giác MNP vuông tại M, ba đường trung tuyến MD, NE, PF giao nhau tại trọng tâm O. Ta có MD là trung tuyến của góc vuông PMN nên MD = ½ PN = DP = DN.

2. Trọng tâm tam giác cân

Cho tam giác ABc cân tại A, G là trọng tâm tam giác ABC. Vì tam giác cân tại A, nên AG vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao và là đường phân giác cùa tam giác ABC. Ta có hệ quả của trọng tâm tam giác cân ABC như sau:

• Góc BAD bằng góc CAD.
• Trung tuyến AD vuông góc với cạnh đáy BC.

3. Trọng tâm tam giác đều

Cho tam giác ABC đều, G là giao điểm ba đường trung tuyến. Theo tính chất của tam giác đều ta có G vừa là trọng tâm, trựa tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC.

Tham khảo thêm:

• Đường trung bình của tam giác
• Đường trung trực là gì? Tính chất, dạng bài tập có lời giải từ A – Z
• Trực tâm là gì? Tính chất, cách xác định trực tâm tam giác chính xác 100%

Cách xác định trọng tâm tam giác

Để xác định được trọng tâm của một tam giác các bạn có thể thực hiện theo 2 cách sau:

Cách 1: Giao điểm 3 đường trung tuyến

• Bước 1: Vẽ tam giác ABC, lần lượt xác định trung điểm của các cạnh AB, BC, CA.
• Bước 2: Nối lần lượt các đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện. Nối A với G, B với F, C với E.
• Bước 3: Xác định trọng tâm: Giao điểm I của ba đường trung tuyến là AG, BF, CE là trọng tâm của tam giác ABC.

Cách 2: Tỉ lệ trên đường trung tuyến

• Bước 1: Vẽ tam giác ABC, xác định trung điểm M của cạnh BC.
• Bước 2: Nối đỉnh A với trung điểm M, sau đó lấy điểm S sao cho AS = 2/3 AM. Theo tính chất trọng tâm tam giác thì điểm S chính là trọng tâm tam giác ABC.

Trọng tâm là gì?

Một tam giác có 3 đường trung tuyến, đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác đến trung điểm của cạnh đối diện.

Trọng tâm của tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến.

Tính chất của trọng tâm trong tam giác

Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.

Trọng tâm tam giác vuông

Trọng tâm của tam giác vuông cũng được xác định giống như trọng tâm của tam giác thường.

Trọng tâm tam giác cân

Trọng tâm của tam giác vuông cân

Trọng tâm tam giác đều

Cách tìm trọng tâm tam giác

Cách 1: Giao điểm 3 đường trung tuyến

Xác định trọng tâm tam giác bằng cách lấy giao điểm của ba đường trung tuyến.

Cách 2: Tỉ lệ trên đường trung tuyến

Xác định trọng tâm tam giác dựa trên tỉ lệ đường trung tuyến.

1. Trọng tâm là gì?

1.1. Trọng tâm là gì?

Trọng tâm là tâm điểm của một hình, hay nói cách khác trọng tâm của một vật thể là điểm mà nếu bạn đặt một trụ thẳng vào điểm đó thì vật thể đó sẽ có thể đứng một cách cân bằng.

Trọng tâm là một ứng dụng được sử dụng phổ biến trong thực tế đời sống. Với toán học, trọng tâm là một trong các tính chất rất quan trọng, đặc biệt là với hình tam giác.

1.2. Trọng tâm trong tam giác là gì?

Trọng tâm của tam giác là tâm điểm của hình tam giác, là giao điểm của ba đường trung tuyến của hình tam giác đó. Trong đó đường trung tuyến là đường nối từ một đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện. 

Theo sách giáo khoa lớp 7, thì trọng tâm tam giác được định nghĩa rằng: “Trong 1 tam giác có 3 đường trung tuyến. 3 đường trung tuyến này cùng đi qua một điểm, điểm này được gọi là trọng tâm của tam giác”.

2. Tính chất của trọng tâm:

Tinh chất quan trọng nhất của trọng tâm chính là: “Khoảng cách từ trọng tâm đến ba đỉnh của tam giác bằng ⅔ độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó”.

Như hình vẽ, ta có tam giác ABC, trọng tâm G, P,M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,AC, nên các đường trung tuyến sẽ là CP, AM, BN. 

Như tính chất trên thì ta có:

GA = 2/3 AM

GB = 2/3 AN

GC = 2/3 CP

– Quy tắc trọng tâm tam giác theo vecto:

Trọng tâm tam giác được xác định là giao điểm của ba đường trung tuyến trong tam giác. Vì thế áp dụng quy tắc vecto ta sẽ có:

Sử dụng hình vẽ trên với điểm G là trọng tâm tam giác ABC thì ta có: 

với mọi điểm M bất kỳ.

3. Cách xác định trọng tâm:

Dựa theo định nghĩa và tính chất của trọng tâm, ta có hai cách vẽ trọng tâm tam giác như sau: 

Cách 1: xác định trọng tâm tam giác dựa theo tính chất (trọng tâm tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến)

Bước 1: vẽ tam giác ABC

Bước 2: xác định trung điểm P,M,N lần lượt của các cạnh AB,BC,AC

Bước 3: Nối A với trung điểm M của cạnh BC, làm tương tự nối B với trung điểm N của cạnh AC, và nối C với trung điểm P của cạnh AB.

Bước 4: sau khi thực hiện bước 3 như trên, ta sẽ được ba đường trung tuyến AM, BN, CP của tam giác ABC, giao điểm của ba đường trung tuyến này đặt tên là G và đây chính là trọng tâm của tam giác ABC.

Lưu ý: ba đường trung tuyến này chắc chắn sẽ đồng quy tại một điểm, nếu bạn không vẽ được chúng đồng quy thì có thể bạn đã xác định sai trung điểm ở bước 2.

Cách 2: dựa trên tính chất của trọng tâm tam giác: “Khoảng cách từ trọng tâm đến ba đỉnh của tam giác bằng ⅔ độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó”.

Bước 1: vẽ tam giác ABC

Bước 2: xác định trung điểm M của cạnh BC

Bước 3: nối A với M để tạo thành trung tuyến AM của tam giác ABC

 Bước 4: xác định điểm G thuộc cạnh AM sao cho AG = ⅔ AM.

Và G chính là trọng tâm của tam giác ABC.