Công Bội Cấp Số Nhân – Thông tin tuyển sinh đào tạo Đại học Cao đẳng

Bạn đang xem video CẤP SỐ NHÂN – Khối 11 mới nhất trong danh sách Thông tin tuyển sinh được cập nhật từ kênh TOÁN THẦY TÙNG từ ngày 2017-01-05 với mô tả như dưới đây.

Bài giảng tối ưu nhất về phần Cấp Số Nhân Khối 11
———-
CLB GIA SƯ THỦ KHOA EFC
Add: Số 18, ngõ 200/15 Lâm Hạ, Long Biên, Hà Nội
Tel: 01694987807
Bài tập: https://drive.google.com/file/d/0B9ynfttPyPHhNGtYQ09HeTlPdFE/view?usp=sharing
Fanpage: https://www.facebook.com/efc.vn
Youtube “CLB gia sư thủ khoa EFC” : https://www.youtube.com/channel/UC-TGlGkwMXTVHIMCHlnUJNA?sub_confirmation=1
Website: http://www.efc.vn
Facebook thầy Tùng NT: https://www.facebook.com/tung.nt.311

1. Cấp số nhân là gì? Công bội là gì?

Cấp số nhân là một dãy số vô hạn hoặc hữu hạn thoả mãn điều kiện kể từ số hạng thứ hai được gọi là cấp số nhân. Mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng trước ngay nó nhân với một số hạng không đổi. Số hạng không đổi này được gọi là công bội của cấp số nhân.

Công thức truy hồi:

Nếu (Un) là cấp số nhân với q là công bội, ta có công thức:

Ví dụ: Dãy số: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024,….là một cấp số nhân phần tử đầu tiên là 1 với công bội q = 2. => Sự thay đổi của cấp số nhân tuỳ theo giá trị của công bội q.

Công bội q của cấp số nhân ( U1) được tính bằng công thức:

Ví dụ: Cho cấp số nhân (Un) có (U1) = 4 và (U2) = 8. Tính công bội q?

Trả lời: Công bội q = 8/4 = 2. ( áp dụng công thức tính công bội q )

Kết luận: q = 2.

Chú ý:

– Khi q = 0 thì cấp số nhân có dạng: u1, 0, 0,…

– Khi q = 1 thì cấp số nhân là dãy số không đổi có dạng: u1, u1, u1,…

– Khi q < 0 thì cấp số nhân là dãy số không tăng, không giảm.

– Khi q > 0 và q < 1 thì cấp số nhân là dãy số giảm.

– Khi q > 1 thì cấp số nhân là dãy số tăng.

– Khi u1 = 0, với mọi q thì cấp số nhân có dạng: 0, 0, 0, …

Ví dụ: Cho cấp số nhân ( Un) với u1 = 6, q = 8. Tính u2?

Trả lời: Ta có: u2 = q.u1 = 8.6 = 48 => u2 = 48.

Kết luận: ( u2) = 48.

2. Số hạng tổng quát của cấp số nhân:

Số hạng tổng quát (Un) được xác định bởi công thức sau: ( Cấp số nhân có số hạng đầu (u1) và công bội q ).

Với n ≥ 2

Ví dụ: Cho cấp số nhân (Un) có (u1) = 2, q = 5. Tính (u6)

Trả lời: u6 = u1.q^6-1 = 2.5^4 = 1250.

Kết luận: (u6) = 1250.

3. Tính chất của cấp số nhân:

Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó.

<msubsup><mi>u</mi><mi>k</mi><mn>2</mn></msubsup><mo>=</mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><msub><mi>u</mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mo>.</mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><msub><mi>u</mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></math>” id=”MathJax-Element-14-Frame” role=”presentation”>                                                                                                                                                                 

Ví dụ: Cho bốn số a, 10, 20, b theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tìm a và b?
Trả lời: Ta có: 10^2 = a.20 <=> 20 = a.20 => a = 1.

20^2 = 5.b <=> 40 = 5.b => b = 6.

Kết luận: a = 1 và b = 6.

