Công Thức Diện Tích Tam Giác Đều – Thông tin tuyển sinh đào tạo Đại học Cao đẳng

Ôn tập lý thuyết về hình tam giác

Trước khi đi vào công thức và cách tính diện tích hình tam giác, bạn cần ghi nhớ một số nội dung quan trọng dưới đây.

Khái niệm hình tam giác

Hình tam giác là một loại hình cơ bản trong hình học, có ba đỉnh là ba điểm không thẳng hàng và ba cạnh là ba đoạn thẳng nối các đỉnh với nhau. Đặc trưng quan trọng của tam giác là tổng ba góc trong một tam giác phải luôn bằng 180 độ.

Các tính chất cơ bản của hình tam giác

1. Tính chất về góc của hình tam giác:

Tổng ba góc trong một tam giác luôn bằng 180 độ. Ví dụ: Ta ký hiệu các góc trong tam giác là A, B và C, thì A + B + C = 180 độ.

2. Tính chất về cạnh của hình tam giác:

Hay còn được gọi là bất đẳng thức tam giác. Tổng độ dài hai cạnh của tam giác luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại. Điều này có thể được biểu diễn như sau: a + b > c, b + c > a, c + a > b. (Trong đó: a, b, c lần lượt là các cạnh của một hình tam giác.)

3. Hai tam giác bằng nhau:

Hai tam giác được gọi là bằng nhau (hay đồng dạng) khi các cạnh và các góc của chúng tương ứng bằng nhau. Điều này có nghĩa là các cặp cạnh tương ứng của hai tam giác có độ dài bằng nhau và các cặp góc tương ứng cũng có giá trị bằng nhau.

4. Đường cao của hình tam giác:

Hình tam giác có ba đường cao, là các đường vuông góc với các cạnh và đi qua các đỉnh tương ứng.

5. Đường trung tuyến của hình tam giác:

Hình tam giác có ba đường trung tuyến, là các đường nối các đỉnh với trung điểm của các cạnh tương ứng.

Ký hiệu hình tam giác trong toán học

Trong toán học, hình tam giác thường được ký hiệu bằng các chữ cái viết thường hoặc chữ cái hoa gạch dưới. Có một số ký hiệu phổ biến được sử dụng để biểu thị tam giác, như:

• Sử dụng các chữ cái viết thường: Tam giác ABC, trong đó A, B, C là ba đỉnh của tam giác.
• Sử dụng các chữ cái viết hoa gạch dưới: Tam giác ΔABC, trong đó Δ đại diện cho hình tam giác và A, B, C là ba đỉnh của tam giác.
• Sử dụng chỉ số: Tam giác ABC, trong đó A, B, C có chỉ số dưới để chỉ đỉnh tương ứng. Ví dụ: A1B2C3.

Các loại tam giác thường gặp

Hình tam giác được phân thành nhiều loại dựa trên đặc điểm của các cạnh và các góc. Cụ thể như sau:

Tam giác đều

Tam giác đều là tam giác có cả ba cạnh và ba góc bằng nhau. Tất cả các góc trong tam giác đều đều có giá trị 60 độ.

Tam giác vuông

Tam giác vuông có một góc vuông, tức là một góc có giá trị chính xác là 90 độ.

Tam giác cân

Tam giác cân là tam giác có ít nhất hai cạnh bằng nhau. Điều này đồng nghĩa với việc có ít nhất hai góc bằng nhau.

Tam giác vuông cân

Tam giác vuông cân là tam giác có một góc vuông và hai cạnh gần vuông bằng nhau.

Tam giác nhọn

Tam giác nhọn là tam giác có tất cả ba góc đều nhọn, tức là có giá trị nhỏ hơn 90 độ.

Tam giác tù

Tam giác tù là tam giác có một góc tù, tức là một góc có giá trị lớn hơn 90 độ.

1. Công thức tính diện tích tam giác

1.1 Công thức tính diện tích tam giác thường

Giống như rất nhiều bài toán khác, thì bài toán tính diện tích tam giác cũng sẽ có những công thức mà bạn cần phải học. Và khi đã có công thức để áp dụng thì bất cứ bài toán tính diện tích tam giác nào bạn cũng sẽ có thể hoàn thành dễ dàng. Đối với các loại tam giác thường hiện nay có rất nhiều công thức tính diện tích tam giác. 

