Công Thức Cấp Số Cộng Cấp Số Nhân – Thông tin tuyển sinh đào tạo Đại học Cao đẳng

1. Cấp số cộng và cấp số nhân là gì?

1.1. Cấp số nhân

Trong chương trình toán THPT, cấp số nhân là một dãy số thỏa mãn điều kiện số thứ 2 của dãy số đó là tích của số đứng trước với 1 số không đổi. Số không đổi này được gọi là công bội của cấp số nhân. Từ đó ta có định nghĩa về cấp số nhân như sau:

• Un là cấp số nhân tương đương với un+1=un.q, trong đó n∈N

• q là công bội và q được tính: $q=frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ 

• Số hạng tổng quát

Để có thể tính số hạng tổng quát của cấp số nhân, chúng ta áp dụng công thức sau: 

un =u1. Qn-1

• Tính chất của cấp số nhân 

• Tổng n số hạng đầu

1.2. Cấp số cộng

Cấp số cộng được dùng để chỉ một dãy số thỏa mãn số đứng sau bằng tổng của số đứng trước với một số không đổi. Số không đổi này gọi là công sai.

Dãy số cấp số cộng có thể là vô hạn hoặc hữu hạn. Ví dụ như: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, …

Từ đó chúng ta có định nghĩa:

Un là cấp số cộng nếu: un + 1 = un + d

Trong đó có d là công sai = un + 1 – un

• Số hạng tổng quát

Chúng ta tính được số hạng tổng quát bằng cách thông qua số hạng đầu và công sai có công thức như sau:

un = u1 + (n – 1)d

• Tính chất cấp số cộng

• Tổng n số hạng đầu

2. Tổng hợp các công thức cấp số cộng và cấp số nhân

Công thức cấp số nhân cấp số cộng rất dễ ghi nhớ. Đây là các công thức có liên quan tới giá trị đặc trưng của 2 dạng dãy số này. 

2.1. Công thức cấp số cộng

• Công thức cấp số cộng tổng quát:

u_n = u_m + (n-m)d

Từ công thức tổng quát trên ta suy ra số hạng thứ 2 trở đi của cấp số cộng bằng trung bình cộng của 2 số hạng liền kề nó.

$u_{k}=frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}, forall k geq 2$

Ví dụ: Số hạng thứ 2 của cấp số cộng là bao nhiêu biết số hạng thứ 7 là 100, công sai là 2.

Giải:

Áp dụng công thức ta có số hạng thứ 2 của cấp số cộng là:

•  Chúng ta có 2 công thức để tính tổng n số hạng đầu đối với cấp số cộng. Ta có:

$S_{n}=sum_{k=1}^{n}u_{k}=frac{n(u_{1}+u_{n})}{2}$

Ví dụ: Tính tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng biết cấp số cộng có số hạng đầu bằng 3 và công sai bằng 2. 

Giải:

Áp dụng công thức ta có:

​​2.2. Công thức cấp số nhân

• Ta xét các cấp số nhân mà số hạng đầu và công bội khác 0. Điều đó có nghĩa tất cả các số hạng của cấp số nhân khác 0. Ta có công thức cấp số nhân:

u_n=u_m.q^n-m

Ví dụ: Biết số hạng thứ 8 của cấp số nhân bằng 32 và công bội bằng 2. Tính số hạng thứ 5 của cấp số nhân

Giải:

Áp dụng công thức ta có:

Từ công thức trên ta suy ra được các công thức:

• Tổng n số hạng đầu cấp số nhân được tính theo công thức:

$S_{n}=sum{k=1}^{n}=u_{1}.frac{1-q^{n}}{1-q}$

Ví dụ: Cho cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2. Tính tổng 11 số hạng đầu của cấp số nhân.

Giải: Áp dụng công thức ta có:

>> Xem thêm: Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn và bài tập

Đăng ký ngay để được các thầy cô xây dựng lộ trình ôn thi THPT đạt 9+ sớm ngay từ bây giờ

3. Một số bài tập về cấp số cộng và cấp số nhân (kèm lời giải chi tiết)

Bài 1: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết rằng tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120.

Giải:

Giả sử công sai là d = 2x, 4 số hạng đó lần lượt là: a-3x, a-x, a+x, a+3x. Lúc này ta có:

Kết luận bốn số chúng ta cần tìm lần lượt là 2, 4, 6, 8

Bài 2: Cho cấp số cộng:

Hãy tính số hạng thứ 100 của cấp số cộng?

