Cách Tìm Vectơ Chỉ Phương – Thông tin tuyển sinh đào tạo Đại học Cao đẳng

Cách tìm vecto chỉ phương của đường thẳng cực hay

A. Phương pháp giải

+ Cho đường thẳng d, một vecto u→ được gọi là VTCP của đường thẳng d nếu u→ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d.

+ Nếu vecto u→( a; b) là VTCP của đường thẳng d thì vecto k.u→ ( với k ≠ 0) cũng là VTCP của đường thẳng d.

+ Nếu đường thẳng d có VTPT n→( a; b) thì đường thẳng d nhận vecto n→( b; -a) và n’→( – b;a) làm VTPT.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Vectơ chỉ phương của đường thẳng d  là:

A. u₁→ = (2; -3)    B. u₂→ = (3; -1)    C. u₃→ = (3; 1)    D. u₄→ = (3; -3)

Lời giải

Một VTCP của đường thẳng d là u→( 3; -1)

Chọn B

Ví dụ 2: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A(-3; 2) và B( 1; 4) ?

A. u₁→ = (-1; 2)    B. u₂→ = (2; 1)    C. u₃→ = (- 2; 6)    D. u₄→ = (1; 1)

Lời giải

+ Đường thẳng AB đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng này nhận vecto AB→( 4; 2) làm vecto chỉ phương .

+ Lại có vecto AB→ và u→( 2;1) là hai vecto cùng phương nên đường thẳng AB nhận vecto u→( 2;1) là VTCP.

Chọn B.

Ví dụ 3: Vectơ chỉ phương của đường thẳng  = 1 là:

A. u₄→ = (-2; 3)    B. u₂→ = (3; -2)    C. u₃→ = (3; 2)    D. u₁→ = (2; 3)

Hướng dẫn giải:

Ta đưa phương trình đường thẳng đã cho về dạng tổng quát:

 = 1 ⇔ 2x + 3y – 6 = 0 nên đường thẳng có VTPT là n→ = (2; 3)

Suy ra VTCP là u→ = (3; – 2) .

Chọn B.

Ví dụ 4: Vectơ chỉ phương của đường thẳng d: 2x – 5y – 100 = 0 là :

A. u→ = (2; -5)    B. u→ = (2; 5)    C. u→ = (5; 2)    D. u→=( -5; 2)

Lời giải

Đường thẳng d có VTPT là n→( 2 ;- 5) .

⇒ đường thẳng có VTCP là u→( 5 ; 2).

Chọn C.

Ví dụ 5 : Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm A(2 ; 3) và B( 4 ;1)

A. n→ = (2; -2)    B. n→ = (2; -1)    C. n→ = (1; 1)    D. n→ = (1; -2)

Lời giải

Đường thẳng AB nhận vecto AB→( 2; -2) làm VTCP nên đường thẳng d nhận vecto

n→( 1; 1) làm VTPT.

Chọn C.

Ví dụ 6. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục Ox

A. u₁→ = (1; 0).    B. u₂→ = (0; -1)    C. u₃→ = (1; 1)    D. u₄→ = (1; – 1)

Lời giải

Trục Ox có phương trình là y= 0; đường thẳng này có VTPT n→( 0;1)

⇒ đường thẳng này nhận vecto u→( 1; 0) làm VTCP.

⇒ một đường thẳng song song với Ox cũng có VTCP là u₁→=(1; 0).

Chọn A.

Ví dụ 7: Cho đường thẳng d đi qua A( 1; 2) và điểm B(2; m) . Tìm m để đường thẳng d nhận u→( 1; 3) làm VTCP?

A. m = – 2    B. m = -1    C. m = 5    D. m = 2

Lời giải

Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng d nhận vecto AB→( 1; m – 2) làm VTCP.

Lại có vecto u→( 1; 2) làm VTCP của đường thẳng d. Suy ra hai vecto u→ và AB→ cùng phương nên tồn tại số k sao cho: u→ = kAB→

⇒ 

Vậy m= 5 là giá trị cần tìm .

Chọn C.

Ví dụ 8: Cho đường thẳng d đi qua A(- 2; 3) và điểm B(2; m + 1) . Tìm m để đường thẳng d nhận u→( 2; 4) làm VTCP?

A. m = – 2    B. m = -8    C. m = 5    D. m = 10

Lời giải

Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng d nhận vecto AB→( 4; m – 2) làm VTCP.

Lại có vecto u→(2; 4) làm VTCP của đường thẳng d. Suy ra hai vecto u→ và ab→ cùng phương nên tồn tại số k sao cho: u→ = kAB→

Vậy m = 10 là giá trị cần tìm .

Chọn D.