Tuy nhiên, sẽ có những công thức tính diện tích tính tam giác khác nhau tùy thuộc vào từng giả thiết của đề bài. Xem đề bài cho những gì để từ đó chúng ta có thể áp dụng từng công thức cho phù hợp nhất. Cụ thể có những công thức tính diện tích tam giác vuông, đều, cân như sau:

1.2 Công thức diện tích tam giác đều 

Tam giác đều là tam giác thường nhưng điểm đặc biệt là có độ dài 3 cạnh đều bằng nhau và tất cả các góc trong tam giác đều bằng 60 độ. Theo đó, diện tích tam giác đều được tính bằng công thức nhau sau: S = ½. A². sin 60^o = A². (3 /4). Trong đó A chính là cạnh của tam giác đều. 

1.3 Công thức diện tích tam giác vuông 

Tam giác vuông là tam giác có 1 góc vuông, cách tính diện tích tam giác vuông cũng cực kì đơn giản, nó là trường hợp đặc biệt của cách tính diện tích tam giác thường khi biết 2 cạnh và góc xen giữa. Khi đó sin 90^O = 1 và diện tích tam giác vuông được tính như sau: S= ½ ab, trong đó a, b chính là độ dài tương ứng của 2 cạnh góc vuông

Cách tính S tam giác vuông cân đơn giản

1.4 Công thức diện tích tam giác cân 

Tam giác cân có độ dài 2 cạnh bằng nhau gọi là 2 cạnh bên, độ dài còn lại là cạnh đáy, ngoài ra còn có 2 cạnh đáy bằng nhau. Do đó, diện tích tam giác cân sẽ được tính bằng một nửa chiều cao nhân cạnh đáy tương ứng chiếu lên.

Ngoài ra, tam giác cân lại có trường hợp đặc biệt của riêng nó được gọi là tam giác vuông cân. Khi đó 2 cạnh góc vuông sẽ bằng nhau và diện tích tam giác vuông cân sẽ được tính bằng ½ a², trong đó a chính là độ dài của cạnh góc vuông cân.

1. Tính diện tích tam giác thường

Tam giác ABC có ba cạnh a, b, c, h_a là đường cao từ đỉnh A như hình vẽ:

a. Công thức chung

Diện tích tam giác bằng chiều cao nhân với độ dài cạnh đối diện rồi chia cho 2.

Ví dụ:

Tính diện tích hình tam giác có độ dài đáy là 5m và chiều cao là 24dm.

Giải: Chiều cao 24dm = 2,4m

Diện tích tam giác là:

b. Tính diện tích tam giác khi biết một góc

Diện tích tam giác bằng ½ tích hai cạnh kề với sin của góc hợp bởi hai cạnh đó trong tam giác.

Ví dụ:

Tam giác ABC có cạnh BC = 7, cạnh AB = 5, góc B bằng 60 độ. Tính diện tích tam giác ABC?

Giải:

c. Tính diện tích tam giác khi biết 3 cạnh bằng công thức Heron.

Sử dụng công thức Heron đã được chứng minh:

Với p là nửa chu vi tam giác:

Có thể viết lại bằng công thức:

Ví dụ:

Tính diện tích hình tam giác có độ dài cạnh AB = 8, AC = 7, CB = 9

Giải:

d. Tính diện tích bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (R).

Lưu ý: Cần phải chứng minh được R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Ví dụ:

Cho tam giác ABC, độ dài các cạnh a = 6, b = 7, c = 5, R = 3 (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC). Tính diện tích của tam giác ABC.

Giải:

e. Tính diện tích bằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác (r).

Ví dụ: Tính diện tích tam giác ABC biết độ dài các cạnh AB = 20, AC = 21, BC = 15, r = 5 (r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC).

Giải:

Nửa chu vi tam giác là:

r= 5

Diện tích tam giác là:

2. Tính diện tích tam giác cân

Tam giác cân ABC có ba cạnh, a là độ dài cạnh đáy, b là độ dài hai cạnh bên, h_a là đường cao từ đỉnh A như hình vẽ:

Áp dụng công thức tính diện tích thường, ta có công thức tính diện tích tam giác cân:

1 – Hình Tam giác là gì? Diện tích hình tam giác là gì?

– Hình Tam giác là gì?

Hình tam giác là hình có ba đoạn thẳng nối các đỉnh với nhau và tổng ba góc trong một tam giác bằng 180 độ.

– Diện tích hình tam giác là gì?

Diện tích hình tam giác là tất cả phần mặt phẳng nằm bên trong hình tam giác đó.

2 – Tam giác Thường và những điều cần biết

Định nghĩa

Tam giác thường là tam giác có độ dài các cạnh và số đo góc trong  khác nhau.

Công thức tính chu vi tam giác thường

Tam giác thường có chu vi bằng tổng độ dài của 3 cạnh.

P = a + b + c

Trong đó:

P là chu vi của tam giác

a, b, c lần lượt là 3 cạnh của hình tam giác đó.