Giải:

Từ giải thiết, chúng ta có: 

=> $u_{100}=u_{1}+99d= -295$

Bài 3: Cho cấp số cộng 

Hãy tính công sai, công thức tổng quát cấp số cộng đã cho.

Giải:

Gọi d là công sai của cấp số cộng đã cho, ta có: 

Công sai của cấp số cộng trên d=3, số hạng tổng quát là un=u1+(n-1)d=3n-2

Bài 4: Cho cấp số cộng 

Hãy tính S = u1 +u4+u7+…+u2011?

Giải: 

Ta có các số hạng u1, u4,u7 ,…,u2011 lập được thành một cấp số cộng bao gồm 670 số hạng và có công sai d’ = 3d. Do đó ta có: 

Bài 5:  Cho cấp số cộng hãy xác định công sai và công thức tổng quát:

Giải: 

Gọi d là công sai của cấp số cộng, ta có:

Vậy ta có công sai của cấp số là d=3

Công thức tổng quát:

Bài 6: Cấp số nhân (un) có các số hạng khác 0 hãy tìm u1 biết rằng:

Giải:

Kết luận u1=1, u1=8

Bài 7: Cho cấp số nhân sau:

5 số hạng đầu của cấp số nhân là bao nhiêu?

Giải:

Gọi q là bội của cấp số. Theo giải thiết chúng ta có:

5 số hạng đầu của cấp số nhân cần tìm là u1=2, u2=23, u3=29, u4=27, u5=281

Bài 8: Cho cấp số nhân sau:

Tính tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân?

Giải:

Bài 9: Cho cấp số nhân thỏa mãn

Công bội và công thức tổng quát của cấp số nhân là?

Giải:

Hy vọng các công thức cấp số cộng và cấp số nhân mà VUIHOC mang đến phần nào giúp các bạn ghi nhớ hiệu quả và và hạn chế sai sót trong quá trình giải bài tập cấp số cộng, cấp số nhân. Các bạn học sinh hãy đăng ký khóa học dành cho học sinh lớp 12 ôn thi THPT trên Vuihoc.vn nhé! Chúc các bạn ôn thi thật hiệu quả.

>> Xem thêm:

Tổng hợp công thức Toán 12 ôn thi THPT Quốc gia

Ôn thi toán tốt nghiệp THPT

Công thức cấp số cộng là gì?

Trong toán học, cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) trong đó kể từ số hạng thứ hai đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0.

Công thức tính tổng cấp số cộng: ∀n∈N∗,Un+1=Un+d

Xem thêm: Công thức đạo hàm

Giải thích:

• Kí hiệu d được gọi là công sai
• Un+1–Un = d với mọi n ∈ N* ( trong đó d là hằng số còn Un+1;Un là hai số liên tiếp của dãy số CSC
• Khi hiệu số Un+1–Un phụ thuộc vào n thì không thể là cấp số cộng.

Tính chất:

• uk=uk–1+uk+12,∀k≥2
•  Số hạng tổng quát: un=u1+(n–1)d
• Tổng n số hạng đầu:

Sn=u1+u2+…+un=(u1+un).n2=[2u1+(n–1)d].n2

Công thức cấp số nhân

Cấp số nhân
Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số trong đó số hạng đầu khác không và kể từ số hạng thứ hai đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0 và khác 1 gọi là công bội.

Công thức tổng quát: Un+1=Un.q

Tìm hiểu thêm: Công thức diện tích hình thoi

Trong đó

• n ∈ N*
• công bội là q
• hai số liên tiếp trong công bội là Un,Un+1

Tính chất

• Un+1Un=Un+2Un+1
• Un+1=Un.Un+2−−−−−−−√ , Un > 0
• Ta thấy: {Un+1=Un.qun=u1.qn−1,(n≥2)⇒u2k=uk−1.uk+1,(n≥2)

+ Số hạng tổng quát: Un=U1.qn−1

+ Tổng n số hạng đầu tiên: Sn=U1+U2+...+Un=U11−qn1−q

+ Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: Với |q| < 1 thì Sn=U1+U2+...+Un=U11−q

Lưu ý: Công thức tổng cấp số nhân thường xuyên xuất hiện trong đề thi, tương đối dễ học nên em cần phải nhớ kĩ và chính xác.

Bài tập và ví dụ minh họa

Bài tập cấp số cộng

Câu 1. [ Đề thi tham khảo lần 2 năm 2020] Cho cấp số cộng (un) với u1 = 3, u2 = 9. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

Hướng dẫn giải​

Câu 2. [ Đề thi thử chuyên KHTN Hà Nội] Cho một cấp số cộng có u1=−3;u6=27. Tìm d ?