1. Cấp số cộng và cấp số nhân là gì?

1.1. Cấp số nhân

Trong chương trình toán THPT, cấp số nhân là một dãy số thỏa mãn điều kiện số thứ 2 của dãy số đó là tích của số đứng trước với 1 số không đổi. Số không đổi này được gọi là công bội của cấp số nhân. Từ đó ta có định nghĩa về cấp số nhân như sau:

• Un là cấp số nhân tương đương với un+1=un.q, trong đó n∈N

• q là công bội và q được tính: $q=frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ 

• Số hạng tổng quát

Để có thể tính số hạng tổng quát của cấp số nhân, chúng ta áp dụng công thức sau: 

un =u1. Qn-1

• Tính chất của cấp số nhân 

• Tổng n số hạng đầu

1.2. Cấp số cộng

Cấp số cộng được dùng để chỉ một dãy số thỏa mãn số đứng sau bằng tổng của số đứng trước với một số không đổi. Số không đổi này gọi là công sai.

Dãy số cấp số cộng có thể là vô hạn hoặc hữu hạn. Ví dụ như: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, …

Từ đó chúng ta có định nghĩa:

Un là cấp số cộng nếu: un + 1 = un + d

Trong đó có d là công sai = un + 1 – un

• Số hạng tổng quát

Chúng ta tính được số hạng tổng quát bằng cách thông qua số hạng đầu và công sai có công thức như sau:

un = u1 + (n – 1)d

• Tính chất cấp số cộng

• Tổng n số hạng đầu

2. Tổng hợp các công thức cấp số cộng và cấp số nhân

Công thức cấp số nhân cấp số cộng rất dễ ghi nhớ. Đây là các công thức có liên quan tới giá trị đặc trưng của 2 dạng dãy số này. 

2.1. Công thức cấp số cộng

• Công thức cấp số cộng tổng quát:

u_n = u_m + (n-m)d

Từ công thức tổng quát trên ta suy ra số hạng thứ 2 trở đi của cấp số cộng bằng trung bình cộng của 2 số hạng liền kề nó.

$u_{k}=frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}, forall k geq 2$

Ví dụ: Số hạng thứ 2 của cấp số cộng là bao nhiêu biết số hạng thứ 7 là 100, công sai là 2.

Giải:

Áp dụng công thức ta có số hạng thứ 2 của cấp số cộng là:

•  Chúng ta có 2 công thức để tính tổng n số hạng đầu đối với cấp số cộng. Ta có:

$S_{n}=sum_{k=1}^{n}u_{k}=frac{n(u_{1}+u_{n})}{2}$

Ví dụ: Tính tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng biết cấp số cộng có số hạng đầu bằng 3 và công sai bằng 2. 

Giải:

Áp dụng công thức ta có:

​​2.2. Công thức cấp số nhân

• Ta xét các cấp số nhân mà số hạng đầu và công bội khác 0. Điều đó có nghĩa tất cả các số hạng của cấp số nhân khác 0. Ta có công thức cấp số nhân:

u_n=u_m.q^n-m

Ví dụ: Biết số hạng thứ 8 của cấp số nhân bằng 32 và công bội bằng 2. Tính số hạng thứ 5 của cấp số nhân

Giải:

Áp dụng công thức ta có:

Từ công thức trên ta suy ra được các công thức:

• Tổng n số hạng đầu cấp số nhân được tính theo công thức:

$S_{n}=sum{k=1}^{n}=u_{1}.frac{1-q^{n}}{1-q}$

Ví dụ: Cho cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2. Tính tổng 11 số hạng đầu của cấp số nhân.

Giải: Áp dụng công thức ta có:

>> Xem thêm: Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn và bài tập

Đăng ký ngay để được các thầy cô xây dựng lộ trình ôn thi THPT đạt 9+ sớm ngay từ bây giờ

3. Một số bài tập về cấp số cộng và cấp số nhân (kèm lời giải chi tiết)

Bài 1: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết rằng tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120.

Giải:

Giả sử công sai là d = 2x, 4 số hạng đó lần lượt là: a-3x, a-x, a+x, a+3x. Lúc này ta có:

Kết luận bốn số chúng ta cần tìm lần lượt là 2, 4, 6, 8

Bài 2: Cho cấp số cộng:

Hãy tính số hạng thứ 100 của cấp số cộng?

Giải:

Từ giải thiết, chúng ta có: 

=> $u_{100}=u_{1}+99d= -295$

Bài 3: Cho cấp số cộng 

Hãy tính công sai, công thức tổng quát cấp số cộng đã cho.

