Cấp Số Cộng Là Gì – Thông tin tuyển sinh đào tạo Đại học Cao đẳng

Bạn đang xem video Làm quả cổng này được ko các bác mới nhất trong danh sách Thông tin tuyển sinh được cập nhật từ kênh Siêu Thị Máy Cơ Khí Datyso Việt Nam từ ngày 2023-02-25 với mô tả như dưới đây.

1. Khái niệm cấp số cộng? Công sai là gì? Ví dụ?

Cấp số cộng là 1 dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) các số hạng thỏa mãn điều kiện kể từ số hạng thứ 2 trở đi bằng số hạng đứng trước nó cộng với 1 số không đổi.

Số hạng không đổi đó được gọi là Công sai.

Công thức:

U_n = U_n-1 + d (n>=2)

Ví dụ:

– Dãy hằng với các số hạng không đổi là cấp số số cộng với công sai bằng O.

– Dãi các số tự nhiên 2; 4; 6; 8; 10;… là cấp số cộng với công sai bằng 2.

2. Tính chất cấp số cộng?

Nếu là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kế bên nó trong dãy số.

Công thức:

Un = (U_n-1 + U_n+1) : 2

Ví dụ:

Ta có 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là: 10; 12; 14

Thì (10+14):2 = 1

3. Tính công sai cấp số cộng?

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. Thì công thức tính công sai bằng:

Công thức:

d=U_n+1 – U_n

Ví dụ:

Ta có dãy số  1, 5, 9, 13, 17, 21, 25 là một cấp số cộng với công sai d = 4

vì: 25-21=4; 21-17=4;…

4. Số hạng tổng quát của cấp số cộng:

Nếu cấp số cộng khởi đầu là phần tử  và công sai là d, thì số hạng thứ n của cấp số cộng được tính theo công thức cấp số cộng sau:

U_n=U₁+ (n-1)d

Ví dụ:

Cấp số cộng là 5;9;13;… n. biết dãy số có 7 số hạng.

Khi đó: số hạng thứ n bằng: 5 + 6.4 = 29.

5. Một số công thức khác:

5.1. Công thức liên hệ giữa hai số hạng bất kỳ

U_n=U_m + (n-m)d

5.2. Công thức tính tổng n số hạng đầu (tổng riêng thứ n) thông qua số hạng đầu và số hạng thứ n

S_n = U₁+U₂+ …+ U_n = (n(U1+Un)/2)

Tổng[sửa | sửa mã nguồn]

Tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng được gọi là tổng riêng thứ n. Ta có:

Khi chứng minh công thức này, tổng riêng này được tách thành tổng của a₁a_n, của a₂ với a_n-1,… Một câu chuyện kể rằng Carl_Friedrich_Gauss đã tìm ra cách này khi học tiểu học để trả lới thầy giáo khi tính tổng của 100 số tự nhiên dương đầu tiên.

Chứng minh:

.

.

Tích[sửa | sửa mã nguồn]

Tích của n phần tử của cấp số cộng bắt đầu từ phần tử với công sai , với số hạng là

trong đó là ký hiệu của giai thừa trên (tiếng Anh: upper factorial)

Đây là tổng quát hoá từ tích được ký hiệu là tới tích của

với các số nguyên dương và cho bởi công thức

Còn là ký hiệu của Hàm gamma.

(Công thức này không bao gồm trường hợp là số âm hoặc không).

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

• Phép cộng
• Cấp số nhân
• Cấp số cộng tổng quát
• Carl Friedrich Gauss

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

I. CẤP SỐ CỘNG LÀ GÌ

Một dãy vô hạn hoặc hữu hạn được gọi là một cấp sô’ cộng. Nếu mọi số hạng (trừ số hạng đầu) đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi. Số không đổi đó được gọi là công sai.

Ví dụ:

II. CÔNG THỨC CẤP SỐ CỘNG

Công thức 1: Công thức định nghĩa

Công thức 2: Tính số hạng tổng quát thông qua số hạng đầu và công sai

Công thức 3: Công thức liên hệ với hai số hạng liền kề

Công thức 4: Công thức liên hệ giữa hai số hạng bất kỳ

Công thức 5.1: Công thức tính tổng n số hạng đầu (tổng riêng thứ n) thông qua số hạng đầu và số hạng thứ n

Công thức 5.2: Công thức tính tổng n số hạng đầu (tổng riêng thứ n) thông qua số hạng đầu và công sai

Ví dụ 1:

Lời giải:

Áp dụng công thức 2, ta có công thức số hạng tổng quát là:

Ví dụ 2:

Lời giải:

Ví dụ 3:

Lời giải:

Trên đây là định nghĩa và các công thức của cấp sô’ cộng mà toanthaydinh.com giới thiệu đến các bạn. Các công thức xoay quanh các giá trị: Số hạng đầu; Số hạng tổng quát; Công sai; Tổng riêng thứ n. Đề bài thường cho 1 số giá trị và yêu cầu tính các giá trị còn lại. Để làm được thì các bạn phải nhớ được các công thức. Nên các bạn hãy ghi nhớ các công thức để vận dụng nhé. Chúc các bạn thành công và học giỏi!

Xem thêm:

Công thức cấp số công và cấp số nhân

Cấp số cộng, công sai là gì? Lý thuyết và công thức tính cấp số cộng

Cấp số cộng cấp số nhân –

1. Định nghĩa cấp số cộng

Cấp số cộng là khái niệm để chỉ một dãy số hữu hạn hay vô hạn, kể từ số hạng thứ 2 mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng đằng trước và một số d (công sai) cố định. 

$Leftrightarrow forall n geqslant 2$, $U_{n-1} + d$, với $n in N^{*}$

2. Tính chất của cấp số cộng

Nếu $(U_{n})$ là cấp số cộng kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kế bên nó trong dãy số, nghĩa là $U_{k}$ = $frac{U_{k-1}+U_{k+1}}{2}$

3. Tổng hợp tất cả công thức cấp số cộng lớp 11

Trong chương trình đại số THPT, các em học sinh đã được học về cấp số cộng và ứng dụng của các công thức cấp số cộng. Dưới đây, VUIHOC tổng hợp cho các em 5 công thức cấp số cộng cơ bản và thường sử dụng nhất.

3.1. Công thức cấp số cộng theo định nghĩa chung

Theo định nghĩa, xét $U_{n}$ là cấp số cộng với công sai d thì khi đó ta có công thức: 

$U_{n}$ = $U_{n-1}$ + d $(ngeqslant 2)$

3.2. Công thức tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng

Công thức tính số hạng tổng quát bằng cách sử dụng số hạng đầu kèm công sai: 

$U_{n}$ = $U_{1}$ + $(n-1)d$

3.3. Công thức cấp số cộng thông qua hai số liền kề

Công thức cấp số cộng có 2 số liền kề hay còn gọi là tính chất của cấp số cộng. Ta cùng xét CSC $U_{n}$ với số hạng đằng trước là $U_{n-1}$ và số hạng liền kề đằng sau là $U_{n-1}$:

$U_{n}$ = $frac{U_{n-1}+U_{n-1}}{2}$ hay $U_{n+1}$ + $U_{n-1}$ = $2U_{n}$

3.4. Công thức cấp số liên hệ giữa hai số bất kì

$U_{n}$ = $U_{m}$ + $(n-m)d$

3.5. Công thức tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

3.5.1. Công thức tính tổng n số hạng đầu (tổng riêng thứ n) thông qua số hạng đầu và số hạng thứ n 

$S_{n}$ = $U_{1}$ + $U_{2}$ + … + $U_{n}$ = $frac{n(U_{1}+U_{n})}{2}$ $(ngeqslant 1)$

3.5.2. Công thức tính tổng n số hạng đầu (tổng riêng thứ n) thông qua số hạng đầu và công sai

$S_{n}$ = $n.U_{1}$ + $frac{n.(n-1)}{2}d$ $(ngeqslant 2)$

Đăng ký ngay để nhận bí kíp nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán thi THPT Quốc gia ngay!

4. Vận dụng công thức cấp số cộng để giải bài tập từ cơ bản đến nâng cao

Bài tập 1: Áp dụng công thức định nghĩa để giải CSC sau:

Dãy số 3;6;9;12;15 là một cấp số cộng vì: 

6 = 3 + 3

9 = 6 + 3

12 = 9 + 3

15 = 12 + 3

Đây là cấp số cộng có công sai d = 3 và số hạng đầu $U_{1}$= 3

Bài tập 2: Công thức tìm số hạng tổng quát

Cho cấp số cộng $(U_{n})$ có $U_{1}$ = -2 và công sai d = 7. Tính số hạng tổng quát?