Hướng dẫn giải​

Dựa vào công thức cấp số cộng ta có:
u6=27⇔u1+5d=27⇔−3+5d=27⇔d=6

Câu 3: [ Đề thi thử chuyên Vinh Nghệ An] Tìm 4 số hạng liên tiếp của một CSC biết tổng của 4 số = 20 và tổng các bình phương của 4 số đó là 120.

Hướng dẫn giải​

Giả sử bốn số hạng đó là a + x, a – 3x, a – x, a + 3x với công sai là d = 2x.Khi đó, ta có:
{(a−3x)+(a−x)+(a+x)+(a+3x)=20(a−3x)2+(a−x)2+(a+x)2+(a+3x)2=120⇔{4a=204a2+20x2=120⇔{a=5x=±1
Vậy 4 số đó: 2, 4, 6, 8.

Câu 4. [ Đề thi thử chuyên PBC Nghệ An] Cho dãy số (un) có d = –2; S8 = 72. Tính u1 ?

Hướng dẫn giải​

Ta có:
⎧⎩⎨Sn=n(u1+un)2d=un−u1n−1⇒{u1+u8=2S8:8u8−u1=7d⇒{u8+u1=18u8−u1=−14⇒u1=16.

Bài tập cấp số nhân

Câu 1. Cho CSN (un) vớiu1=−2; q = – 5. Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát un ?

Hướng dẫn giải​

Từ công thức cấp số nhân:
u2=u1.q=(−2).(−5)=10;u3=u2.q=10.(−5)=−50;u4=u3.q=−50.(−5)=250.
Số hạng tổng quát un=u1.qn−1=(−2).(−5)n−1.

Câu 2. Cho cấp số nhân (un) với u1=−1; q=−110. Số 110103 là số hạng thứ mấy của (un) ?

Hướng dẫn giải​

un=u1.qn−1⇒110103=−1.(−110)n−1⇒n−1=103⇒n=104

Câu 3: Xét xem dãy số sau có phải là CSN hay không? Nếu phải hãy xác định công bội.
un=−3n−15

Hướng dẫn giải​

Dựa vào công thức cấp số nhân ở trên ta thấy:
un+1un=3⇒(un) là CSN với công bội q = 3

Câu 4: Cho cấp số nhân: −15; a; −1125. Giá trị của a là:

Hướng dẫn giải​

Dựa vào công thức cấp số nhân: a2=(−15).(−1125)=1625⇔a=±125

Hy vọng với những thông tin mà chúng tôi vừa chia sẻ có thể giúp các bạn nắm được cấp số cộng là gì? Công thức cấp số cộng, công thức cấp số nhân để vận dụng giải các bài tập nhé

Cấp số cộng là gì?

1. (u_n) là cấp số cộng với công sai d thì: u_n+1 = u_n + d

• Nếu u_n+1 – u_n là hằng số d với mọi n ϵ N^* thì (u_n) là cấp số cộng có công sai d.
• Nếu u_{n+1 –} u_n còn phụ thuộc vào n thì (u_n) không là cấp số cộng.

2. Công thức số hạng tổng quát: U_n = U₁ + (n−1)d , với n ≥ 2
3. Tính chất:

Đặc biệt a,b,c là cấp số cộng ⇔ a + c =2b

4. Tổng của n số hạng đầu của một cấp số cộng:

Định nghĩa

Trong Toán học, cấp số cộng là một dãy số mà trong đó, kể từ số hạng thứ 2 trở đi đều sẽ là tổng của số hạng đứng trước nó với một số không đổi khác 0 được gọi là công sai.

Tính chất

• U_n+1 – U_n = U_n+2 – U_n+1
• Nếu như có 3 số bất kì m, n, q lập thành CSC thì 3 số đó luôn thỏa mãn m + q = 2n
• Số hạng tổng quát: U_n = U₁ + d(n−1)
• Nếu muốn tính tổng n số hạng đầu, ta có công thức:

Công thức cấp số cộng

Công thức tính tổng cấp số cộng: ∀n ∈ N*, U_n+1 = U_n + d

Giải thích:

• Với d được gọi là công sai
• U_n+1 – U_n = d với mọi n ∈ N* ( trong đó d là hằng số còn U_n+1; U_n là hai số liên tiếp của dãy số CSC)
• Khi hiệu số U_n+1 – U_n phụ thuộc vào n thì không thể là cấp số cộng

Một số ví dụ bài tập cấp số cộng chi tiết, dễ hiểu

Tìm công sai d của cấp số cộng

[Trích từ đề thi tham khảo lần 2 – năm 2020] Cho cấp số cộng (u_n) với u₁ = 3, u₂ = 9. Tìm công sai của cấp số cộng:

Hướng dẫn giải:

Cấp số cộng U_n với số hạng tổng quát U_n = U₁ + d(n−1)

Với số hạng đầu U₁ và công sai d

Từ đó ta có: U₂ = U₁ + d ⇔ 9 = 3 + d ⇔ d = 6

Vậy, công sai của cấp số cộng là 6.

