Cách Tính Trung Tuyến Của Tam Giác – Thông tin tuyển sinh đào tạo Đại học Cao đẳng

Đường trung tuyến là gì?

Đường trung tuyến là đường thẳng đi qua một đỉnh của tam giác và chia đôi cạnh đối với đỉnh đó. Nó là đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh đối với đỉnh đó và đỉnh đó.

Cụ thể, đường trung tuyến của tam giác ABC là đường thẳng đi qua đỉnh A và trung điểm của cạnh BC. Tương tự, tam giác có thể có hai đường trung tuyến khác, đi qua đỉnh B và C và trung điểm của cạnh AC và AB, tương ứng. Đường trung tuyến có nhiều tính chất đặc biệt và được sử dụng trong nhiều bài toán liên quan đến tam giác.

Một số tính chất của đường trung tuyến trong tam giác bao gồm:

– Đường trung tuyến của tam giác chia tam giác thành hai tam giác có diện tích bằng nhau.

– Đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm nằm ở trung điểm của tam giác.

– Đường trung tuyến của tam giác là đường trung bình của các tam giác con của nó.

– Đường trung tuyến còn là đường cao của tam giác đối với tam giác có cạnh bằng nhau.

– Đường trung tuyến còn là đường trực giao với cạnh tương ứng của tam giác.

Đường trung tuyến được sử dụng trong nhiều bài toán liên quan đến tam giác, như tìm diện tích của tam giác, tìm tọa độ trọng tâm của tam giác, hay tìm độ dài các cạnh của tam giác dựa trên các tính chất của đường trung tuyến.

Ngoài ra, đường trung tuyến còn có thể được sử dụng để giải quyết các bài toán về tỉ lệ trong tam giác. Ví dụ, nếu ta vẽ đường trung tuyến của tam giác và nối nó với điểm chính giữa đoạn thẳng đối diện với đỉnh của tam giác, thì đường này sẽ chia đoạn thẳng đó thành hai phần bằng nhau.

Ngoài ra, ta còn có thể sử dụng đường trung tuyến để tìm giá trị của một đường cao của tam giác. Ví dụ, giả sử ta biết độ dài đường trung tuyến cùng với độ dài của một cạnh của tam giác và muốn tính độ dài của đường cao đối với cạnh đó. Khi đó, ta có thể sử dụng định lý Pythagoras để tính được độ dài đường cao đó.

Trong toán học, đường trung tuyến cũng được sử dụng để định nghĩa các khái niệm như trung điểm, đường trục, điểm đối xứng… Nó còn được sử dụng trong lý thuyết đồ thị để xác định trọng tâm và đường trung trực của một tam giác trong không gian Euclid ba chiều.

Đường trung tuyến là gì?

Đường trung tuyến của một đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó.

Đường trung tuyến trong tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác đều có ba trung tuyến.

Đối với tam giác cân và tam giác đều, mỗi trung tuyến của tam giác chia đôi các góc ở đỉnh với hai cạnh kề có chiều dài bằng nhau.

Tính chất đường trung tuyến trong tam giác

• Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
• Giao điểm của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm.
• Vị trí của trọng tâm tam giác: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
• Mỗi đường trung tuyến chia diện tích của tam giác thành hai phần bằng nhau. Ba trung tuyến chia tam giác thành sáu tam giác nhỏ với diện tích bằng nhau.

Ví dụ: Tam giác ΔABC có D, E, F là BC, CA, AB. Khi đó AD, BE, CF lần lượt là các đường trung tuyến xuất phát từ ba đỉnh A, B, C. AD, BE, CF đồng quy ở G.

Ta có G là trọng tâm của tam giác ΔABC.

Theo định nghĩa, AE=EC, CD=DB, BF= FA, do đó:

SΔ_AGE = S_ΔCGE; S_ΔBGD = S_ΔCGD; S_ΔAGF = S_ΔBGF trong đó kí hiệu S_ΔABC là diện tích của tam giác ABC.

Điều này đúng bởi trong mỗi trường hợp hai tam giác có chiều dài đáy bằng nhau, và có cùng đường cao từ đáy, mà diện tích của một tam giác thì bằng 1/2 chiều dài đáy nhân với đường cao, khi ấy hai tam giác ấy có diện tích bằng nhau.