Lời giải: 

Theo công thức thứ 2 phần I, ta có: 

$U_{n}$ = $U_{1}$ + $(n-1)d$ = -2 + $(n-1).7$ = 7n – 9

Bài tập 3: Tìm số hạng bất kì

Cho CSC $(U_{n})$ với điều kiện d=3, $U_{1}$= -1. Tính $S_{20}$.

Lời giải:

Ta có $S_{20}$ = $20U_{1}$ + $frac{20.(20-1)}{2}$.d

                     = 20. (-1) + $frac{20.19}{2}$. 3

                     = 550

Bài tập 4: Tìm công sai 

Cho CSC $(U_{n})$ có tổng 100 số hạng đầu bằng 24850, $U_{1}$=1. Công sai d của cấp số cộng bằng bao nhiêu? 

Lời giải: 

Ta có $S_{100}$ = 24850 $Leftrightarrow frac{n}{2}(U_{1}$+$U_{n})$=24850$Leftrightarrow U_{100}$ = 496.

Vậy $U_{100}$ = $U_{1}$ + 99d $Leftrightarrow$ d = $frac{U_{100}-U_{1}}{99}$ $Leftrightarrow$ d = 5

Bài tập 5: Tính số hạng đầu của cấp số cộng

Cho một cấp số cộng (u_n) biết rằng

Hãy tính số hạng đầu của cấp số cộng trên.

Hướng dẫn giải:

Ta có

Vậy số hạng đầu của cấp số cộng là u₁ = 1

Thông qua những thông tin trong bài viết, hi vọng các bạn đã có thể nắm chắc kiến thức liên quan đến công thức cấp số cộng trong chương trình Toán 11 để vận dụng giải bài tập cấp số cộng thật chính xác. Để có thể học thêm nhiều phần bài giảng thú vị và chi tiết khác, các bạn có thể truy cập ngay Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản hoặc liên hệ trung tâm hỗ trợ để bắt đầu quá trình học tập của mình nhé!

>> Xem thêm:

• Tổng hợp các công thức cấp số cộng và cấp sô nhân 
• Xác suất của biến cố
• Phép thử và biến cố
• Cấp số nhân là gì? Tổng hợp các công thức cấp số nhân và bài tập
• Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn và bài tập vận dụng

1. Cấp số cộng và cấp số nhân là gì?

1.1. Cấp số nhân

Trong chương trình toán THPT, cấp số nhân là một dãy số thỏa mãn điều kiện số thứ 2 của dãy số đó là tích của số đứng trước với 1 số không đổi. Số không đổi này được gọi là công bội của cấp số nhân. Từ đó ta có định nghĩa về cấp số nhân như sau:

• Un là cấp số nhân tương đương với un+1=un.q, trong đó n∈N

• q là công bội và q được tính: $q=frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ 

• Số hạng tổng quát

Để có thể tính số hạng tổng quát của cấp số nhân, chúng ta áp dụng công thức sau: 

un =u1. Qn-1

• Tính chất của cấp số nhân 

• Tổng n số hạng đầu

1.2. Cấp số cộng

Cấp số cộng được dùng để chỉ một dãy số thỏa mãn số đứng sau bằng tổng của số đứng trước với một số không đổi. Số không đổi này gọi là công sai.

Dãy số cấp số cộng có thể là vô hạn hoặc hữu hạn. Ví dụ như: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, …

Từ đó chúng ta có định nghĩa:

Un là cấp số cộng nếu: un + 1 = un + d

Trong đó có d là công sai = un + 1 – un

• Số hạng tổng quát

Chúng ta tính được số hạng tổng quát bằng cách thông qua số hạng đầu và công sai có công thức như sau:

un = u1 + (n – 1)d

• Tính chất cấp số cộng

• Tổng n số hạng đầu

2. Tổng hợp các công thức cấp số cộng và cấp số nhân

Công thức cấp số nhân cấp số cộng rất dễ ghi nhớ. Đây là các công thức có liên quan tới giá trị đặc trưng của 2 dạng dãy số này. 

2.1. Công thức cấp số cộng

• Công thức cấp số cộng tổng quát:

u_n = u_m + (n-m)d

Từ công thức tổng quát trên ta suy ra số hạng thứ 2 trở đi của cấp số cộng bằng trung bình cộng của 2 số hạng liền kề nó.

$u_{k}=frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}, forall k geq 2$

Ví dụ: Số hạng thứ 2 của cấp số cộng là bao nhiêu biết số hạng thứ 7 là 100, công sai là 2.

