Chiều Cao Của Tam Giác Vuông – Thông tin tuyển sinh đào tạo Đại học Cao đẳng

Công thức tính đường cao trong tam giác

Tính đường cao trong tam giác thường

Cách tính đường cao trong tam giác sử dụng công thức Heron:

Với a, b, c là độ dài các cạnh; ha là đường cao được kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC; p là nửa chu vi:

Ví dụ: 

Cho tam giác ABC, cạnh AB = 4 cm, cạnh BC = 7 cm, cạnh AC = 5 cm. Tính đường cao AH kể từ A cắt BC tại H và tính diện tích ABC.

Giải:

Nửa chu vi tam giác: P = (AB + BC + AC) : 2 = (4 + 7 + 5) : 2 = 8(cm)

Chiều cao   

=>

Xét tam giác ABC, ta có:

Như vậy,

Tính đường cao trong tam giác đều

Giả sử tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng a như hình vẽ:

Trong đó:

• h là đường cao của tam giác đều
• a là độ dài cạnh của tam giác đều

Công thức tính đường cao trong tam giác vuông

Giả sử có tam giác vuông ABC vuông tại A như hình vẽ trên:

Công thức tính cạnh và đường cao trong tam giác vuông:

1. a² = b² + c²

2. b² = a.b′ và c² = a.c′

3. a.h = b.c

4. h² = b′.c’

5.

Trong đó:

• a, b, c lần lượt là các cạnh của tam giác vuông như hình trên;
• b’ là đường chiếu của cạnh b trên cạnh huyền;
• c’ là đường chiếu của cạnh c trên cạnh huyền;
• h là chiều cao của tam giác vuông được kẻ từ đỉnh góc vuông A xuống cạnh huyền BC.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính BC, AC, AH biết AB = 15cm, HC = 16cm.

Giải:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có:

AC² = CH.BC = 16.BC

AB² = AC² = BC²

⇔ 15² + 16.BC = BC²

⇔ BC² – 16.BC – 225 = 0

⇔ BC² – 25.BC + 9.BC – 225 = 0

⇔ BC(BC – 25) + 9(BC – 25) = 0

⇔ (BC – 25)(BC + 9) = 0

⇔ BC = 25 hoặc BC = -9 (loại)

⇒ AC² = 16.BC = 16.25 = 400 ⇒ AC = 20

Xét tam giác vuông ABC có: AH.BC = AB.AC (hệ thức lượng)

Vậy BC=25(cm); AC=20(cm); AH=12(cm)

Ví dụ 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=24cm, AC=32cm. Đường trung trực của BC cắt AC, BC theo thứ tự D và E. Tính DE.

Giải:

Xét tam giác vuông ABC, ta có:

BC² = AB²+ AC² ( theo định lý py-ta-go)

BC² = 24²+ 32²

BC² = 1600

BC = 40(cm)

EC = BC : 2 = 40 : 2 = 20(cm)

Xét tam giác vuông ACB và tam giác vuông ECD có:

Có ∠A = ∠E = 90o

∠C chung

=> Tam giác ACB ∾ tam giác ECD (g.g)

=> AC/EC = AB/ED

=> ED = AB.EC/AC = 15cm

Vậy ED = 15cm

Công thức tính đường cao trong tam giác cân

Giả sử các bạn có tam giác ABC cân tại A, đường cao AH vuông góc tại H như hình trên:

Công thức tính đường cao AH:

Vì tam giác ABC cân tại A nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến nên:

⇒ HB=HC= ½BC

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABH vuông tại H ta có:

AH²+BH²=AB²

⇒AH²=AB²−BH²

Ví dụ: Cho Δ ABC cân tại A có BC = 30(cm), đường cao AH = 20(cm). Tính đường cao ứng với cạnh bên của tam giác cân đó.

Giải: Xét Δ ABC cân tại A có BC = 30(cm)

⇒ BH = CH = 15(cm).

Áp dụng đinh lý Py – ta – go ta có:

Kẻ , giờ ta phải tính BK = ?

Ta có:

Mặt khác

Do đó, ta có ⇔

Đường cao trong tam giác vuông là gì?