Giải:

Gọi d là công sai của cấp số cộng đã cho, ta có: 

Công sai của cấp số cộng trên d=3, số hạng tổng quát là un=u1+(n-1)d=3n-2

Bài 4: Cho cấp số cộng 

Hãy tính S = u1 +u4+u7+…+u2011?

Giải: 

Ta có các số hạng u1, u4,u7 ,…,u2011 lập được thành một cấp số cộng bao gồm 670 số hạng và có công sai d’ = 3d. Do đó ta có: 

Bài 5:  Cho cấp số cộng hãy xác định công sai và công thức tổng quát:

Giải: 

Gọi d là công sai của cấp số cộng, ta có:

Vậy ta có công sai của cấp số là d=3

Công thức tổng quát:

Bài 6: Cấp số nhân (un) có các số hạng khác 0 hãy tìm u1 biết rằng:

Giải:

Kết luận u1=1, u1=8

Bài 7: Cho cấp số nhân sau:

5 số hạng đầu của cấp số nhân là bao nhiêu?

Giải:

Gọi q là bội của cấp số. Theo giải thiết chúng ta có:

5 số hạng đầu của cấp số nhân cần tìm là u1=2, u2=23, u3=29, u4=27, u5=281

Bài 8: Cho cấp số nhân sau:

Tính tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân?

Giải:

Bài 9: Cho cấp số nhân thỏa mãn

Công bội và công thức tổng quát của cấp số nhân là?

Giải:

Hy vọng các công thức cấp số cộng và cấp số nhân mà VUIHOC mang đến phần nào giúp các bạn ghi nhớ hiệu quả và và hạn chế sai sót trong quá trình giải bài tập cấp số cộng, cấp số nhân trong chương trình Toán 11. Các bạn học sinh hãy đăng ký khóa học dành cho học sinh lớp 12 ôn thi THPT trên Vuihoc.vn nhé! Chúc các bạn ôn thi thật hiệu quả.

>> Xem thêm:

Tổng hợp công thức Toán 12 ôn thi THPT Quốc gia

Ôn thi toán tốt nghiệp THPT

I. CẤP SỐ NHÂN LÀ GÌ

Một dãy vô hạn hoặc hữu hạn được gọi là một cấp sô’ nhân. Nếu mọi số hạng (trừ số hạng đầu) đều bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi. Số không đổi đó được gọi là công bội.

Ví dụ:

II. CÔNG THỨC CẤP SỐ NHÂN

Công thức 1: Công thức định nghĩa

Công thức 2: Tính số hạng tổng quát thông qua số hạng đầu và công bội

Ví dụ 1:

Lời giải:

Áp dụng công thức 2, ta có công thức số hạng tổng quát là:

Công thức 3: Công thức liên hệ với hai số hạng liền kề

Ví dụ 2:

Lời giải:

Áp dụng công thức 3, ta có:

Công thức 4: Công thức liên hệ giữa hai số hạng bất kỳ

Ví dụ 3:

Lời giải:

Áp dụng công thức 4, ta có:

Công thức 5: Công thức tính tổng n số hạng đầu (tổng riêng thứ n) thông qua số hạng đầu và công bội q≠1.

Trong trường hợp q=1 ta dễ dàng tính được:

Ví dụ 4:

Tính tổng:

Lời giải:

III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Nếu cấp sô’ nhân có công bội thỏa mãn -1<q<1 thì cấp sô’ nhân được gọi là lùi vô hạn.

Ví dụ:

Tìm dạng phân số của số 10,(12).

Lời giải:

Trên đây là định nghĩa và các công thức của cấp sô’ nhân mà toanthaydinh.com giới thiệu đến các bạn. Các công thức xoay quanh các giá trị: Số hạng đầu; Số hạng tổng quát; Công bội; Tổng riêng thứ n. Đề bài thường cho 1 số giá trị và yêu cầu tính các giá trị còn lại. Để làm được thì các bạn phải nhớ được các công thức. Nên các bạn hãy ghi nhớ các công thức để vận dụng nhé. Chúc các bạn thành công và học giỏi!

Xem thêm:

Cấp số cộng, công sai là gì? Lý thuyết và công thức tính cấp số cộng

Cấp số cộng cấp số nhân –

• Cấp số cộng, công sai là gì? Lý thuyết và công thức tính cấp số cộng

1. Định nghĩa cấp số nhân

Vậy cấp số nhân là gì?