Giải:

Áp dụng công thức ta có số hạng thứ 2 của cấp số cộng là:

•  Chúng ta có 2 công thức để tính tổng n số hạng đầu đối với cấp số cộng. Ta có:

$S_{n}=sum_{k=1}^{n}u_{k}=frac{n(u_{1}+u_{n})}{2}$

Ví dụ: Tính tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng biết cấp số cộng có số hạng đầu bằng 3 và công sai bằng 2. 

Giải:

Áp dụng công thức ta có:

​​2.2. Công thức cấp số nhân

• Ta xét các cấp số nhân mà số hạng đầu và công bội khác 0. Điều đó có nghĩa tất cả các số hạng của cấp số nhân khác 0. Ta có công thức cấp số nhân:

u_n=u_m.q^n-m

Ví dụ: Biết số hạng thứ 8 của cấp số nhân bằng 32 và công bội bằng 2. Tính số hạng thứ 5 của cấp số nhân

Giải:

Áp dụng công thức ta có:

Từ công thức trên ta suy ra được các công thức:

• Tổng n số hạng đầu cấp số nhân được tính theo công thức:

$S_{n}=sum{k=1}^{n}=u_{1}.frac{1-q^{n}}{1-q}$

Ví dụ: Cho cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2. Tính tổng 11 số hạng đầu của cấp số nhân.

Giải: Áp dụng công thức ta có:

>> Xem thêm: Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn và bài tập

Đăng ký ngay để được các thầy cô xây dựng lộ trình ôn thi THPT đạt 9+ sớm ngay từ bây giờ

3. Một số bài tập về cấp số cộng và cấp số nhân (kèm lời giải chi tiết)

Bài 1: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết rằng tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120.

Giải:

Giả sử công sai là d = 2x, 4 số hạng đó lần lượt là: a-3x, a-x, a+x, a+3x. Lúc này ta có:

Kết luận bốn số chúng ta cần tìm lần lượt là 2, 4, 6, 8

Bài 2: Cho cấp số cộng:

Hãy tính số hạng thứ 100 của cấp số cộng?

Giải:

Từ giải thiết, chúng ta có: 

=> $u_{100}=u_{1}+99d= -295$

Bài 3: Cho cấp số cộng 

Hãy tính công sai, công thức tổng quát cấp số cộng đã cho.

Giải:

Gọi d là công sai của cấp số cộng đã cho, ta có: 

Công sai của cấp số cộng trên d=3, số hạng tổng quát là un=u1+(n-1)d=3n-2

Bài 4: Cho cấp số cộng 

Hãy tính S = u1 +u4+u7+…+u2011?

Giải: 

Ta có các số hạng u1, u4,u7 ,…,u2011 lập được thành một cấp số cộng bao gồm 670 số hạng và có công sai d’ = 3d. Do đó ta có: 

Bài 5:  Cho cấp số cộng hãy xác định công sai và công thức tổng quát:

Giải: 

Gọi d là công sai của cấp số cộng, ta có:

Vậy ta có công sai của cấp số là d=3

Công thức tổng quát:

Bài 6: Cấp số nhân (un) có các số hạng khác 0 hãy tìm u1 biết rằng:

Giải:

Kết luận u1=1, u1=8

Bài 7: Cho cấp số nhân sau:

5 số hạng đầu của cấp số nhân là bao nhiêu?

Giải:

Gọi q là bội của cấp số. Theo giải thiết chúng ta có:

5 số hạng đầu của cấp số nhân cần tìm là u1=2, u2=23, u3=29, u4=27, u5=281

Bài 8: Cho cấp số nhân sau:

Tính tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân?

Giải:

Bài 9: Cho cấp số nhân thỏa mãn

Công bội và công thức tổng quát của cấp số nhân là?

Giải:

Hy vọng các công thức cấp số cộng và cấp số nhân mà VUIHOC mang đến phần nào giúp các bạn ghi nhớ hiệu quả và và hạn chế sai sót trong quá trình giải bài tập cấp số cộng, cấp số nhân trong chương trình Toán 11. Các bạn học sinh hãy đăng ký khóa học dành cho học sinh lớp 12 ôn thi THPT trên Vuihoc.vn nhé! Chúc các bạn ôn thi thật hiệu quả.

>> Xem thêm:

Tổng hợp công thức Toán 12 ôn thi THPT Quốc gia

Ôn thi toán tốt nghiệp THPT

Cấp số cộng là gì?