Đường cao trong một tam giác vuông là đoạn thẳng nối đỉnh của góc vuông với đối diện của nó trên cạnh huyền. Nó được gọi là đường cao vì đó là đường đi từ đỉnh của góc vuông xuống đối diện của nó, và đồng thời cũng là đường cao của hình chiếu vuông góc của đỉnh đó lên cạnh đối diện. Đường cao trong một tam giác vuông cũng là bán kính của đường tròn nội tiếp của tam giác.

Định lý về đường cao trong tam giác vuông

Định lý đường cao trong tam giác vuông là một trong những định lý quan trọng trong hình học tam giác và được sử dụng rộng rãi trong các bài toán liên quan đến tam giác vuông.

Định lý đường cao trong tam giác vuông nói rằng: “Trong một tam giác vuông, đường cao còn là trung bình hình học và trung vị của cạnh huyền.”

Cụ thể hơn, giả sử trong tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC, đường cao AH hạ xuống cạnh AB, và gọi M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó, ta có:

• Độ dài đường cao AH bằng tích của độ dài cạnh huyền BC và độ dài cạnh góc vuông AB, chia cho độ dài đoạn thẳng AC: AH = (BC x AB) / AC
• Độ dài đường cao AH bằng độ dài đoạn thẳng BM: AH = BM = MC
• Độ dài đường cao AH cũng là trung bình cộng của hai cạnh góc vuông AB và BC: AH = (AB + BC) / 2

Định lý đường cao trong tam giác vuông là một công cụ quan trọng trong việc tính toán các thông số của tam giác vuông, cũng như trong việc giải quyết các bài toán hình học liên quan đến tam giác vuông.

Tính chất của đường cao trong tam giác vuông

Tam giác vuông là một loại tam giác đặc biệt có một góc vuông. Điều này dẫn đến các tính chất đặc biệt của đường cao trong tam giác vuông. Những tính chất này rất hữu ích trong quá trình giải các bài tập và cũng có ứng dụng trong cuộc sống. Sau đây là các tính chất cần ghi nhớ về đường cao trong tam giác vuông:

• Tính chất thứ nhất: Trong tam giác vuông, tích của độ dài đường cao với độ dài cạnh huyền tương ứng bằng tích của hai độ dài cạnh góc vuông trong tam giác.
• Tính chất thứ hai: Trong tam giác vuông, bình phương của độ dài cạnh góc vuông bằng tích của độ dài cạnh huyền và độ dài đường cao tương ứng chiếu lên cạnh huyền.
• Tính chất thứ ba: Trong tam giác vuông, bình phương của độ dài đường cao trên cạnh huyền bằng tích của độ dài hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông lên cạnh huyền.
• Tính chất thứ tư: Trong tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng nghịch đảo của bình phương độ dài đường cao.

Tam giác vuông

Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông (góc vuông bằng 90 độ). Tam giác vuông là một trong những hình đa giác được áp dụng khá phổ biết trong bài tập cũng như thực tế. Các mối quan hệ giữa các cạnh và góc của một tam giác vuông được xem là nền tảng cơ bản của lượng giác học.

Tam giác ABC có góc A = 90 độ, suy ra tam giác ABC vuông tại A, từ đó ta có:

+BC đối diện với góc vuông gọi là cạnh huyền của tam giác

+Hai cạnh AB và AC kề với góc vuông gọi là cạnh bên (hay còn gọi là cạnh góc vuông).

Định lý Pytago

Định lý Pytago trong tam giác vuông phát biểu rằng: tổng bình phương của hai cạnh góc vuông bằng bình phương cạnh huyền:

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

Dấu hiệu nhận biết tam giác vuông

Có 5 dấu hiệu nhận biết và chứng minh tam giác thường là tam giác vuông, cụ thể như sau:

+Tam giác có 1 góc vuông là tam giác vuông (góc vuông=90 độ)

+Tam giác có hai góc nhọn phụ nhau là tam giác vuông

+Tam giác có bình phowng một cạnh bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại là tam giác vuông (theo tính chất cạnh huyền trong tam giác vuông, định lý pytago)

+Tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nữa cạnh ấy alf tam giác vuông

+Tam giác nội tiếp đường tròn có một cạnh là đường kính của đường tròn là tam giác vuông.

