Công Thức Tính Đen Ta – Thông tin tuyển sinh đào tạo Đại học Cao đẳng

Bạn đang xem video Phương pháp giữ tâm được thanh tịnh. mới nhất trong danh sách Thông tin tuyển sinh được cập nhật từ kênh Phật Giáo Hoà Hảo Thuần Tuý từ ngày 2023-07-17 với mô tả như dưới đây.

I . Phương trình bậc 2 là gì? Công thức nghiệm phương trình bậc 2?

Phương trình bậc 2 là phương trình có dạng:

ax² + bx +c = 0

Trong đó: a ≠ 0 , a , b là hệ số, c là hằng số

Công thức nghiệm:

Ta xét phương trình

ax² + bx +c = 0

CÔNG THỨC TÍNH DELTA :

Δ = b² – 4ac

Sẽ có 3 trường hợp:

• Δ < 0 => Phương trình vô nghiệm (vì đây là căn bậc 2)
• Δ = 0 => x = – b/2a (giá trị rút gọn phân số)
• Δ > 0 => x c {- b + √Δ/2a ; – b – √Δ/2a}

Ví dụ: Cho phương trình x² + 4x – 2 = 0 . Tìm nghiệm của phương trình bậc 2 trên

Trước hết tính detla Δ = b² – 4ac = 4*4 – 4*2*1 = 8 .

Vì Δ = 8 > 0 nên phương trình sẽ có 2 nghiệm phân biệt là:

• X₁ = (-4 – √8 ) / 2
• X₂ = (-4 + √8 ) / 2

CÔNG THỨC TÍNH DELTA PHẨY:

Δ’ = b^’2 – ac

• Δ’ < 0 => Phương trình vô nghiệm (vì đây là căn bậc 2)
• Δ’ = 0 => x = – b’/a (giá trị rút gọn phân số)
• Δ’ > 0 => x = {(- b’ + √Δ’)/a ; (- b’ – √Δ’) /a}

Công thức này được gọi là công thức nghiệm thu gọn

Ví dụ: Cho phương trình x² – 2(m+1)x + m² + m +1 = 0

a . Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm

b . Trong trường hợp phương trình có nghiệm là x1, x2 hãy tính theo m :

x1+ x2 ;  x1* x2 ; (x1)² +( x2)²

Đáp số:

a . Δ′ = m + 2 >= 0 khi m >= -2

b . x1 + x2 = 2(m +1)

x1 * x2 = m² + m – 1

(x1)² + (x2)² = (x1 + x2)² – 2 (x1* x2)

= 4m² + 8m +4 – 2m² – 2m + 2

= 2m² + 6m +6

Hệ thức Viet

Nếu ta có x₁, x₂ là nghiệm của phương trình: ax² + bx +c = 0

thì: x₁; x₂:        S = x₁ + x₂ = -b/a

P = x₁ . x₂ = c/a

II . Bài tập vận dụng công thức tính đelta và đental phẩy phương trình bậc 2

Bài 1: Cho phương trình

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi k.

b)  Tìm k để phương trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì?

c)  Tìm k để phương trình có tổng hai nghiệm bằng 6. Tìm hai nghiệm đó.

Giải:

a) Phương trình đã cho là phương trình bậc hai.

Bài 2. Cho phương trình:

Bài 3: Gọi m và n là các nghiệm của phương trình

Hiển nhiên m, n đều khác -1 và -1 không thoản mãn phương trình (1).

Ta có:

Bài 4:

III . Bài tập tự giải vận dụng công thức tính đelta và đental phẩy phương trình bậc 2

Bài 1: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi a ; b :

(a+1) x² – 2 (a + b)x + (b- 1) = 0

Bài 2:  Giả sử phương trình bậc hai x² + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm dương. Chứng minh rằng a² + b² là một hợp số.

Bài 3:  Cho phương trình (2m – 1)x² – 2(m + 4 )x +5m + 2 = 0 (m #½)

1. Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.
2. Khi phương trình có nghiệm x1, x2, hãy tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo m.
3. Tìm hệ thức giữa S và P sao cho trong hệ thức này không có m.

Bài 4: Cho phương trình x² – 6x + m = 0. Tính giá trị của m, biết rằng phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 – x2 = 4.

Bài 5: Cho phương trình bậc hai: 2x² + (2m – 1)x +m – 1 =0

1. Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.
2. Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm đó.
3. Xác định m để phương trình có hai nghiệm phan biệt x1, x2 thỏa mãn -1<x1< x2<1
4. Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2, hãy lập một hệ thức giữa x1, x2 không có m.