Cách tính tổng của cấp số cộng của n số hạng đầu tiên

I. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN LÀ GÌ

• Cấp số cộng là 1 dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) thỏa mãn điều kiện: Kể từ số hạng thứ 2 trở đi đều bằng số hạng đứng trước nó cộng với 1 số không đổi. Số không đổi đó gọi là công sai.

Ví dụ:

Dãy số 1; 3; 5; 7 là một cấp số cộng.

Vì 3=1+2; 5=3+2; 7=5+2 nên đây là cấp số cộng với công sai d=2.

• Trường hợp đặc biệt của cấp số cộng:

Nếu công sai bằng 0 thì cấp số cộng là 1 dãy hằng.

Chẳng hạn 1; 1; 1; … là cấp số cộng với công sai bằng 0.

• Cấp số nhân là 1 dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) thỏa mãn điều kiện: Kể từ số hạng thứ 2 trở đi đều bằng số hạng đứng trước nó nhân với 1 số không đổi. Số không đổi đó gọi là công bội.

Ví dụ:

Dãy số 2; 4; 8;16 là một cấp số nhân.

Vì 4=2.2; 8=4.2; 16=8.2 nên đây là cấp số nhân với công bội q=2.

• Một số trường hợp đặc biệt của cấp số nhân:

Nếu công bội bằng 0 thì từ số hạng thứ 2 trở đi của cấp số nhân đều bằng 0.

Nếu công bội bằng 1 thì cấp số nhân là dãy hằng. Khi đó cấp số nhân đồng thời là cấp số cộng với công sai bằng 0.

Nếu cấp số nhân có số hạng đầu bằng 0 thì cấp số nhân là dãy hằng 0.

Nếu cấp số nhân vô hạn số hạng có công bội q thỏa mãn -1<q<1 thì cấp số nhân đó được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

II. CÔNG THỨC CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

Các công thức cấp số cộng cấp số nhân là các công thức liên quan tới các giá trị đặc trưng của 2 loại dãy số đó.

Các giá trị đặc trưng bao gồm: Số hạng đầu; Số hạng thứ n; Công bội của cấp số nhân; Công sai của cấp số cộng; Tổng của n số dạng đầu; Số hạng đứng giữa hai số hạng khác. Sau đây chúng ta cùng tìm hiểu chi tiết từng công thức nhé.

1. CÔNG THỨC CẤP SỐ CỘNG

Công thức 1: Trước tiên chúng ta nên nhớ công thức tổng quát này:

Công thức này tổng quát cho công thức

đã có trong sách giáo khoa.

Cũng từ đó ta suy ra được công thức: Từ số hạng thứ 2 trở đi của cấp số cộng đều bằng trung bình cộng của 2 số hạng liền kề với nó.

Ví dụ:

Tìm số hạng thứ 2 của cấp số cộng biết số hạng thứ 7 là 100 và công sai là 2.

Lời giải:

Áp dụng công thức trên ta có số hạng thứ 2 của cấp số cộng là:

Công thức 2: Với cấp số cộng thì chúng ta có tới 2 công thức để tính tổng của n số hạng đầu. Nhưng ta chỉ nên nhớ công thức:

Sau đó thay công thức 1 vào ta sẽ có công thức:

Ví dụ:

Cho cấp số cộng có số hạng đầu bằng 3 và công sai bằng 2. Tính tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng.

Lời giải:

Áp dụng công thức ta có:

2. CÔNG THỨC CẤP SỐ NHÂN

Các cấp số nhân đặc biệt có công bội bằng 1 thì đồng thời cũng là cấp số cộng. Vì vậy với các dãy số này ta dùng công thức của cấp số cộng nhé.Còn với cấp số nhân có công bội bằng 0 thì các số hạng là: u(1);0 ;0 … Nói chung không có “cóc khô” gì để mà bàn thêm :)).

Vì vậy ở đây chúng ta xét các cấp số nhân mà công bội và số hạng đầu khác 0. Điều đó cũng có nghĩa tất cả các số hạng của cấp số nhân khác 0.