Công thức cách tính đường cao trong tam giác vuông

Bài toán: cho tam giác ABC vuông tại A, độ dài AB=C, AC=b và BC=a. Kẻ đường thẳng từ A, vuông góc với BC và cắt BC tại H. Tính AH.

Bài giải:

Xát tam giác ABC có A vuông, ta có:

+theo định lý Pytago ta có:

a2=b2+c2

+theo định lý đường cao trong tam giác ta có:

b2=a.b′ và c2=a.c′

ah = bc

h2=b′.c’

Từ đó, suy ra công thức tính đường cao trong tam giác vuông là:

Trong đó:

+a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh trong tam giác vuông ABC

+b’ là cạnh chiếu của b trên cạnh huyền

+c’ là cạnh chiếu của c trên cạnh huyền

+h là chiều cao của tam giác vuông được kẻ từ đỉnh góc vuông A xuống cạnh huyện BC

Trên đây là toàn bộ những thông tin về công thức cách tính đường cao trong tam giác vuông – kèm lời giải giành đến bạn đọc. Những thông tin trên sẽ giúp mọi người hiểu sâu hơn về tam giác vuông cũng như cách giải toán về đường cao trong tam giác vuông một cách đơn giãn và dễ hiểu nhất. Cảm ơn đã theo dõi hết bài viết của nhà tớ!

1. Đường cao là gì?

Đường cao của tam giác là đoạn thẳng vuông góc được kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện của tam giác đó.

Cạnh đối diện được gọi là đáy ứng với đường cao đó.

Giao điểm giữa đáy và đường cao được gọi là chân của đường cao.

Độ dài của đường cao được tính bằng khoảng cách từ đỉnh đến đáy.

Trong một tam giác sẽ có 3 đường cao được hạ từ 3 đỉnh của tam giác đó. Ba đường cao này sẽ đồng quy (giao nhau) tại một điểm. Điểm đó được gọi là trực tâm.

Trực tâm của tam giác có thể nằm trong (xuất hiện ở tam giác nhọn) hoặc nằm ngoài (ở tam giác tù) hoặc trùng với một đỉnh trong tam giác (xuất hiện ở tam giác vuông).

Lưu ý: Tính chất ba đường cao của tam giác áp dụng theo Định lí: Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác

2. Tính chất của đường cao trong tam giác:

2.1. Tính chất của đường cao trong tam giác cân:

Trong tam giác cân, theo định nghĩa, đường cao tương ứng với cạnh đáy chính là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đó. Như vậy, đường cao của tam giác cân đi qua trung điểm của cạnh đáy. Ngoài ra, đường cao của tam giác cân đồng thời cũng là đường phân giác của góc ở đỉnh và đường trung trực của đáy tam giác. Ngược lại nếu như một tam giác các có đường cao đồng thời cũng là đường trung tuyến hoặc phân giác thì tam giác đó chính là tam giác cân.

Chú ý: Tam giác đều là một dạng đặc biệt của tam giác cân. Do đó, tính chất đường cao trong tam giác đều cũng tương tự như tính chất đường cao trong tam giác cân.

2.2. Tính chất đường cao trong tam giác vuông:

Trong tam giác vuông thì đường cao với đáy là một cạnh góc vuông chính là cạnh góc vuông còn lại. Như vậy thì đỉnh góc vuông chính là chân đường cao hạ từ hai đỉnh còn lại xuống hai cạnh góc vuông của tam giác.

2.3. Tính chất đường cao của tam giác vuông cân:

Tam giác vuông cân vừa là tam giác vuông lại vừa là tam giác cân.

Đường cao trong tam giác vuông cân đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến kẻ từ đỉnh góc vuông của tam giác đó.

Đồng thời, độ dài của đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông sẽ có độ dài bằng ½ cạnh huyền.

Đường cao trong tam giác?

Đường cao của tam giác là đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến cạnh đối diện. Cạnh đối diện này được gọi là đáy ứng với đường cao. Độ dài của đường cao là khoảng cách giữa đỉnh và đáy.