      Cấp số nhân là một dãy số, trong đó từ số hạn thứ 2 trở đi, mỗi số hạn đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với số q không đổi . Số q đó được gọi là công bội của cấp số nhân.

Ví dụ: 

Cho cấp số nhân un có u1=3, u2=6. Tính công bội q.

Áp dụng theo công thức ta có:

q= u2/u1 = 6/3 = 2

Cấp số nhân với công bội là 3 và phần tử đầu tiên là 2

2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458….

Cấp số nhân với công bội 1/3 và phần tử đầu tiên là 1:

1, ⅓, 1/9, 1/27, 1/81, 1/243,…

2. Tính chất công thức cấp số nhân

Tính chất công thức cấp số nhân nhân là gì?

        Như trên ta thấy có sự thay đổi của các giá trị cấp số nhân, và sự thay đổi đó phụ thuộc vào giá trị của công bội cấp số nhân

Ta xét về công bội cấp số nhân như sau: 

      Công bội là số dương: Các số hạng luôn có dấu cố định có nghĩa là dãy số đó là dãy số nguyên âm, hoặc là chỉ dãy số dương, k có sự thay đổi dấu của các giá trị.

      Công bội là số âm: Ngược lại với công bội cấp số nhân là số dương thì các số hạng là có sự đan xen giữa các giá trị âm và dương..

      Công bội bằng 0, mọi số hạng tất nhiên đều sẽ bằng 0.

      Công bội cấp số nhân mà lớn hơn 1 (q>1), giá trị các số hạng tăng theo hàm mũ tới vô cực dương hoặc vô cực âm.

       Công bội cấp số nhân mà bằng 1 (q=1), thì do theo định nghĩa cấp số nhân thì ta có dãy số cấp số nhân trong trường hợp này là một dãy số không đổi.

       Công bội cấp số nhân có giá trị nằm giữa 1 và −1 (-1<q<1)nhưng khác không, thì giá trị dãy số cấp số nhân sẽ giảm theo hàm mũ về 0.

       Công bội cấp số nhân là −1, thì giá trị của dãy số cấp số nhân là một dãy số có giá trị chỉ đan dấu nhau mà thôi. Ví dụ: 2,-2, 2, -2,…..

       Công bội cấp số nhân mà nhỏ hơn −1, thì giá trị của dãy cấp số nhân chúng tăng theo hàm mũ về vô cực dương hoặc âm.

Ta có: Công thức cấp số nhân (un) là cấp số nhân có công bội là q.

    Ta sẽ được công thức cấp số nhân:

u(n+1) = un.q, với mọi số nguyên dương n,(n=1,2,3,4,5,…).

Ta có tổng công thức cấp số nhân số hạng tổng quát: un=u1.q^(n–1), với n ≥ 2 

Về tính chất, ta lại có:

         (uk)² = u(k–1).u(k+1), với k ≥ 2

Tổng các số hạng của cấp số nhân trong công thức cấp số nhân:

S=(u1.(1-q^n))/1-q với q khác 1

Ví dụ 1: Tìm các số hạng của cấp số nhân có năm số hạng, biết:

1. a) u3 = 9 và u5 = 81;                    b) u4 – u2 = 624 và u3 – u1 = 2500

Bài giải công thức cấp số nhân

1. a) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát, ta có:

              u3 = 9 = u1.q² và u5 = 81 = u1.q⁵. 

Vì 81 = (u1q²).q² = 9.q² nên q² = 9 hay q = ±3.

Thay q² = 9 vào công thức chứa u3, ta có u1 = 3.

– Nếu công bội q = 3, ta có cấp số nhân: 3, 9, 27, 81, 243,…

– Nếu công bội q = -3, ta có cấp số nhân: -3, -9, -27,-81,-243,…

1. b) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát từ giả thiết, ta có:

u1.q³ – u1.q=625 và u1.q² – u1=2500

=> u1.q.(q²-1) = 625 và u1.(q²-1)=2500

Theo phương trình công thức cấp số nhân trên ta có: 

2500q=625   => q=¼.

u1 = 2500/(q²-1) = -8000/3.

Vậy, ta có dãy cấp số nhân như sau:

-8000/3, -2000/3, -500/3, -125/3, -125/12,….