Cấp số cộng là một dãy số trong đó mỗi số tiếp theo được tạo ra bằng cách cộng một hằng số cố định vào số trước đó. Hằng số này được gọi là công sai của cấp số cộng.

Ví dụ, dãy số 2, 4, 6, 8, 10 là một cấp số cộng với công sai là 2, bởi vì mỗi số tiếp theo được tạo ra bằng cách cộng thêm 2 vào số trước đó.

Công thức tổng quát cho một cấp số cộng với số hạng đầu tiên là a1 và công sai là d là: an = a1 + (n-1)d Trong đó, an là số thứ n trong dãy số.

Các ứng dụng của cấp số cộng rất phổ biến trong toán học và khoa học máy tính, bao gồm việc tạo các mẫu dữ liệu và mã hóa thông tin.

Tính chất của cấp số cộng

Một số tính chất quan trọng của cấp số cộng bao gồm:

– Tổng của một cấp số cộng: Tổng của n số đầu tiên trong một cấp số cộng có thể được tính bằng công thức: S = (n/2) x (a1 + an), trong đó S là tổng của n số đầu tiên, a1 là số hạng đầu tiên, an là số hạng thứ n.

– Số hạng trung bình của một cấp số cộng: Số hạng trung bình của một cấp số cộng được tính bằng công thức: a = (a1 + an) / 2

– Các số hạng trong một cấp số cộng: Các số hạng trong một cấp số cộng có thể được tìm bằng cách sử dụng công thức sau đây: an = a1 + (n-1)d, trong đó d là công sai của cấp số cộng.

– Phân tích cấu trúc của một chuỗi số: Một chuỗi số có thể được phân tích thành cấp số cộng nếu các số trong chuỗi này có thể được tạo thành từ một số hạng đầu tiên và một công sai cố định.

Các ứng dụng của cấp số cộng rất phổ biến trong toán học, khoa học máy tính, và các lĩnh vực khác. Chúng có thể được sử dụng để giải quyết các vấn đề liên quan đến tài chính, thống kê, khoa học dữ liệu, và nhiều lĩnh vực khác.

Có một số loại cấp số cộng phổ biến, bao gồm:

– Cấp số cộng hình vuông: Là cấp số cộng mà các số hạng được tạo ra bằng cách cộng các số chính phương liên tiếp. Ví dụ: 1, 4, 9, 16, 25 là một cấp số cộng hình vuông.

– Cấp số cộng Fibonacci: Là cấp số cộng mà các số hạng được tạo ra bằng cách cộng các số liền trước của chuỗi Fibonacci. Ví dụ: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 là một cấp số cộng Fibonacci.

– Cấp số cộng tiên nghiệm: Là cấp số cộng mà các số hạng được tạo ra bằng cách cộng một số hạng trước đó với một số nguyên tố cố định. Ví dụ: 2, 5, 11, 23, 47 là một cấp số cộng tiên nghiệm với công sai là 3.

– Cấp số cộng hội tụ: Là cấp số cộng mà tổng các số hạng trong đó hội tụ đến một giá trị cố định khi số lượng các số hạng tiến đến vô cùng. Ví dụ: 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999,… là một cấp số cộng hội tụ về 1.

Trong toán học, cấp số cộng là một trong những khái niệm cơ bản và quan trọng, được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

Lý thuyết cần nắm về Cấp số cộng

Định nghĩa

Định nghĩa: 

• Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hay hữu hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
• Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
• Nếu (un) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi un=un−1+d  với n∈N∗(1)

Đặc biệt khi d=0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

Ví dụ: Chứng minh dãy số 1,−3,−7,−11,−15 là một cấp số cộng.

Ta có:

−3=1+(−4) ; −11=−7+(−4);

−7=−3+(−4); −15=−11+(−4);

Nên theo định nghĩa, dãy số 1,−3,−7,−11,−15 là một cấp số cộng với công sai d=−4.

Số hạng tổng quát

Định lý 1: Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un của nó được xác định bởi công thức

un=u1+(n−1)dvới n≥2 (2)

Ví dụ: Cho cấp số cộng (un), biết  u1=−5,d=3

a. Tìm  u15

b. Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu.

Giải

a. Theo công thức (2) ta có  u15=−5+(15−1)×3=37

b. Theo công thức (2) ta có un=−5+(n−1)×3

Vì un=100 nên −5+(n−1)×3=100⇔n=36

Tính chất các số hạng của cấp số cộng

Định lý 2: Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó

Hệ quả: Ba số a,b,c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng ⇔a+c=2b.

Tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng

Ví dụ: Cho dãy số (un) với un=3n−1.

a. Chứng minh dãy (un) là cấp số cộng. Tìm u1 và d.

b. Tính tổng của 50 số hạng đẩu.

c. Biết Sn=260, tìm n.

Giải

a. Vì un=3n−1 nên u1=2.

Với n≥1, xét hiệu un+1−un=3(n+1)−1−(3n−1)=3,

⇒un+1=un+3

Vậy (un) là cấp số cộng với công sai d=3.

b. Vì u1=2,d=3,n=50 nên theo công thức (4′) ta có

S50=50.2+50.49/ 2×3=3775

c. Vì u1=2,d=3,Sn=260 nên theo công thức (4′) ta có

Sn=n×2+n(n−1)/ 2×3=260⇔3n2+n−520=0⇔n=13

1. Cấp số cộng là gì?

Định nghĩa cấp số cộng: Là một dãy số hữu hạn hay vô hạn, trong đó kể từ số hạng thứ 2 thì mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng trước và một số d (công sai) không đổi.

Có nghĩa là  là cấp số cộng

2. Tính chất cấp số cộng

Nếu là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kế bên nó trong dãy số, tức là:

3. Tính công sai cấp số cộng

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. Công sai 

Ví dụ: Ta có dãy số -3, 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25 là một cấp số cộng với công sai d = 4

4. Số hạng tổng quát của cấp số cộng

Nếu cấp số cộng khởi đầu là phần tử  và công sai là d, thì số hạng thứ n của cấp số cộng được tính theo công thức cấp số cộng sau:

» Xem thêm: Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng chi tiết, đầy đủ

5. Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

Giả sử  là một cấp số cộng. Với mỗi số nguyên dương n, gọi  là tổng n số hạng đầu tiên của nó  khi đó ta có công thức:

Ví dụ: Công ty ABC đang thực hiện việc trả lương cho các nhân viên bán hàng theo phương thức: Mức lương của quý làm việc đầu tiên là 4,5 triệu đồng/quý và kể từ quý thứ 2 sẽ tăng lên 0,3 triệu đồng cho mỗi quý. Yêu cầu hãy tính tổng tiền lương 1 nhân viên nhận được sau 3 năm làm việc tại công ty.

Bài giải:

Với mỗi số nguyên dương n, được kí hiệu  (triệu đồng) là mức lương của nhân viên làm việc thứ n cho công ty.

Theo đề bài ta có:

Từ đó ta có dãy số là một cấp số cộng với công sai d = 0,3

Do mỗi năm có 4 quý nên 3 năm sẽ có 12 quý. Như vậy theo yêu cầu của đề bài ta cần phải tính tổng 12 số hạng đầu tiên của cấp số cộng .

Áp dụng công thức số hạng tổng quát ta được: 

Áp dụng công thức tổng n số hạng đầu tiên ta được:

Vậy tổng số tiền lương nhân viên nhận được sau 3 năm làm tại công ty là 73,8 triệu đồng.

6. Một số bài tập về cấp số cộng

Bài tập 1: Cho các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của dãy số?

Bài tập 2: Cho 2 cấp số cộng

Gọi tổng của n số hạng đầu của mỗi cấp số theo thứ tự là:

Bên trên là những kiến thức thức tổng quát và một số bài tập thường gặp của cấp số cộng do VOH Giáo dục biên soạn và chia sẻ đến các em học sinh. Hy vọng bài viết có thể giúp ích cho các em hiểu và áp dụng công thức cấp số cộng giải các bài toán trong quá trình học tập.

luatminhkhue.vn › Giáo dục, luatduonggia.vn › cap-so-cong-la-gi-cong-sai-la-gi-cong-thuc-tinh-cap-so-…, vi.wikipedia.org › wiki › Cấp_số_cộng, toanthaydinh.com › cap-so-cong, vuihoc.vn › Tin tức, vuihoc.vn › Tin tức, loigiaihay.com › Lớp 11 › SGK Toán lớp 11, luathoangphi.vn › Giáo dục, toppy.vn › Home › Góc học tập › Học tốt môn Toán, voh.com.vn › hoc-tap › chuyen-de-sgk-toan-11-cap-so-cong.2275.639.288, Cấp số nhân, Cấp số cộng, Công thức cấp số cộng, Tính cấp số cộng, Bài tập cấp số cộng, Công thức tổng cấp số cộng, Công sai là gì, Cho cấp số cộng