Công thức tính đường cao trong tam giác

Có nhiều cách giúp các bạn tính đường cao, cách đơn giản tính đường cao trong tam giác là sử dụng công thức Heron:

[{h_a} = 2frac{{sqrt {pleft( {p – a} right)left( {p – b} right)left( {p – c} right)} }}{a}]

Với a, b, c là độ dài các cạnh; ha là đường cao được kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC; p là nửa chu vi:

[p = frac{{left( {a + b + c} right)}}{2}]

Công thức tính đường cao trong tam giác đều

Giả sử tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng a như sau:

Công thức tính đường cao: (h = afrac{{sqrt 3 }}{2})

Trong đó: h là đường cao của tam giác đều; a là độ dài cạnh của tam giác đều.

Công thức tính đường cao trong tam giác vuông

Giả sử có tam giác vuông ABC vuông tại A như hình sau:

Công thức tính cạnh và đường cao trong tam giác vuông:

1. ({a^2} = {b^2} + {c^2})

2. ({b^2} = a.b’) và ({c^2} = a.c’)

3. ah = bc

4. ({h^2} = b’.c’)

5. (frac{1}{{{h^2}}} = frac{1}{{{b^2}}} + frac{1}{{{c^2}}})

Trong đó: a, b, c lần lượt là các cạnh của tam giác vuông như hình trên;

b’ là đường chiếu của cạnh b trên cạnh huyền; c’ là đường chiếu của cạnh c trên cạnh huyền;

h là chiều cao của tam giác vuông được kẻ từ đỉnh góc vuông A xuống cạnh huyền BC.

Như vậy các bạn có thể dựa vào các công thức cạnh và đường cao trong tam giác vuông ở trên để giải quyết các bài toán.

Công thức tính đường cao trong tam giác cân

Giả sử các bạn có tam giác ABC cân tại A, đường cao AH vuông góc tại H như sau:

Công thức tính đường cao AH:

Vì tam giác ABC cân tại A nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến nên:

( Rightarrow HB = HC = frac{{BC}}{2})

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABH vuông tại H ta có:

(A{H^2} + B{H^2} = A{B^2})

( Rightarrow A{H^2} = A{B^2} – B{H^2})

Trên đây là công thức tính đường cao trong tam giác, các bạn chỉ cần tính các thành phần chưa biết trong công thức tính đường cao trong tam giác là có thể tính được đường cao trong tam giác. Chúc các bạn thành công!

1. Một số tính chất về đường cao trong tam giác 

Trước tiên chúng hiểu đường cao trong tam giác chính là đoạn thẳng vuông góc xuất phát từ đỉnh của tam giác đến cạnh đáy đối diện của tam giác đó. Mỗi một tam giác sẽ có 3 đường cao và khoảng cách giữa đỉnh và cạnh đáy là độ dài đường cao. Cùng tìm hiểu với chúng tôi một số tính chất trong các loại tam giác đặc biệt sau đây. 

1.1 Tính chất ba đường cao trong tam giác thường

Cùng với giả thiết đề bài toán và kết quả đã được các nhà toán học trên toàn thế giới đã chứng minh có sẵn. Hiện nay, chúng ta đã thừa nhận các tích chất của đường cao trong tam giác thường như sau. Ba đường cao của một tam giác sẽ giao nhau tại một điểm. Và giao điểm của ba đường cao sẽ được coi là trực tâm của tam giác đó. 

Tính chất ba đường cao trong tam giác thường

1.2 Tính chất đường cao trong tam giác vuông

Đối với tam giác vuông, đây là tam giác đặc biệt so với tam giác thường bởi nó có một góc vuông. Chính điều này khiến cho đường cao tam giác vuông sẽ có một số tính chất khác biệt như sau đây. Những tính chất này chúng ta cần phải ghi nhớ để để có thể giúp ích trong quá trình làm bài tập và ứng dụng trong cuộc sống nhé: 

• Tính chất thứ 1: Trong tam giác vuông, tích của đường cao với cạnh huyền tương ứng chính bằng tích của hai cạnh góc vuông trong tam giác
• Tính chất thứ 2: Trong tam giác vuông ta có bình phương của cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân đường cao tương ứng chiếu trên cạnh huyền đó
• Tính chất thứ 3: Trong tam giác vuông, bình phương của đường cao trên cạnh huyền chính bằng tích của hai hình chiếu trên cạnh huyền của hai cạnh góc vuông 
• Tính chất thứ 4: Trong tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng nghịch đảo của bình phương đường cao