Bài 6. Cho f(x) = x² – 2(m +2)x+ 6m +1

1. Chứng minh rằng pt f(x) = 0 luôn nghiệm với mọi m.
2. Đặt x = t + 2; tình f(x) theo t. Từ đó tìm điều kiện của m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 2.

Bài 7: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx +c thỏa mãn điều kiện Ι f(x)Ι  =< 1 với mọi x ∈ { -1; 1 }. Tìm GTNN của biểu thức A= 4a² + 3b².

Bài 8: Cho phương trình (x²)² – 13 x² + m = 0. Tìm các giá trị của m để phương trình:

1. Có bốn nghiệm phân biệt.
2. Có ba nghiệm phân biệt.
3. Có hai nghiệm phân biệt.
4. Có một nghiệm
5. Vô nghiệm.

---

Trên  đây là bài viết giới thiệu về phương trình bậc 2 và công thức tính delta, đenlta phẩy và các bài tập áp dụng công thức đenlta để các bạn tham khảo và luyện tập.

Mong rằng bạn sẽ chăm chỉ luyện tập và dành được kết quả cao trong học tập và thi cử nhé. Mọi cố gắng của bạn sẽ được đền đáp xứng đáng nếu như bạn  chăm chỉ và cần mẫn. Chúc các bạn thành công !

Giới thiệu về phương trình bậc 2

Phương trình bậc 2 là phương trình có dạng: ax² + bx + c = 0

→ Trong đó a # 0, a, b là hệ số, c là hằng số

Công thức nghiệm phương trình bậc 2

Để giải phương trình bậc 2 cơ bản, chúng ta sử dụng 2 công thức nghiệm delta và delta phẩy. Để ứng dụng giải các bài toán biện luận nghiệm, ta sử dụng định lý Vi-et.

Công thức tính delta

Ta xét phương trình: ax² + bx +c = 0, Với biệt thức delta: Δ = b² – 4ac. Sẽ có 3 trường hợp:

– Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm

– Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

– Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Trong trường hợp nếu b = 2b′ thì sử dụng công thức delta phẩy dưới đây.

Công thức tính delta phẩy

Ta xét phương trình: ax² + bx +c = 0. Với biệt thức delta phẩy: Δ′ = b′² – ac. Trong đó: b′ = b/2

→ Công thức trên còn được gọi là công thức nghiệm thu gọn.

Tương tự như delta thì delta phẩy chúng ta cũng có 3 trường hợp bao gồm:

– Nếu Δ′ < 0 thì phương trình vô nghiệm

– Nếu Δ′ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

– Nếu Δ′ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Hệ thức Viet

Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax² + bx + c = 0 (a≠0) (*) có 2 nghiệm x₁ và x₂. Khi đó 2 nghiệm này thỏa mãn hệ thức sau: thì ta có Công thức Vi-et như sau:

Hệ thức Viet dùng để giải quyết nhiều dạng bài tập khác nhau liên quan đến hàm số bậc 2 và các bài toán quy về hàm số bậc 2. Xong 3 công thức nghiệm bên trên thì chúng ta đã có thể thoải mái làm bài tập rồi. Hãy cùng đến các bài tập vận dụng ngay dưới đây.

Phân dạng bài tập

Ứng với 3 công thức trên, chúng ta có các dạng bài tập tương ứng: Giải phương trình bậc 2 một ẩn cơ bản và biện luận nghiệm phương trình bậc 2 một ẩn. Để giải các dạng bài tập này, chúng ta cần nắm vững công thức nghiệm delta, công thức nghiệm delta phẩy và định lý Vi-et (dùng để giải các bài toán biện luận tham số).

Dạng 1. Không dùng công thức nghiệm, giải phương trình bậc hai một ẩn cho trước

Phương pháp giải

Cách giải: Ta có thể sử dụng một trong các cách sau

Cách 1: Đưa phương trình đã cho về dạng tích

Cách 2: Đưa phương trình đã cho về phương trình mà vế trái là một bình phương còn vế phải là một hằng số.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Giải các phương trình sau

a) 5x² – 7x = 0

b) –3x² + 9 = 0

c) x² – 6x + 5 = 0

d) 3x² + 12x + 1 = 0

Hướng dẫn giải

a) Ta có: 5x² – 7x = 0

⇔ x(5x – 7) = 0

⇔ x ∈

b) Ta có: –3x² + 9 = 0

⇔ 3x² – 9 = 0

⇔ 3(x² – 3) = 0

⇔ x ∈

c) Ta có: x² – 6x + 5 = 0

⇔ (x – 1)(x – 5) = 0

⇔ x ∈ {1; 5}

d) Ta có: 3x² + 12x + 1 = 0

⇔ 3(x + 2)² = 11

⇔ x =

Câu 2. Giải các phương trình sau

a)

b)

c) x² – x – 9 = 0

d) 3x² + 6x + 5 = 0

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

b) Ta có:

c) Ta có: x² – x – 9 = 0

⇔ x ∈

d) Ta có:

(vô lý)

Vậy phương trình vô nghiệm.