Ví dụ 9. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A( a; 0) và B( 0; b)

A. u→( -a; b)    B. u→( a; b)    C. u→( a + b; 0)    D. u→( – a; – b)

Lời giải

Đường thẳng AB đi qua điểm A và B nên đường thẳng này nhận AB→(-a;b) làm vecto chỉ phương.

Chọn A.

Ví dụ 10 . Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là u→ = (-2; -5) . Đường thẳng ∆ vuông góc với d có một vectơ chỉ phương là:

A. u₁→ = (5; -2)    B. u₂→ = (-5; 2)    C. u₃→ = (2; 5)    D. u₄→ = (2; -5)

Lời giải

Khi hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia nên :

Lại có hai vecto u_∆→( -2; -5) và u→( 2;5) cùng phương nên đường thẳng ∆ nhận vecto u→( 2; 5) làm VTCP.

Chọn C.

Ví dụ 11. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u→ = (3; -4). Đường thẳng ∆ song song với d có một vectơ pháp tuyến là:

A. n₁→ = (4; 3)    B. n₂→ = (- 4; 3)    C. n₃→ = (3; 4)    D. n₄→ = (3; – 4)

Lời giải

Khi hai đường thẳng song song với nhau thì VTCP ( VTPT) của đường thẳng này cũng là VTCP (VTPT) của đường thẳng kia nên:

 → u_∆→ = u_d→ = (3; -4) → n_∆→ = (4; 3)

Chọn A

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục Oy?

A. u₁→ = (1; 0).    B. u₂→ = (0; 1)    C. u₃→ = (1; 1)    D. u₄→ = (1; -1)

Lời giải:

Đáp án: B

Trục Oy có phương trình tổng quát là : x= 0. Đường thẳng này nhận vecto n→(1;0) làm VTPT.

⇒ Đường thẳng x= 0 nhận vecto u→( 0; 1) làm VTCP.

⇒ Một đường thẳng song song với Oy cũng có VTCP là j→(0;1)

Câu 2: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A(1;2) và B( -3;6)

A. u→( 1; 1)    B. u→( 1; -1)    C. u→( 2; -3)    D. u→(- 1; 2)

Lời giải:

Đáp án: B

Đường thẳng AB đi qua hai điểm A và B nên nhận vecto AB→( -4; 4) VTCP .

Lại có hai vecto AB→( -4;4) và u→( 1; -1) là hai vecto cùng phương .

⇒ đường thẳng AB nhận vecto u→( 1; -1) làm VTCP.

Câu 3: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O( 0; 0) và điểm M( a; b)

A. u→( 0; a + b)    B. u→( a; b)    C. u→( a; – b)    D. u→( -a; b)

Lời giải:

Đáp án: B

Đường thẳng OM đi qua điểm M và O nên đường thẳng này nhận OM→( a;b) làm vecto chỉ phương.

Câu 4: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm A(1; -8) và B(3; -6)

A. n₁→ = (2; 2).    B. n₂→ = (0; 0)    C. n₃→ = (8; -8)    D. n₄→ = (2; 3)

Lời giải:

Đáp án: C

Đường thẳng AB đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng này nhận vectơ AB( 2;2) làm VTCP.

Lại có: AB→( 2;2) và n→( 8; -8) vuông góc với nhau( vì tích vô hướng của hai vecto đó bằng 0)

⇒ đường thẳng AB nhận vecto n→( 8; -8) là VTPT.

Câu 5: Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u→ = (2; -1). Trong các vectơ sau, vectơ nào là một vectơ pháp tuyến của d?

A. n→( -1; 2)    B. n→(1; -2)    C. n→(-3; 6)    D. n→( 3;6)

Lời giải:

Đáp án: D

Đường thẳng d có VTCP là u→( 2;-1) nên đường thẳng này có VTPT là n→( 1;2) .

Lại có vecto n’→(3;6) cùng phương với vecto n→ nên đường thẳng đã cho nhận vecto

n’→(3;6) làm VTPT.

Câu 6: Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là n→ = (4; -2) . Trong các vectơ sau, vectơ nào là một vectơ chỉ phương của d?

A. u₁→ = (2; -4)    B. u₂→ = (-2; 4)    C. u₃→ = (1; 2)    D. u₄→ = (2; 1)

Lời giải:

Đáp án: C

Đường thẳng d có VTPT n→( 4; -2) nên có VTCP u→(2;4) .

Mà u→( 2;4) và v→( 1;2) cùng phương nên đường thẳng đã cho nhận v→( 1;2) làm VTCP.