1.3 Tính chất đường cao trong tam giác cân

Đường cao trong tam giác cân

Tam giác cân chính là tam giác có tính chất đặc biệt là có độ dài hai cạnh bên bằng nhau và 2 góc ở đáy cũng bằng nhau. Chính vì vậy, Đường cao trong tam giác cân sẽ có một số tính chất đặc biệt mà các bạn học cần biết như sau:

• Đầu tiên, đường cao trong tam giác chính là đoạn thẳng vuông góc xuất phát từ đỉnh đến cạnh đáy. Và đường cao trong tam giác cân sẽ giúp chia tam giác cân này thành 2 tam giác cân bằng nhau khác.
• Thứ hai, đường cao xuất phát từ đỉnh ứng với cạnh đáy có chân đường cao là trung điểm của cạnh đáy. Do đó nó đồng thời là đường cao, đường phân giác và cũng là đường trung trực của tam giác cân.

Bên cạnh đó, trong tam giác vuông cân là trường hợp đặc biệt của tam giác cân và tam giác vuông. Chính vậy mà, đường cao tam giác vuông cân sẽ có các tính chất tương tự như trong tam giác cân và tam giác vuông. Và đường cao trong tam giác vuông cân sẽ chia tam giác thành hai tam giác vuông cân.

1.4 Đường cao trong tam giác đều có tính chất gì?

Tam giác đều là tam giác thường đáp ứng đủ các điều kiện là có 3 cạnh bằng nhau. Đồng thời 3 góc có trong tam giác đều bằng và bằng 60 độ nên độ dài của 3 đường cao tam giác đều bằng nhau. Bên cạnh đó, đường cao của tam giác đều có một số tính chất đặc biệt nổi bật mà bạn nên biết như sau: 

• Thứ nhất, một tam giác đều có tới 3 đường cao. Và những đường cao tương ứng đều xuất phát từ các định và kẻ vuông góc xuống các cạnh đáy còn lại tương ứng trong tam giác.
• Thứ hai, 3 đường cao trong tam giác đều sẽ chia đôi các góc ở đỉnh thành 2 góc bằng nhau và đều bằng 30^o
• Thứ ba, đường cao trong tam giác đều không chỉ đồng thời là đường trung trực, đường phân giác mà còn là đường trung tuyến trong tam giác. Bởi trong tam giác đều sẽ có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau.
• Thứ tư, đường cao đi qua trung điểm của cạnh đáy và chia cạnh đáy thành 2 phần bằng nhau.
• Thứ năm, mỗi đường cao trong tam giác đều sẽ chia tam giác thành 2 tam giác bằng nhau có diện tích như nhau giống tam giác cân và tam giác vuông.

2. Các công thức tính độ dài đường cao trong tam giác

Hiện nay, các công thức tính độ dài đường cao đều đã được phát hiện và chứng minh do những nhà toán học thời trước. Bởi vậy mà trong quá trình giải bài tập, thay vì chúng ta phải chứng minh các công thức lại từ đầu để tìm ra công thức thì chúng ta có thể ghi nhớ và áp dụng một số công thức sau đây để tìm ra đáp án nhanh và chính xác hơn nhé!

2.1 Tìm hiểu công thức tính đường cao trong tam giác không đặc biệt

Chúng ta có thể nhận thấy rất đơn giản tam giác thường có 3 cạnh khác nhau, tạm gọi chúng là a, b, c, suy ra nửa chu vi p = (a + b + c)/2. Từ đó ta có công thức tính chiều cao trong tam giác thường như sau: h= 2. p p-ap-b(p-c)a 

2.2 Cách tính đường cao trong tam giác đều nhanh gọn

Tính đường cao tam giác đều và hình vẽ đường cao trong tam giác đều

Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau và ba góc bằng nhau, Chính vậy mà  đối với đường cao trong tam giác đều thì tính chất cố hữu của đường cao đó là 3 đường cao trong tam giác đều có độ dài bằng nhau. Và có đầy đầy đủ các tính chất giống nhau.