Chúng ta có:

S_ΔACG = S_ΔACD − S_ΔCGD; S_ΔABG = S_ΔABD − S_ΔBGD

Do đó ta có :S_ΔABG = S_ΔACG và S_ΔDBG = S_ΔDCG; S_ΔCDG = 12 S_ΔACG

Do S_ΔBGF = S_ΔAGF, S_ΔAGF = 12S_ΔACG = S_ΔBGF = 12S_ΔBCG

Do vậy, S_ΔAFG = S_ΔBFG = S_ΔBGD= S_ΔCGD

Sử dụng cùng phương pháp này. ta có thể chứng minh điều sau:

S_ΔAFG = S_ΔBFG = S_ΔBGD = S_ΔCGD = S_ΔCGE = S_ΔAGE

Tham khảo thêm:

• Trực tâm của tam giác là gì? Tính chất, cách xác định trực tâm tam giác (Cách Tính Trung Tuyến Của Tam Giác)
• Công thức tính cạnh huyền trong tam giác vuông
• Hệ thức lượng trong tam giác vuông, thường cân, đều

Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông

• Tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt của tam giác, trong đó, tam giác sẽ có một góc có độ lớn là 90 độ, và hai cạnh tạo nên góc này vuông góc với nhau.
• Đường trung tuyến của tam giác vuông sẽ có đầy đủ những tính chất của một đường trung tuyến tam giác.
• Trong 1 tam giác vuông bất kỳ, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác sẽ có độ dài bằng 1/2 cạnh huyền
• Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Tính chất đường trung tuyến trong tam giác cân

• Đường trung tuyến ứng từ góc đỉnh sẽ vuông góc với cạnh đáy tương ứng (nó là đường trung trực của cạnh đáy)
• Đường trung tuyến ứng từ góc đỉnh sẽ chia góc đỉnh thành 2 góc bằng nhau (Nó là đường phân giác của góc đỉnh).
• Có đầy đủ các tính chất của đường trung tuyến tam giác thông thường

Tính chất đường trung tuyến trong tam giác đều

Trong tam giác đều đường thẳng đi qua một đỉnh bất kỳ và đi qua trọng tâm của tam giác sẽ chia tam giác đó thành 2 tam giác có diện tích bằng nhau.

3 đường trung tuyến của tam giác đều sẽ chia tam giác đó thành 6 tam giác có diện tích bằng nhau.

1. Đường trung tuyến là gì?

– Đường trung tuyến của một đoạn thẳng là một đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó.

2. Đường trung tuyến của tam giác

– Đường trung tuyến của một tam giác là đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện trong hình học phẳng. Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến.

3. Tính chất đường trung tuyến trong tam giác

– Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Giao điểm của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm.

Ví dụ:

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ABC có các trung tuyến AI, BM, CN thì ta sẽ có biểu thức:

Đường trung tuyến trong tam giác vuông

– Tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt của tam giác, trong đó, tam giác sẽ có một góc có độ lớn là 90 độ, và hai cạnh tạo nên góc này vuông góc với nhau.

– Do đó, đường trung tuyến của tam giác vuông sẽ có đầy đủ những tính chất của một đường trung tuyến tam giác.

Định lý 1: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

Định lý 2: Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Ví dụ:

Tam giác ABC vuông ở A, độ dài đường trung tuyến AM sẽ bằng MB, MC và bằng 1/2 BC

Ngược lại nếu AM = 1/2 BC thì tam giác ABC sẽ vuông ở A.

4. Công thức đường trung tuyến

Trong đó: a, b ,c lần lượt là các cạnh trong tam giác

m_a, m_b, m_{c lần} lượt là những đường trung tuyến trong tam giác

5. Bài tập về cách tính độ dài đường trung tuyến

Bài 1: Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 17cm, BC= 16cm. Kẻ trung tuyến AM.

a) Chứng minh: AM ⊥ BC;

b) Tính độ dài AM.