      Phía trên là những kiến thức công thức cấp số nhân thật sự là hữu ích có thể giúp các bạn rất nhiều trong học tập, trong ôn thi và trong cuộc sống. Tuy tần suất sử dụng không nhiều nhưng một phần nào đó chúng không thể thiếu trong cuộc sống của chúng ta. Mong rằng với những kiến thức công thức cấp số nhân trên mà kênh tintuctuyensinh cung cấp sẽ giúp các bạn hiểu và áp dụng được cấp số nhân một cách thành thạo nhất nhé. Chúc các bạn thành công!

Xem thêm: 

Bí quyết thêm số mũ hiệu quả nhanh chóng nhất

Phép trừ các số mũ dễ hiểu, giải nhanh nhất 2021

Số mũ là gì? Những thông tin mới nhất về nó

Công bội q

Gọi q là công bội của cấp số nhân ta có công thức công bội

Ví dụ cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = 2 , u₂ = 4. Tính công bội q

Áp dụng công thức công bội q ta có

Nếu (u_n) là cấp số nhân với công bội q, ta có u_n +1 = u_n.q, với mọi số nguyên dương n.

Tính chất của cấp số nhân

Định lí 1: Nếu (un) là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) bằng tích của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là

u²_k = u_k-1 . u_k+1

Ví dụ: Cho cấp số nhân (u_n) với công bôi q > 0. Biết u₁ = 1, u₃ = 3. Hãy tìm u₄

Giải:

Theo đính lý 1 ta có

u₂² = u₁.u₃

u₃² = u₂.u₄

Từ (1) do u₂ > 0 ( vì u₁ = 1 >0 và q > 0)

 Từ đây và (2) ta được

Số hạng tổng quát của cấp số nhân

Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu (u_n) và công bội q thì số hạng tổng quát (u_n) sẽ được tính bởi công thức:

u_n = u₁. Q^n-1

Ví dụ: Cho cấp số nhân u_n với u₁ = 3, q = -1/2. Tìm u₇

Giải:

u_n = u₁.q^n-1 suy ra u₇ = u₁.q^7-1 = 3 . (-1/2)⁶ = (3/64)

Tìm tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân

Giả sử có cấp số nhân (u_n) với công bội q. Với mỗi số nguyên dương n gọi s_n là tổng n số hạng đầu tiên của nó. Ta co công thức sau

Nếu q = 1 thì cấp số nhân là s_n = n.u₁

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cho cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) có công bội là q. Khi đó ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn s bằng:

Ví dụ minh họa

Cho ba số a, b, c lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng (a² + b²) . (b² + c²) = (ab + bc)²

Ba số a, b, c lập thành một cấp số nhân ta được ac = b²

Khi: (a² + b²) . (b² + c²) = a²b² + a²c² + b⁴ + b²c² = a²b² + acb² + b²c² = a²b² + 2ab²c + b²c² = (ab + bc)²

Như vậy (a² + b²) . (b² + c²) = (ab + bc)²

Ví dụ 2: Tính tổng cấp số nhân  S = 2 + 6 + 18 + … + 13122

Giải:

Xét cấp số nhân (u_n) có u₁ = 2 và công bội q = 3

Ta có :

13122 = u_n = u_nq^n-1 = 2.3^n-1 => n = 9

Như vậy suy ra

Ví dụ 3: Tìm x để ba số x – 2, x – 4, x + 2 lập thành một cấp số nhân

Giải:

Để 3 x – 2, x – 4, x + 2 lập thành một cấp số nhân điều kiện sẽ là

( x – 4 )² = ( x – 2 ) ( x +2 ) => 8x = 20 => x = 5/2

Vậy x = 5/2 là số cần tìm để ba số x – 2, x – 4, x + 2 lập thành một cấp số nhân

Bài tập 1: Chứng minh các dãy số sau là các cấp số nhân

Giải:

Xét dãy số

Lập tỉ số ( u_n+1 / u_n ) ta được :

Suy ra dãy số trên là cấp số nhân có công bội q = 2

Xét dãy số

Lập tỉ số ( u_n+1 / u_n ) ta được :

Suy ra (u_n) là cấp số nhân có công bội q = ½

Xét dãy số

Lập tỉ số ( u_n+1 / u_n ) ta được :

Suy ra (u_n) là cấp số nhân có công bội q =  -½

Bài tập 2: Cho cấp số nhân (u_n) với công bội q

a) Biết u₁ = 2, u₆ = 486. Tìm q

b) Biết q = 2/3, u₄ = 8/21. Tìm u₁

c) Biết u₁ = 3, q = -2. Hỏi số 192 là số hạng thứ mấy ?