Do đó, giả sử cạnh của tam giác đều có độ dài là x thì đường cao trong tam giác đều sẽ có thể được tính theo công thức đã chứng minh như sau:  H = x. 32. 

2.3 Một số cách tính đường cao trong tam giác vuông

Dựa vào những tính chất đã chứng minh của đường cao trong tam giác vuông thì đường cao trong tam giác vuông ta rút ra được một số cách tính độ dài đường cao trong tam giác vuông mà bạn nên biết như sau:

• X. H = Y.Z (theo đó X,Y,Z lần lượt là các cạnh của tam giác vuông, X là cạnh huyền)
• H² = Y’. Z’ (Y’, Z’ lần lượt là hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền)
• 1H2 = 1Y2 + 1Z2

2.4 Công thức, cách tính đường cao trong tam giác cân đơn giản nhất

Đối với  tam giác cân là tam giác có hai cạnh bên bằng nhau và hai góc bên bằng nhau. Chính bởi vậy mà đường cao trong tam giác cân có những tính chất khác biệt với tam giác thường. Do vậy, công thức tính đường cao của tam giác cân có cách tính khác nhau cụ thể như sau: 

Giả sử tam giác cân có 2 cạnh bên có độ dài bằng a, cạnh đáy bằng b. Từ đó dựa vào tính chất trung điểm cũng như định lí Pi- ta-go chúng ta có công thức tính đường cao tam giác cân như sau:

H = 4a2– b24

Như vậy, bài viết trên đã giúp bạn có thêm những kiến thức bổ ích về những Tính Chất & Cách Tính Đường Cao Tam Giác Đều, Vuông, Cân ở lớp 7. Và tiếp theo chúng ta sẽ làm quen với những tính chất của tam giác đồng dạng lớp 8. Hãy tiếp tục theo dõi chúng tôi để biết thêm những thông tin khác về toán học nhé.

Thuật ngữ[sửa | sửa mã nguồn]

Cạnh đối diện với góc vuông gọi là cạnh huyền. Hai cạnh kề với góc vuông là cạnh bên (hay còn gọi là cạnh góc vuông). Cạnh a có thể xem là kề với góc B và đối góc A, trong khi cạnh b kề góc A và đối góc B.

Nếu chiều dài của ba cạnh là các số nguyên, tam giác được gọi là tam giác Pythagore và chiều dài ba cạnh của nó được gọi chung là Bộ ba số Pythagore.

Các định lý[sửa | sửa mã nguồn]

Góc[sửa | sửa mã nguồn]

Trong tam giác vuông, 2 góc nhọn phụ nhau.

Đường cao[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu một đường cao được vẽ từ đỉnh góc vuông cho tới cạnh huyền thì tam giác vuông được chia thành hai tam giác nhỏ hơn đồng dạng với tam giác gốc và đồng dạng với nhau. Từ đó:

• Chiều cao là trung bình nhân của hai đoạn cạnh huyền.
• Mỗi cạnh của tam giác vuông là trung bình nhân của cạnh huyền và hai đoạn của cạnh huyền kề với cạnh bên.

Công thức được viết là:

(Đôi khi được gọi là Định lý đường cao tam giác vuông)

Trong đó, a, b, c, d, e, f được thể hiện như trong biểu đồ. Do đó:

Hơn nữa, chiều cao với cạnh huyền còn có liên quan tới các cạnh bên của tam giác vuông bằng^[1][2]

Diện tích[sửa | sửa mã nguồn]

Với bất cứ tam giác nào, diện tích đều bằng một nửa chiều dài đáy nhân với chiều cao tương ứng. Trong một tam giác vuông, nếu một cạnh góc vuông được coi là đáy thì cạnh góc vuông còn lại được xem là chiều cao, diện tích của tam giác vuông khi đó sẽ bằng một nửa tích của hai cạnh góc vuông. Công thức diện tích của tam giác là:

Trong đó a và b là 2 cạnh góc vuông của tam giác, c là cạnh huyền và h là đường cao của tam giác

Nếu đường tròn nội tiếp tiếp tuyến cạnh huyền AB tại điểm P, coi bán chu vi (a + b + c) / 2 là s, chúng ta có PA = s − a và PB = s − b và diện tích sẽ là:

Công thức này chỉ áp dụng với các tam giác vuông.^[3]

Đường trung tuyến trong tam giác vuông[sửa | sửa mã nguồn]

Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

Định lý Pytago[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý Pytago phát biểu rằng:

Tổng diện tích của hai hình vuông vẽ trên cạnh kề của một tam giác vuông bằng diện tích hình vuông vẽ trên cạnh huyền của tam giác này. (xem hình 3)

Nó được thể hiện bằng phương trình trong đó, c là chiều dài của cạnh huyền và a và b là chiều dài của hai cạnh còn lại.