Hướng dẫn giải

a. Ta có AM là đường trung tuyến tam giác ABC nên MB = MC

Mặt khác tam giác ABC là tam giác cân tại A

Suy ra AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

Vậy AM vuông góc với BC

b. Ta có

BC = 16cm nên BM = MC = 8cm

AB = AC = 17cm

Xét tam giác AMC vuông tại M

Áp dụng định lý Pitago ta có:

AC² = AM² + MC² ⇒ 17² = AM² + 8² ⇒ AM² = 17² – 8² = 225 ⇒ AM = 15cm

Bài 2: Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng GA = GB = GC.

Hướng dẫn giải

Gọi AD, CE, BF là các đường trung tuyến tam giác ABC hay D, E, F lần lượt là trung điểm cạnh BC, AB, AC

Ta có AD là đường trung tuyến tam giác ABC nên (1)

CE là đường trung tuyến tam giác ABC nên (2)

BF là đường trung tuyến tam giác ABC nên (3)

Ta có tam giác BAC đều nên dễ dàng suy ra AD = BF = CE (4)

Từ 1, 2, 3, 4 suy ra AG = BG = CG

Bài 3: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 1/3AC. Tia BE cắt CD ở M. Chứng minh :

a) M là trung điểm của CD

b) AM = BC.

Hướng dẫn giải

a. Xét tam giác BDC có AB = AD suy ra AC là đường trung tuyến tam giác BCD

Mặt khác

Suy ra E là trọng tâm tam giác BCD

M là giao của BE và CD

Vậy BM là trung tuyến tam giác BCD

Vậy M là trung điểm của CD

b. A là trung điểm của BD

M là trung điểm của DC

Suy ra AM là đường trung bình của tam giác BDC

Suy ra AM = 1/2 BC

Bài 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến BM. Trên tia BM lấy hai điểm G và K sao cho BG = BM và G là trung điểm của BK. Gọi N là trung điểm của KC , GN cắt CM ở O. Chứng minh:

a) O là trọng tâm của tam giác GKC ;

b) GO = BC

Học sinh tự giải

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB = 18cm, AC = 24cm. Tính tổng các khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến các đỉnh của tam giác.

Hướng dẫn giải

Gọi AD, CE, BF lần lượt là các đường trung tuyến nối từ đỉnh A, C, B của tam giác ABC

Dễ dàng suy ra AE = EB = 9cm, AF = FC = 12cm

Ta có tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:

BC² = AB² + AC² ⇒ BC² = 18² + 24² = 900 ⇒ BC = 30cm

Ta có ABC vuông mà D là trung điểm cạnh huyền nên AD = BD = DC = 15cm

Suy ra: AG = 2/3 AD = 10cm

Xét tam giác AEC vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:

EC² = AE² + AC² ⇒ EC² = 9² + 24² = 657 ⇒ EC = 3√73 cm ⇒ CG = 2/3 EC = 2√73 cm

Tương tự ta xét tam giác AFB vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:

BF² = AB² + AF² ⇒BF² = 18² + 12² = 468 ⇒ BF = 6√13 cm ⇒ BG = 2/3 BF = 4√13 cm

Tổng các khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến các đỉnh của tam giác là:

AG + BG + CG = 10 + 4√13 + 2√73 (cm)

Bài 6: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Biết AM = BC. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông ở A.

Học sinh tự giải

Bài 7: Cho tam giác ABC. Các đường trung tuyến BD và CE. Chứng minh frac{3}{2}BC” data-i=”14″ data-latex=”BD>frac{3}{2}BC” data-src=”/?tex=BD%3E%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7DBC” height=”34″ src=”/data/image/holder.png” width=”84″>

Hướng dẫn giải

Học sinh tự vẽ hình.

Xét tam giác BGC có:

BG + CG > BC

⇒ BC” data-i=”15″ data-latex=”frac{2}{3}BD + frac{2}{3}CE > BC” data-src=”/?tex=%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7DBD%20%2B%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7DCE%20%3E%20BC” height=”41″ src=”/data/image/holder.png” width=”166″>

⇒ BD + CE >

………………..

Mời các bạn tải File tài liệu để xem thêm nội dung chi tiết