Câu 7: Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u→ = (3; -4). Đường thẳng ∆ vuông góc với d có một vectơ pháp tuyến là:

A. n₁→ = (4; 3)    B. n₂→ = (-4; -3)    C. n₃→ = (3; 4)    D. n₄→ = (3; – 4)

Lời giải:

Đáp án: D

Khi hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia nên :

 → n_∆→ = u_d→ = (3; -4)

Câu 8: Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là n→ = (-2; -5) . Đường thẳng song song với d có một vectơ chỉ phương là:

A. u₁→ = (5; -2)    B. u₂→ = (-5; -2)    C. u₃→ = (2; 5)    D. u₄→ = (2; -5)

Lời giải:

Đáp án: A

Khi hai đường thẳng song song với nhau thì VTCP ( VTPT) của đường thẳng này cũng là VTCP (VTPT) của đường thẳng kia nên:

 → n_∆→ = u_d→ = (-2; -5) → u_∆→ = (5; -2)

Câu 9: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d  ?

A. u₁→ = (6; 0) .    B. u₂→ = (-6; 0).    C. u₃→ = (2; 6).    D. u₄→ = (0; 1).

Lời giải:

Đáp án: D

Đường thẳng d:  nên VTCP u→ = (0; 6) = 6(0; 1)

Ta chọn u→ = (0 ; 1)

Câu 10: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của d: 

A. n₁→ = (2; -1) .    B. n₂→ = (-1; 2) .    C. n₃→ = (1; -2) .    D. n₄→ = (1; 2) .

Lời giải:

Đáp án: D

d:  → u_d→ = (2; -1) → n_d→ = (1; 2)

Câu 11: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d: 2x – 3y + 2018 = 0

A. u₁→ = (-3; -2) .    B. u₂→ = (2; 3) .    C. u₃→ = (-3; 2) .    D. u₄→ = (2; -3) .

Lời giải:

Đáp án: A

Đường thẳng d: 2x – 3y + 2018 = 0 có VTPT n_d→ = (2; -3)nên u_d→ = (3; 2) là một VTCP của d.

⇒ Vecto ( – 3; -2) cũng là VTCP của đường thẳng d.

Câu 12: Đường trung trực của đoạn thẳng AB với A( -3; 2); B(-3; 3) có một vectơ pháp tuyến là:

A. n₁→ = (6; 5).    B. n₂→ = (0; 1) .    C. n₃→ = (-3; 5) .    D. n₄→ = (-1; 0) .

Lời giải:

Đáp án: B

Gọi d là trung trực đoạn AB.

Suy ra đường thẳng d vuông góc với AB.

⇒ AB→( 0;1) là một VTPT của đường thẳng d.

Câu 13: Cho đường thẳng d đi qua A(-1; 2) và điểm B(m; 3) . Tìm m để đường thẳng d nhận u→( -2; 1) làm VTCP?

A. m = – 2    B. m = -1    C. m = – 3    D. m = 2

Lời giải:

Đáp án: C

Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng d nhận vecto AB→( m + 1; 1) làm VTCP.

Lại có vecto u→( -2; 1) làm VTCP của đường thẳng d. Suy ra hai vecto u→ và AB→ cùng phương nên tồn tại số k sao cho: u→ = kAB→

Vậy m = – 3 là giá trị cần tìm .

Mọi người cũng hỏi

Vectơ chỉ phương là gì trong không gian vector?

Vectơ chỉ phương là một vectơ có cùng hướng nhưng khác về độ dài. Nó chỉ mô tả hướng của một đối tượng mà không quan tâm đến độ lớn của nó.

Cách tìm vectơ chỉ phương của một vectơ trong không gian vector như thế nào?

Để tìm vectơ chỉ phương của một vectơ, ta chỉ cần lấy vectơ ban đầu chia cho độ lớn của nó. Vectơ chỉ phương được tính bằng cách chia mỗi thành phần của vectơ cho độ dài của vectơ.

Vectơ chỉ phương và vectơ đơn vị có khác nhau không?

Có, vectơ chỉ phương là kết quả của việc chia mỗi thành phần của vectơ cho độ dài của nó, trong khi vectơ đơn vị là một vectơ có độ dài bằng 1 và cùng hướng với vectơ ban đầu.

Tại sao việc tìm vectơ chỉ phương quan trọng trong tính toán và ứng dụng?

Tìm vectơ chỉ phương rất hữu ích trong tính toán và ứng dụng vì nó giúp chúng ta xác định hướng của một đối tượng mà không bị ảnh hưởng bởi độ lớn của nó. Trong nhiều bài toán thực tế, chỉ cần quan tâm đến hướng di chuyển hoặc hướng tác động mà không cần quan tâm đến sức mạnh hay độ lớn của các lực hoặc vectơ đó.

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng là gì?

Cho đường thẳng Δ. Ta có vecto u≠0 gọi là vecto chỉ phương ( viết tắt: VTCP) của đường thẳng Δ nếu giá của nó song song hoặc trùng với Δ.