Bán kính đường tròn nội tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp[sửa | sửa mã nguồn]

Bán kính của đường tròn nội tiếp của một tam giác vuông với hai cạnh bên a và b và cạnh huyền c là:

Bán kính của đường tròn ngoại tiếp bằng chiều dài một nửa cạnh huyền

Tỷ số lượng giác của góc nhọn[sửa | sửa mã nguồn]

• vuông tại C có

Trong tam giác vuông có góc nhọn thì

= cạnh đối/cạnh huyền

= cạnh kề/cạnh huyền

= cạnh đối/cạnh kề

= cạnh kề/cạnh đối .

Có một bài thơ giúp ta nhớ được: “Sin đi học / Cos không hư / Tan đoàn kết / Cot kết đoàn”.

‍I. ĐỊNH NGHĨA ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC

Đường cao trong tam giác là đường thẳng từ đỉnh tam giác hạ vuông góc xuống cạnh đối diện. Trong một tam giác có 3 đường cao và chúng đồng quy với nhau tại 1 điểm.

Ví dụ: △ABC trên có 3 đường cao được hạ từ 3 đỉnh A, B, C: AK, CQ, BN và chúng giao nhau tại O.

II. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC

Đường cao trong tam giác có tính chất:

Ba đường cao trong tam giác đồng quy với nhau tại 1 điểm, điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.

Ví dụ: △ABC trên có 3 đường cao AK, CQ, BN và chúng đồng quy tại O, O là trực tâm △ABC.

Chú ý: Không chỉ ở tam giác thường mà ở dạng tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều cũng có đường cao và tính chất của đường cao vẫn giữ nguyên.

Đường cao trong tam giác vuông

Đối với tam giác vuông đường cao của tam giác có tính chất là:

Trong một tam giác vuông, đường cao của tam giác là hai cạnh bên góc vuông của tam giác đó và một đường cao hạ từ đỉnh góc vuông, và 3 đường cao đồng quy tại chính đỉnh góc vuông đó.

Ví dụ: △ABC vuông tại B có 3 đường cao là  AB, BC, BM chúng đồng quy tại B.

Đường cao trong tam giác cân, tam giác đều

Đường cao trong tam giác cân hạ từ đỉnh cân xuống cạnh đáy vừa là đường trung tuyến, đường trung trực, đường phân giác.

Đường cao trong tam giác đều hạ 3 đỉnh đều là đường trung tuyến, đường trung trực, đường phân giác.

III. CÔNG THỨC ĐỘ DÀI CỦA ĐƯỜNG CAO 

Có 5 cách tính độ dài đường cao của một tam giác

Công thức chung:

Công thức tính độ dài đường cao của một tam giác bằng diện tích tam giác nhân 2 rồi chia cho cạnh đáy tương ứng với chiều cao đó:

$$h = {S over a}$$

Trong đó:

• S: Diện tích của hình tam giác.

• a: Cạnh đáy tương ứng với chiều cao của hình tam giác.

• h: Chiều cao của tam giác.

Công thức tính độ dài đường cao của một tam giác ta có thể sử dụng công thức Heron đã được chứng minh:

$$h_a = 2. {sqrt {p.(p -a).(p-b).(p-c)}over a}$$

Trong đó:

• h: Chiều cao của tam giác.
• b. c: Độ dài các cạnh của hình tam giác.
• a: Cạnh đáy tương ứng với chiều cao của hình tam giác
• p: Nửa chu vi của hình tam giác.

Đường cao trong tam giác đều

Đường cao tam giác đều có độ dài bằng nhau, áp dụng định lý Heron ta có công thức tính đường cao trong tam giác đều:

$$h = {a sqrt3over 2}$$

Trong đó:

• h: Chiều cao của tam giác đều.