Giải:

Áp dụng công thức u_n = u₁. q^n-1

a) Theo công thức u_n = u₁. q^n-1 ta có: u₆ = u1.q⁵ => q⁵ = u₆ / u₁ = 486 / 2 = 243 => q = 3

b) Theo công thức u_n = u₁. q^n-1 ta có: u₄ = u₁.q³ => u₁ = u₄ / q³ = 8/21 . (3/2)² = 9/7

c) Theo công thức u_n = u₁. q^n-1 ta có: 12 = 3. (-2)^n-1 => (-2)^n-1 = 64 => n-1 = 6 => n = 7 như vậy 192 chính là số hạng thứ 7

Bài tập 3: Tìm các số hạng của cấp số nhân (u_n) có 5 số hạng biết:

a) u₃ = 3 và u₅ = 27

b) u₄– u₂ = 25 và u₃ – u₁ = 50

Giải:

Áp dụng công thức u_n = u₁. q^n-1

a) Theo công thức u_n = u₁. q^n-1 ta có

u₃ = u₁.q² => 3 =  u₁.q² (1)

u₅ = u₁.q⁴ => 27 =  u₁.q⁴ (2)

Từ (1) và (2) suy ra : q² = (u₁.q⁴) / (u₁.q²) = 9 => q = 3 hoặc -3

Với q = 3 ta được u₁ = 1/3, ta có cấp số nhân là 1/3, 1, 3, 9, 27

Với q = -3 ta được u₁ = 1/3, ta có cấp số nhân là 1/3, -1, 3, -9, 27

b) Theo bài cho ta có :

Thay (2) vào (1) ta được 50.q = 25 => q = ½

Từ (2) suy ra u₁ = 50/(q² – 1) = 50 / (1/4 – 1) =  (-200 / 3)

Ta có cấp số nhân :

Bài tập 4 : Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của 5 số hạng đầu là 31 và tổng của 5 số hạng sau là 62

Giải :

Tổng của 5 số hạng đầu là 31 như vậy

u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ = 31

=> u₁q + u₂q + u₃q + u₄q + u₅q =31q

=> u₂ + u₃ + u₄ =+ u₅ + u₆ = 31q (1)

Tổng của 5 số hạng sau là 62 như vậy

u₂ + u₃ + u₄ =+ u₅ + u₆ = 62 (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra 31q = 62 => q = 2

Vì S₅ = 31 = u₁(1-2⁵) / (1-2) => u₁ = 1

Vậy ta được cấp số nhân : 1, 2, 4, 8, 16, 32

Bài tập 5: Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh x là 1,4%. Biết rằng số daancuar tỉnh hiện nay là 1,8 triệu người, hỏi với mức tăng lương như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu ?

Giải:

Gọi số dân của tỉnh đó là N

Sau một năm số dân tăng là 1,4%N

Vậy số dân của tỉnh đó vào năm sau là n + 1,4%N = 101,4%N

Số dân tỉnh đó sau mỗi năm lập thnahf một cấp số nhân như sau

N ; (101,4/100)N ; (101,4/100)²N ; …

Giải sử N = 1,8 triệu người thì sau 5 năm số dân của tỉnh là:

(101,4/100)⁵. 1,8 = 1,9 (triệu dân)

Và sau 10 năm sẽ là

(101,4/100)¹⁰. 1,8 = 2,1 (triệu dân)

Bài tập 6: Cho cấp số nhân (u_n)

a) Viết năm số hạng đầu của cấp số;

b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số;

c) Số 2/6561 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số ?

Giải:

Gọi q là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có:

a) Năm số hạng đầu của cấp số là:

u₁=2,u₂=2/3,u₃=2/9,u₄=2/27,u₅=2/81

b) Tổng 10 số hạng đầu của cấp số

c) ta có:

Bài tập 7: Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm u₁ biết:

Giải:

Cấp số nhân là gì? Có những công thức và tính chất quan trọng cần nhớ? Bài viết này sẽ hệ thống đầy đủ nhất giúp bạn hiểu hơn về phép toán cơ bản này.