Công thức 1: 

Ví dụ:

Tính số hạng thứ 5 của cấp số nhân biết số hạng thứ 8 của cấp số nhân bằng 32 và công bội bằng 2.

Lời giải:

Áp dụng công thức ta có:

Từ công thức trên ta dễ dàng suy ra được các công thức:

Công thức 2: 

Tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân được tính theo công thức:

Ví dụ:

Cho cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2. Tính tổng 11 số hạng đầu của cấp số nhân.

Lời giải:

Áp dụng công thức ta có:

Trên đây, tôi đã giới thiệu đến các bạn công thức cấp số cộng, công thức cấp số nhân(các công thức đóng khung màu tím) cùng 1 số ví dụ đơn giản . Hãy luyện tập để thành thạo nhé. Chúc các bạn học giỏi và thành công!

Xem thêm:

Cấp số cộng, công sai là gì? Lý thuyết và công thức tính cấp số cộng

Cấp số nhân, công bội là gì? Lý thuyết và công thức tính cấp số nhân

Cấp số cộng là gì?

Trong Toán học, cấp số cộng là một dãy số mà trong đó, kể từ số hạng thứ 2 trở đi đều sẽ là tổng của số hạng đứng trước nó với một số không đổi khác 0 được gọi là công sai.

Tính chất cấp số cộng

+ U_n+1 – U_n = U_n+2 – U_n+1

+ Nếu như có 3 số bất kì m, n, q lập thành CSC thì 3 số đó luôn thỏa mãn m + q = 2n

+ Số hạng tổng quát: U_n = U₁ + d(n−1)

+ Nếu muốn tính tổng n số hạng đầu, ta có công thức:

Cấp số nhân là gì?

Cấp số nhân là dãy số mà trong đó có số hạng đầu là một số khác 0 và kể từ số hạng thứ 2 trở đi đều bằng tích của số hạng đứng liền ngay trước nó với một số không đổi khác 0 gọi là công bội q.

Tính chất cấp số nhân

Nếu (un) là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) bằng tích của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là:

U²_k = U_k-1 . U_k+1

+ Số hạng tổng quát: U_n=U₁.q_n−1

+ Tổng n số hạng đầu tiên: S_n=U₁+U₂+…+U_n

+ Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: Với |q| < 1 thì S_n=U₁+U₂+…+U_n

Công thức cấp số cộng cấp số nhân

Công thức cấp số cộng:

Công thức tính tổng cấp số cộng: ∀n ∈ N*, U_n+1 = U_n + d

Giải thích:

+ Với d được gọi là công sai

+ U_n+1 – U_n = d với mọi n ∈ N* ( trong đó d là hằng số còn U_n+1; U_n là hai số liên tiếp của dãy số CSC)

+ Khi hiệu số U_n+1 – U_n phụ thuộc vào n thì không thể là cấp số cộng

Ví dụ:

Tìm công sai d của cấp số cộng

Cho cấp số cộng (u_n) với u₁ = 3, u₂ = 9. Tìm công sai của cấp số cộng:

Hướng dẫn giải:

Cấp số cộng U_n với số hạng tổng quát U_n = U₁ + d(n−1)

Với số hạng đầu U₁ và công sai d

Từ đó ta có: U₂ = U₁ + d ⇔ 9 = 3 + d ⇔ d = 6

Vậy, công sai của cấp số cộng là 6.

Công thức cấp số nhân:

Ta có công thức tổng quát:

U_n+1 = U_n.q

Trong đó

+ n ∈ N*

+ Công bội là q

+ Hai số liên tiếp trong công bội là U_n, U_n+1

vuihoc.vn › Tin tức, tanggiap.org › Trang chủ › Diễn đàn › TOÁN HỌC › LỚP 12 › Tài liệu, vgbc.org.vn › cong-thuc-cap-cong, bambooschool.edu.vn › cong-thuc-cap-so-cong-cap-so-nhan, toanthaydinh.com › cap-so-cong-cap-so-nhan, vndoc.com › Học tập › Lớp 12 › Toán lớp 12, tailieumoi.vn › Lớp 11 › Toán, luathoangphi.vn › Giáo dục, loigiaihay.com › Lớp 11 › SGK Toán lớp 11, vietjack.me › Lớp 11 – Chương trình mới › Toán 11, Công thức cấp số nhân (un), Công thức cấp số cộng, Tổng cấp số nhân, Cấp số nhân, Cấp số cộng cấp số nhân lớp 11, Công sai của cấp số cộng, Cấp số cộng cấp số nhân bài tập, Công thức công bội của cấp số nhân