Công thức tính diện tích tam giác thường

Diện tích tam giác thường khi biết độ dài chiều cao sẽ được tính bằng ½ tích chiều cao hạ từ đỉnh nhân với chiều dài cạnh đáy đối diện của đỉnh tam giác đó.

Công thức tính diện tích tam giác thường theo chiều cao:

S = ½ x a x h

Trong đó:

a là Chiều dài cạnh đáy tam giác.

h là Chiều cao được nối từ đỉnh và vuông góc với đáy của tam giác.

Ví dụ

Tính diện tích tam giác ABC có độ dài cạnh đáy BC là 12cm và chiều cao h là 5cm.

Lời giải:

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác, ta có diện tích tam giác ABC là:

S = ½ x 12 x 5 = 30 (cm²).

3 – Tam giác đều và những điều cần biết

Định nghĩa

Tam giác đều là tam giác có 3 cạnh đều bằng nhau, 3 đường cao bằng nhau, 3 đường trung tuyến bằng nhau, 3 đường phân giác bằng nhau và ba góc bằng nhau đều bằng 60 độ.

Tính chất

– Nếu một tam giác có 3 góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.

– Nếu một tam giác cân có 1 góc bằng 60 độ thì tam giác đó là tam giác đều.

– Trong tam giác đều, mỗi góc bằng 60 độ.

– Tam giác có 3 cạnh bằng nhau thì đó là tam giác đều

– Tam giác có 3 góc bằng nhau thì đó là tam giác đều

– Tam giác có 2 góc bằng 60 độ thì đó là tam giác đều.

Công thức tính chu vi tam giác đều

– Chu vi tam giác đều bằng 3 lần cạnh bất kỳ của tam giác.

Chu vi P = 3a

Trong đó:

+ P là Chu vi tam giác đều

+ a là chiều dài cạnh của tam giác.

Công thức tính diện tích tam giác đều

Diện tích tam giác đều bằng độ dài chiều cao nhân với cạnh đáy, được bao nhiêu chia cho 2.

Công thức tính diện tích tam giác đều S = (a x h)/ 2.

Trong đó:

+ a là chiều dài đáy của tam giác đều, đáy là một trong 3 cạnh của tam giác, cạnh đáy là cạnh nằm dưới cuối.

+ h là chiều cao của tam giác, chiều cao này là đoạn thẳng hạ từ đỉnh xuống đáy của tam giác.

Ví dụ

Cho tam giác đều DEF, chiều cao bằng 8cm và độ dài cạnh đáy bằng 4cm. Tính diện tích tam giác đều DEF?

Lời giải:

Gọi h là chiều cao nối từ đỉnh D tới cạnh đáy EF và d là độ dài cạnh đáy EF.

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác đều, ta có diện tích tam giác đều DEF là: S = ½ x 4 x 8 = 16 (cm²).

Tam giác thường những điều cần biết

1. Định nghĩa

Tam giác thường là tam giác có độ dài các cạnh khác nhau, số đo góc trong khác nhau.

2. Công thức tính chu vi tam giác

Hình tam giác thường có chu vi bằng tổng độ dài 3 cạnh.

P = a + b + c

Trong đó:

• P: Chu vi tam giác.
• a, b, c: Lần lượt 3 cạnh của hình tam giác đó.

3. Công thức tính diện tích tam giác thường

Diện tích tam giác thường được tính bằng cách nhân chiều cao với độ dài đáy, sau đó tất cả chia cho 2. Nói cách khác, diện tích tam giác thường sẽ bằng ½ tích của chiều cao hạ từ đỉnh với độ dài cạnh đối diện của đỉnh đó. Công thức:

S = ½a.h _a = ½b.h _b = ½c.h _c

Trong đó:

• a, b, c: Lần lượt là độ dài các cạnh của tam giác.
• h_a, h_b, h_c: Lần lượt là chiều cao được nối từ đỉnh A,B, C.

Tính diện tích tam giác khi biết một góc

Diện tích tam giác bằng ½ tích hai cạnh kề với sin của góc hợp bởi hai cạnh đó trong tam giác.

S = ½ absin C ^∧ = ½a.c sin B ^∧ = ½b.c. tội A ^∧

Tính diện tích tam giác sử dụng công thức Heron

S = √p(p – a)(p – b)(p – c)

Trong đó:

• a, b, c: Lần lượt là độ dài các cạnh của tam giác.
• p: Nửa chu vi tam giác, bằng ½ tổng các cạnh của một tam giác.