Bạn biết đấy, nhiều năm gần đây phép toán cấp số nhân được đưa vào trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia, vẫn biết nó đơn giản nhưng có gây chút khó khăn với một vài bạn. Nếu bỏ thì thật tiếc phải không nào. Để giúp bạn học tốt, bài viết này sẽ nêu rõ định nghĩa, công thức cần học và bài tập cấp số nhân kèm lời giải chi tiết.

Lý thuyết cấp số nhân

• Công thức tổng quát: ${u_{n + 1}} = {u_n}.q$
• Số hạng bất kì: ${u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}}$
• Tổng n số hạng đầu tiên: ${S_n} = {u_1} + {u_2} + … + {u_n} = {u_1}frac{{1 – {q^n}}}{{1 – q}}$

Bài tập cấp số nhân có lời giải chi tiết

Bài tập 1. Cho cấp số nhân ( ${u_n}$ ), biết công bội q = 3 và số hạng đầu tiên ${u_1}$ = 8. Hãy tìm số hạng thứ 2

A. 24

B. 16

C. 32

D. 40

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức cấp số nhân: ${u_{n + 1}} = {u_n}.q$

• q = 3
• số hạng thứ 2: n + 1 = 2 => n = 1
• ${u_1}$ = 8

Thay số vào: ${u_{1 + 1}} = {u_1}.q Rightarrow {u_2} = 8.3 = 24$

Chọn đáp án A.

Bài tập 2. Cho cấp số nhân ( ${u_n}$ ), biết số hạng đầu tiên ${u_1}$ = 8 và số hạng kế tiếp ${u_2}$ = 24. Hãy tìm công bội của dãy số này

A. 6

B. 5

C. 4

D. 3

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức tổng quát: ${u_{n + 1}} = {u_n}.q$

• ${u_1}$ = 8
• ${u_2}$ = 24

Thay số vào: ${u_2} = {u_1}.q Rightarrow 24 = 8.q Rightarrow q = frac{{24}}{8} = 3$

Chọn đáp án D.

Bài tập 3. Cho cấp số nhân ( ${u_n}$ ), biết rằng số hạng đầu tiên ${u_1}$ = 3, công bội là 2. Hãy tìm số hạng thứ 5

A. 96

B. 48

C. 24

D.12

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức số hạng bất kì: ${u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}}$

• ${u_1}$ = 3
• q = 2
• n = 5

Thay số vào:  ${u_5} = {3.2^{5 – 1}} = 48$

Chọn đáp án B.

Bài tập 4. Cho cấp số nhân ( ${u_n}$ ), biết công bội q = – 3 và số hạng đầu tiên ${u_1}$ = 4. Hãy tỉnh tổng của 6 số hạng đầu tiên

A. 244

B. 82

C. 122

D. 730

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên: ${S_n} = {u_1}frac{{1 – {q^n}}}{{1 – q}}$

• q = – 3
• ${u_1}$ = 4

Thay số vào: ${S_6} = {u_1}frac{{1 – {q^6}}}{{1 – q}} = 5.frac{{1 – {{left( { – 2} right)}^6}}}{{1 – left( { – 2} right)}} = 730$

Chọn đáp án D.

Bài tập 5. Cho cấp số nhân ( ${u_n}$ ), biết rằng ${u_1}$ = – 0,5 và số hạng thứ 7 là ${u_7}$ = – 32. Hãy tìm công bội

A. q = 2

B. q = – 2

C. q = ± 2

D. q = 3

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức số hạng bất kì: ${u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}}$

• n = 7
• ${u_1}$ = – 0,5
• ${u_7}$ = – 32

Thay số vào: $ – 32 = left( { – 0,5} right).{q^{7 – 1}} Rightarrow q = pm 2$

Chọn đáp án C.

Bài tập 6. Biết rằng một cấp số nhân ( ${u_n}$ ) có số hạng đầu ${u_1}$ = 8, công bội q = 2 và số hạng thứ n là ${u_n}$ = 256. Hỏi n bằng bao nhiêu

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức cấp số nhân: ${u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}}$

• ${u_1}$ = 8
• q = 2
• ${u_n}$ = 256

Thay số vào: $256 = 8.{q^{n – 1}} Rightarrow {q^{n – 1}} = 32 Rightarrow {q^{n – 1}} = {2^5}$

=> n – 1 = 5=> n = 6

Chọn đáp án C.