• a: Cạnh của tam giác đều.

Đường cao trong tam giác cân

Áp dụng công thức Pitago trong tam giác ta có công thức tính đường cao trong tam giác cân là:

$$h^2 = {a^2 }-{b^2over 4}$$

Trong đó:

• h: Chiều cao của tam giác cân.
• a: Cạnh của tam giác cân.
• b: Cạnh đáy tương ứng với chiều cao từ đỉnh của hình tam giác cân.

Đường cao trong tam giác vuông

Áp dụng công thức tính cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có công thức tính đường cao trong tam giác vuông là:

(a^2 = {b^2 + c^2})
(b^2 = {a.b’}) và (c^2 = {a.c’})
(a.h = {b.c})
(h^2= {b’.c’})
({1over h^2} = {1over b^2} + {1over c^2})

Trong đó:

• a, b, c: độ dài các cạnh của tam giác vuông.
• b’: đường chiếu của cạnh b ứng trên cạnh huyền.
• c’: đường chiếu của cạnh c ứng trên cạnh huyền.
• h: đường cao hạ từ đỉnh góc vuông.

IV. BÀI TẬP MINH HỌA VỀ CÔNG THỨC ĐỘ DÀI CỦA ĐƯỜNG CAO

Ví dụ: Cho hình △ABC vuông tại A có đường cao AH (H ∊ BC), biết BH= 9m, BC= 25m. Tính độ dài các đường cao trong △ABC?

Lời giải tham khảo:

H ∊ BC mà BH= 9m, BC= 25m

⇒  CH= 25 – 9 = 16 (m)

Áp dụng công thức tính cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

*) AH² = BH x CH = 9 x 16 = 144

⇒ AH = 12 (m)

*) AB² = BC x BH = 25 x 9 = 225

⇒ AB = 15 (m)

*) AC² = BC x CH = 25 x 16 = 400

⇒ AC = 20 (m)

Vậy độ dài 3 đường cao trong △ABC vuông tại A: AB, AC, AH lần lượt là 15m, 20m, 12m.

I. Công thức tính đường cao trong tam giác

1. Trường hợp 1: Tam giác thường

Công thức tính chiều cao hình tam giác:

Trong đó:
– a, b, c là độ dài các cạnh trong tam giác.
– h là chiều cao trong tam giác.
– p là nửa chu vi tam giác có công thức là p = (a + b + c) : 2.

2. Trường hợp 2: Tam giác cân

Giả sử các bạn có tam giác ABC cân tại A và đường cao AH vuông tại H như hình dưới đây.

Vì ABC cân tại A nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến nên:
HB = H C= BC/2.
Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông AHB vuông tại H ta có:

Cách tính đường cao trong tam giác đều như sau:

4. Trường hợp 4: Tam giác vuông

Trong đó, tam giác vuông ABC vuông tại A, đường cao AH cắt BC tại H:
a, b, c là các cạnh của tam giác vuông như trên hình.
b’ là đường chiếu của cạnh b trên cạnh huyền
c’ là đường chiếu của cạnh c trên cạnh huyền
h là đường cao AH

II. Bài tập ví dụ về tính chiều cao trong tam giác

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH, cho AB : AC = 3 : 4, AB + AC = 21cm.
a. Tính các cạnh của tam giác ABC.
b. Tính đường cao AH.

Giải

Các em có thể áp dụng cách tính đường cao trong tam giác vuông để giải bài toán. 

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, cạnh AB = 4 cm, cạnh BC = 7 cm, cạnh AC = 5 cm. Tính đường cao AH kể từ A cắt BC tại H và tính diện tích ABC.

Giải:

Khi các bạn tính đường cao trong tam giác, bạn có thể tính được diện tích tam giác . tìm được độ dài các cạnh, tính góc trong tam giác đơn giản và dễ dàng hơn rất nhiều.

/cach-tinh-duong-cao-trong-tam-giac-56202n.aspx
Tam giác đều là là trường hợp đặc biệt của hình tam giác, các bạn có thể tính đường cao tam giác đều dựa vào công thức tính đường cao trong tam giác.