Giá của một vecto chính là đường thẳng đi qua điểm gốc và điểm ngọn của vecto đó.

Nhận xét

– Nếu vecto u = ( a; b) là VTCP của đường thẳng  Δ thì vectơ ku (k≠0) cũng là VTCP của Δ. Do vậy, một đường thẳng có vô số vecto chỉ phương.

– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm ∈ nó và VTCP của đường thẳng đó.

– VTCP và VTPT (Vecto pháp tuyến) vuông góc với nhau. Do đó, nếu Δ có một VTCP là vectơ u=(a;b) thì vectơ n =(−b;a) là một VTPT của Δ.

Vecto chỉ phương của đường thẳng là gì?

Định nghĩa vecto chỉ phương của đường thẳng

Cho đường thẳng (Delta). Ta có vecto (vec{u}neq vec{0}) gọi là vecto chỉ phương ( viết tắt: VTCP) của đường thẳng (Delta) nếu giá của nó song song hoặc trùng với (Delta).

Vậy, giá của một vecto là gì? Giá của một vecto chính là đường thẳng đi qua điểm gốc và điểm ngọn của vecto đó.

Nhận xét

• Nếu (vec{u}) là vecto chỉ phương của  (Delta) thì (kvec{u}left ( kneq 0 right )) cũng là VTCP của (Delta). Do vậy, một đường thẳng có vô số vecto chỉ phương.
• Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm (in) nó và VTCP của đường thẳng đó.
• VTCP và VTPT (Vecto pháp tuyến) vuông góc với nhau. Do đó, nếu  (Delta) có một VTCP là (vec{u}=left ( a ;bright )) thì (vec{n}=left ( -b;a right )) là một VTPT của (Delta).

Hệ số góc và vecto chỉ phương của đường thẳng

Với đường thẳng d, hệ số góc k, phương trình của d có dạng: (y=kx+m) hay (kx-y+m=0)

Khi đó một vecto pháp tuyến của d là (vec{n}=left ( k;-1 right )).

Suy ra một vecto chỉ phương của d là (vec{u}=left ( 1;k right )).

Vậy đường thẳng có hệ số góc k thì có một vectơ chỉ phương là  (vec{u}=left ( 1;k right )).

Phương trình tham số của đường thẳng

Tìm hiểu về chủ đề này, chúng ta không thể không nhắc đến phần phương trình tham số của đường thẳng với những nội dung như sau:

Định lý phương trình tham số của đường thẳng

Đường thẳng (Delta) đi qua điểm (M_{0}left ( x_{0} ;y_{0}right ))  và nhận vecto (vec{u}=left ( a ;bright )) làm vecto chỉ phương có phương trình tham số là:

(Delta :left{begin{matrix} x & = & x_{0}+at\ y& = & y_{0}+bt end{matrix}right.)

Nhận xét:

• Khi hệ số (u_{1}neq 0) thì tỉ số (k=frac{u_{1}}{u_{2}}) được gọi là hệ số góc của đường thẳng.

Suy ra, ta có phương trình đường thẳng  (Delta) đi qua điểm (M_{0}left ( x_{0} ;y_{0}right )) và có hệ số góc k là: (y-y_{0}=kleft ( x-x_{0} right ))

• Hệ số góc (k=tanalpha) với góc (alpha)  là góc của đường thẳng (Delta) hợp với chiều dương của trục Ox.
• Nếu (a=0,bneq 0)  thì đó là phương trình của một đường thẳng (//Oy), có PTTQ: (x-x_{0}=0.
• Nếu ) (b=0,aneq 0) thì đó là phương trình của một đường thẳng (//Ox), có PTTQ là: (y-y_{0}=0.

Ví dụ:  Lập PTTS của đường thẳng [latex]Delta) đi qua hai điểm (Aleft ( -2;3 right ), Bleft ( 5;-2 right ))

Cách giải: 

Đường thẳng (Delta) đi qua 2 điểm (Aleft ( -2;3 right ), Bleft ( 5;-2 right )), do đó vecto chỉ phương của  (Delta) là (vec{u}left ( 7;-5right ))

Suy ra phương trình tham số của (Delta) là (left{begin{matrix} x & = &-2+7t \ y& = & 3-5t end{matrix}right.).

Trên đây Dinhnghia.vn đã tổng hợp những kiến thức, hy vọng có thể cung cấp cho các bạn những thông tin hữu ích phục vụ cho quá trình học tập. Nếu có bất cứ câu hỏi nào liên quan đến chủ đề vecto chỉ phương, mời bạn để lại nhận xét để cùng Dinhnghia.vn tìm hiểu thêm nhé.

Xem thêm bài giảng về vecto của đường thẳng dưới đây:

(Nguồn: //youtube.com)