Hy vọng bài viết này đã giúp ích bạn học tốt phép toán cơ bản cấp số nhân, nếu có thắc mắc gì hãy comment bên dưới để toanhoc.org giải đáp giúp bạn.

Bài giảng video chi tiết

Dạng 1: Chứng minh 1 dãy số là cấp số nhân

Dạng 2: Cách tìm công bội và số hạng đầu của CSN

Dạng 3: Tính tổng của n số hạng đầu cấp số nhân.

Dạng 4: Sử dụng tính chất của cấp số nhân và cấp số cộng

Ví dụ 1: Tìm các số hạng đầu của cấp số nhân có năm số hạng, biết:

a) u₃ = 3 và u₅ = 27;                    b) u₄ – u₂ = 25 và u₃ – u₁ = 50 

Bài giải

a) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát, ta có:

              u₃ = 3 = u₁.q² và u₅ = 27 = u₁.q⁴. 

Vì 27 = (u₁q²).q² = 3.q² nên q² = 9 hay q = ±3.

Thay q² = 9 vào công thức chứa u₃, ta có u₁ = 1/3.

– Nếu công bội q = 3, ta có cấp số nhân: 1/3, 1, 3, 9, 27.

– Nếu công bội q = -3, ta có cấp số nhân: 1/3, -1, 3, -9, 27.

b) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát từ giả thiết, ta có:

Từ hệ trên ta được: 50.q = 25  => công bội q = 1/2.

Và u₁ =  .

Ta có cấp số nhân .

Cấp số nhân là gì?

Trong toán học, một cấp số nhân (tiếng Anh: geometric progression hoặc geometric sequence) là một dãy số thoả mãn điều kiện kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi. Hằng số này được gọi là công bội của cấp số nhân.

Như vậy, một cấp số nhân có dạng

Trong đó r là công bội và a là số hạng đầu tiên

Công bội của cấp số nhân là gì?

Công bội của cấp số nhân là số lần mà một số được nhân với chính nó để tạo ra các số tiếp theo trong chuỗi cấp số nhân.

Ví dụ, trong chuỗi cấp số nhân có số hạng đầu tiên là a và công bội là r, các số tiếp theo được tạo ra bằng cách nhân số hạng trước đó với r. Vậy, chuỗi cấp số nhân sẽ có dạng: a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, …

Trong đó, r là công bội của chuỗi cấp số nhân. Ví dụ, nếu r = 2, thì mỗi số tiếp theo trong chuỗi sẽ bằng số trước đó nhân với 2.

Công bội của cấp số nhân rất quan trọng trong toán học và ứng dụng của nó rộng rãi trong các lĩnh vực như kinh tế, khoa học máy tính và thống kê.

Ví dụ cấp số nhân

Cấp số nhân với công bội là 2 và phần tử đầu tiên là 1

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024,….

Cấp số nhân với công bội 2/3 và phần tử đầu tiên là 729:

729 (1, 2/3, 4/9, 8/27, 16/81, 32/243, 64/729,….) = 729, 486, 324, 216, 144, 96, 64,….

Cấp số nhân với công bội −1 và phần tử đầu là 3

3 (1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1,….) = 3, −3, 3, −3, 3, −3, 3, −3, 3, −3,….

Sự thay đổi của cấp số nhân tuỳ theo giá trị của công bội

Nếu công bội là:

+ Số dương: Các số hạng luôn có dấu cố định.

+ Số âm: các số hạng là đan dấu giữa âm và dương..

+ 0, mọi số hạng bằng 0.

+ Lớn hơn 1, các số hạng tăng theo hàm mũ tới vô cực dương hoặc âm.

+ 1, là một dãy không đổi.

+ Giữa 1 và −1 nhưng khác không, chúng giảm theo hàm mũ về 0.

+ −1, là một dãy đan dấu.

+ Nhỏ hơn −1, chúng tăng theo hàm mũ về vô cực (dương và âm).

capsocong, toan11, khoi11, capsonhan, csc, csn, thaytungnt, tungnt, thaytung, efc