Tính diện tích bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (R)

Khi biết độ dài ba cạnh và bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác ta có công thức như sau:

S = abc/4R

Trong đó:

• a, b, c: Lần lượt là độ dài các cạnh của tam giác.
• R: Bán kính đường tròn ngoại tiếp.

1. Công thức tính diện tích tam giác đều cạnh a

Muốn tính diện tích tam giác đều cạnh a, ta có thể sử dụng một trong hai công thức sau đây:

1.1. Cách tính diện tích tam giác đều bằng công thức thứ nhất

Tương tự như việc tính diện tích một tam giác thường, công thức tính diện tích tam giác đều được phát biểu như sau: “Diện tích tam giác đều bằng nửa tích độ dài của một cạnh với chiều cao tương ứng với cạnh đó” hay S = a . h;

Trong đó: a là độ dài một cạnh của tam giác đều và h là chiều cao tương ứng với cạnh đó.

Cho tam giác đều MNP, gọi ME là đường cao kẻ từ đỉnh M của tam giác đều MNP. Khi đó công thức tính diện tích tam giác đều MNP là: S = PN . ME.

1.2. Cách tính diện tích tam giác đều bằng công thức thứ hai

Ngoài công thức trên, ta còn có công thức tính diện tích tam giác đều như sau: S = a²;

Trong đó: a là độ dài một cạnh của tam giác đều.

Cho tam giác đều MNP có MN = NP = PM = a. Khi đó công thức tính diện tích tam giác đều MNP là: S = a².

Chứng minh công thức:

Gọi ME là đường cao kẻ từ đỉnh M của tam giác đều MNP.

Vì MNP là tam giác đều nên đường cao ME chính là đường trung tuyến của tam giác đều MNP.

Suy ra E là trung điểm của đoạn thẳng NP hay NE = EP = NP = a.

Xét tam giác MPE vuông tại E có:

ME² + EP² = PM² (theo định lý Pi – ta – go).

Suy ra ME² = PM² – EP² = hay ME = a.

Áp dụng công thức 1 ta có:

S =  PN . ME = a . a = a².

» Xem thêm: Tổng hợp công thức tính diện tích tam giác đầy đủ, chi tiết

Các loại tam giác thường gặp

-Tam giác thường là tam giác cơ bản nhất, có độ dài các cạnh khác nhau, số đo góc trong cũng khác nhau. Tam giác thường cũng có thể bao gồm các trường hợp đặc biệt của tam giác.

-Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau, hai cạnh này được gọi là hai cạnh bên. Đỉnh của một tam giác cân là giao điểm của hai cạnh bên. Góc được tạo bởi đỉnh được gọi là góc ở đỉnh, hai góc còn lại gọi là góc ở đáy. Tính chất của tam giác cân là hai góc ở đáy thì bằng nhau.

-Tam giác vuông  là tam giác có một góc bằng 90 độ (là góc vuông).

-Tam giác tù là tam giác có một góc trong lớn hơn lớn hơn 90(một góc tù) hay có một góc ngoài bé hơn 90 (một góc nhọn).

-Tam giác nhọn là tam giác có ba góc trong đều nhỏ hơn 90 độ (ba góc nhọn) hay có tất cả góc ngoài lớn hơn 90 độ (sáu góc tù).

-Tam giác vuông cân: vừa là tam giác vuông, vừa là tam giác cân.

Tam giác đều là gì?

Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau hoặc tương đương ba góc bằng nhau, và bằng 60°, nó là một đa giác đều với số cạnh bằng 3.

Hệ quả:

-Trong tam giác đều, mỗi góc bằng 60°.

-Nếu trong một tam giác có ba góc bằng nhau thì đó là tam giác đều.
-Nếu một tam giác cân có 1 góc bằng 60° thì đó là tam giác đều.

Dấu hiệu nhận biết tam giác đều

Tam giác đều chỉ có 4 dấu hiệu như sau:

-Tam giác có 3 cạnh bằng nhau là tam giác đều.

-Tam giác có 3 góc bằng nhau là tam giác đều.

-Tam giác cân có một góc bằng 60° là tam giác đều.

-Tam giác có 2 góc bằng 60 độ là tam giác đều.

Tính chất của tam giác đều

-Tam giác có 3 cạnh bằng nhau là tam giác đều.

-Tam giác có 3 góc bằng nhau là tam giác đều.

-Tam giác cân có một góc bằng 60° là tam giác đều.

-Tam giác có 2 góc bằng 60 độ là tam giác đều.

Công thức tính điện tích tam giác đều

Diện tích tam giác đều được tính theo công thức:

S = (a x h)/ 2

Trong đó:

a: Chiều dài đáy tam giác đều (đáy là một trong 3 cạnh của tam giác).

h: Chiều cao của tam giác (chiều cao tam giác bằng đoạn thẳng hạ từ đỉnh xuống đáy).