Câu 3. Giải các phương trình sau

a)

b) (m² + 2)x² – 5 = 0 với m ∈ ℝ

c)

d) x² – 3x + 2 = 0

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

Vậy tập nghiệm của phương trình là

b) Ta có:

0} right) hfill \ end{gathered} ] ” data-lazy-src=”/wp-content/uploads/2021/05/bai-tap-van-dung-delta-delta-phay-16.svg” decoding=”async” src=”data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns=’/2000/svg’%20viewBox=’0%200%200%200’%3E%3C/svg%3E”>

Vậy tập nghiệm của phương trình là

c) Ta có :

Vậy tập nghiệm của phương trình là

d) Ta có: x² – 3x + 2 = 0

⇔ x² – x – 2x + 2 = 0

⇔ (x – 1)(x – 2) = 0

⇔ x = 1 ∨ x = 2

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1; 2}.

Câu 4. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 4x² + m²x + 4m = 0 có nghiệm x = 1

Hướng dẫn giải

Thay x = 1 vào phương trình ta có:

4⋅1² + m²⋅1 + 4m = 0 ⇔ m = –2

Vậy m = −2

Câu 5. Cho phương trình 4mx² – x – 10m² = 0. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm x = 2

Hướng dẫn giải

Thay x = 2 vào phương trình ta được:

4m⋅2² – 2 – 10m² = 0

⇔ –10m² + 16m – 2 = 0

⇔ m =

Câu 6. Cho phương trình x² – (2m + 1)x + m² – 2m + 3 = 0 (1). Giải phương trình (1) biết phương trình (1) có một nghiệm x = 2.

Hướng dẫn giải

Vì phương trình có nghiệm x = 2 nên ta có:

2² – (2m + 1)⋅2 + m² – 2m + 3 = 0

⇔ 4 – 4m – 2 + m² – 2m + 3 = 0

⇔ m² – 6m + 5 = 0

⇔ m ∈ {1; 5}

– m = 1 ⇒ x² – 3x + 2 = 0 ⇔ x ∈ {1; 2}

– m = 5 ⇒ x² – 11x + 18 = 0 ⇔ x ∈ {9; 2}

Dạng 2. Giải phương trình bậc hai bằng cách sử dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn

Phương pháp giải

Sử dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai để giải.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Xác định hệ số a, b, c; Tính biệt thức ∆ (hoặc ∆’ nếu b = 2b’) rồi tìm nghiệm của các phương trình sau

a) 2x² – 3x – 5 = 0

b) 2x² – 6x + 8 = 0

c) 9x² – 12x + 4 = 0

d) –3x² + 4x – 4 = 0

Hướng dẫn giải

a) Ta có: x = 2; b = –3; c = –5 và ∆ = 49 > 0 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt:

b) Ta có: a = 1; b = –6; b’ = –3; c = 8; ∆’ = 1 > 0 ⇒ x ∈ {2; 4}

c) Ta có: a = 9; b = –12; c = 4; ∆ = 0 ⇒ phương trình có nghiệm kép: x₁ = x₂ =

d) Ta có: a = –3; b = 4; c = –4; ∆ = –32 ⇒ phương trình vô nghiệm.

Câu 2. Xác định hệ số a, b, c; Tính biệt thức ∆ (hoặc ∆’ nếu b = 2b’) rồi tìm nghiệm của các phương trình sau

a) x² – x – 11 = 0

b) x² – 4x + 4 = 0

c) –5x² – 4x + 1 = 0

d) –2x² + x – 3 = 0

Hướng dẫn giải

a) Ta có: a = 1; b = –1; c = –11; ∆ = 45 > 0 ⇒ x ∈

b) Ta có: a = 1; b = –4; c = 4; ∆ = 0 ⇒ x = 2

c) Ta có: a = –5; b = –4; c = 1; ∆ = 36 > 0 ⇒ x ∈

d) Ta có: a = –2; b = 1; c = –3; ∆ = –23 < 0 phương trình vô nghiệm.