Bài tập ví dụ: Tính diện tích của tam giác đều có:

a, Độ dài một cạnh tam giác bằng 6cm và đường cao bằng 10cm.

b, Độ dài một cạnh tam giác bằng 4cm và đường cao bằng 5cm.

Lời giải

a, Diện tích hình tam giác là:

(6 x 10) : 2 = 30 (cm²)

Đáp số: 30cm²

b, Diện tích hình tam giác là:

(4 x 5) : 2 = 10 (cm²)

Đáp số: 10cm²

Tam giác đều là gì? Một số kiến thức về tam giác đều

Định nghĩa tam giác đều là gì?

Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau hoặc ba góc tương đương bằng nhau (bằng (60^{circ})). Tam giác đều còn là một hình đa giác đều với số cạnh bằng (3). Tam giác đều cũng là trường hợp đặc biệt của tam giác khi có (3) cạnh bằng nhau.

Dấu hiệu nhận biết tam giác đều

• Tam giác có 3 cạnh bằng nhau là tam giác đều.
• Tam giác có 3 góc bằng nhau là tam giác đều.
• Tam giác cân có một góc bằng  (60^{circ})) là tam giác đều.
• Tam giác có 2 góc bằng (60^{circ})) là tam giác đều.

Những lưu ý khi tính diện tích tam giác

• Với tam giác có chứa góc bẹt chiều cao nằm bên ngoài tam giác khi đó độ dài cạnh để tính diện tích chính bằng độ dài cạnh trong tam giác.
• Khi tính diện tích tam giác chiều cao nào ứng với đáy đó.
• Nếu hai tam giác có chung chiều cao hoặc chiều cao bằng nhau, suy ra diện tích hai tam giác tỉ lệ với 2 cạnh đáy và ngược lại, nếu hai tam giác có chung đáy (hoặc hai đáy bằng nhau), suy ra diện tích tam giác tỉ lệ với 2 đường cao tương ứng.

Công thức tính diện tích hình tam giác đều

Tam giác đều có 3 cạnh bằng nhau, vì thế chúng ta có thể dễ dàng áp dụng định lý Heron để suy ra

(S=a^{2}.frac{sqrt{3}}{4})

Trong đó:

• S là diện tích tam giác điều
• a là độ dài cạnh của tam giác

Ví dụ: Cho tam giác (ABC) đều, cạnh (a=4 (cm)). Tinh diện tích tam giác (ABC).

Cách giải:

Xét (bigtriangleup ABC) đều

Ta áp dụng công thức tính diện tích hình tam giác đều, suy ra (S_{bigtriangleup ABC}=a^{2}.frac{sqrt{3}}{4}=4^{2}.frac{sqrt{3}}{4}=4sqrt{3}(cm^{2}))

Bài tập về công thức tính diện tích tam giác đều

Tính diện tích tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn (I; r)

Cách giải:

Gọi H là tiếp điểm của đường tròn (I) với BC.

Ta có: (IHperp BC) (tính chất tiếp tuyến)

Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên AI là tia phân giác của (widehat{BAC})

Tam giác ( ABC) đều nên AI cũng là đường cao của (bigtriangleup ABC). Khi đó A, I, H thẳng hàng.

Ta có: (HB=HC) ( tính chất tam giác đều)

Tam giác (ABC) đều nên I cũng là trọng tâm của (bigtriangleup ABC).

Suy ra: (AH = 3.HI = 3.r)

(widehat{HAB}=frac{1}{2}widehat{BAC}=frac{1}{2}.60^{circ}=30^{circ})

Tam giác ABH vuông tại H, ta có:

(BH=AH.tgwidehat{HAB}=3r.tg30^{circ}=3r.frac{sqrt{3}}{3}=rsqrt{3})

Mà: (BC=2BH=2rsqrt{3})

Vậy diện tích tam giác ABC là: (S_{ABC}=frac{1}{2}AH.BC=frac{1}{2}.3r.2rsqrt{3}=3r^{2}sqrt{3})

Như vậy, bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp kiến thức về tam giác đều cũng như công thức tính diện tích tam giác đều. Hy vọng bạn đã tìm thấy những kiến thức hữu ích phục vụ quá trình học tập của mình. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem thêm >>> Tam giác đồng dạng là gì? Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng 

Xem thêm >>> Tính chất tam giác cân: Lý thuyết và Các dạng bài tập 

Xem thêm >>> Định lý Talet trong tam giác, trong hình thang – Toán học 8

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:

(Nguồn: //youtube.com)