Câu 3. Giải các phương trình sau

a)

b)

c)

d)

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

0 hfill \ hfill \ Rightarrow sqrt Delta = 3 Rightarrow x in left{ {frac{{ – 5 pm sqrt 3 }}{2}} right} hfill \ end{gathered} ] ” data-lazy-src=”/wp-content/uploads/2021/05/bai-tap-van-dung-delta-delta-phay-29.svg” decoding=”async” src=”data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns=’/2000/svg’%20viewBox=’0%200%200%200’%3E%3C/svg%3E”>

b) Ta có:

c) Ta có:

0 hfill \ hfill \ Rightarrow x in left{ { – 1;frac{{sqrt 3 }}{3}} right} hfill \ end{gathered} ] ” data-lazy-src=”/wp-content/uploads/2021/05/bai-tap-van-dung-delta-delta-phay-31.svg” decoding=”async” src=”data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns=’/2000/svg’%20viewBox=’0%200%200%200’%3E%3C/svg%3E”>

d) Ta có:

0 hfill \ hfill \ Rightarrow x in left{ {frac{{6 + 2sqrt 6 }}{3};frac{{ – 6 + 2sqrt 6 }}{3}} right} hfill \ end{gathered} ] ” data-lazy-src=”/wp-content/uploads/2021/05/bai-tap-van-dung-delta-delta-phay-32.svg” decoding=”async” src=”data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns=’/2000/svg’%20viewBox=’0%200%200%200’%3E%3C/svg%3E”>

Câu 4. Giải các phương trình sau

a)

b) 152x² – 5x + 1 = 0

c)

d)

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

0 hfill \ hfill \ Rightarrow x in left{ {frac{{ – sqrt {11} pm 5}}{2}} right} hfill \ end{gathered} ] ” data-lazy-src=”/wp-content/uploads/2021/05/bai-tap-van-dung-delta-delta-phay-36.svg” decoding=”async” src=”data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns=’/2000/svg’%20viewBox=’0%200%200%200’%3E%3C/svg%3E”>

b) Ta có: a = 152; b = –5; c = 1; ∆ = –583 < 0 ⇒ x ∈ ∅

c) Ta tính được:

d) Ta tính được:

Câu 5. Giải các phương trình sau

a)

b)

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

Vậy phương trình có hai nghiệm

và

b) Ta có:

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 6. Cho phương trình 3x² – (5 – m)x + 2 – m = 0 với m ∈ ℝ là tham số

a) Xác định các hệ số a, b, c của phương trình.

b) Giải phương trình trong các trường hợp mm = 2; m = 5; m = 1.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: a = 3; b = –(5 – m); c = 2 – m

b) Với m = 5 ta có phương trình:

3x² – 3 = 0 ⇔ x² = 1 ⇔ x = ±1

Với m = 2 ta có phương trình:

3x² – 3x = 0 ⇔ 3x(x – 1) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 1

Với m = 1 ta có phương trình:

3x² – 4x + 1 = 0

⇔ 3x² – 3x – x + 1 = 0

⇔ (3x – 1)(x – 1) = 0

⇔ x =

∨ x = 1

Nhận xét: Trong cả 3 trường hợp phương trình đều có nghiệm x = 1

Ta có thể biến đổi phương trình ban đầu tương đương với

Dạng 3. Sử dụng công thức nghiệm, xác định số nghiệm của phương trình dạng bậc hai

Phương pháp giải

Cách giải: Xét phương trình bậc hai: ax² + bx + c = 0

– Phương trình có nghiệm kép

– Phương trình có hai nghiệm phân biệt 0 hfill \ end{gathered} right.] ” data-lazy-src=”/wp-content/uploads/2021/05/bai-tap-van-dung-delta-delta-phay-48.svg” decoding=”async” src=”data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns=’/2000/svg’%20viewBox=’0%200%200%200’%3E%3C/svg%3E”>

– Phương trình có đúng một nghiệm

– Phương trình vô nghiệm

Chú ý: Nếu b = 2b’ ta có thể thay thế điều kiện của ∆ tương ứng bằng ∆’

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho phương trình 4x² + 4mx + m + 6 = 0 (1). Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép

Hướng dẫn giải

Ta có: ∆’ = 4m² – 4m – 24

Phương trình (1) có nghiệm kép ⇔ ∆’ = 0

⇔ 4m² – 4m – 24 = 0

⇔ m² – m – 6 = 0

⇔ m = –2 ∨ m = 3

Vậy m ∈{–2; 3}.

Câu 2. Cho phương trình mx² + (2m – 5)x + m – 2 = 0 (1) với m ∈ ℝ là tham số. Khi nào

a) Phương trình (1) có nghiệm

b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Hướng dẫn giải

Xét 2 tường hợp

TH1: Với m = 0 phương trình trở thành –5x – 2 = 0 ⇔ x =

TH2: Với m ≠ 0 phương trình mx² + (2m – 5)x + m – 2 = 0 là một phương trình bậc hai và có

∆ = (2m – 5)² – 4m(m – 2) = –12m + 25

– Nếu ∆ = –12m + 25 > 0 ⇔ m <

thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

– Nếu ∆ = –12m + 25 = 0 ⇔ m =

thì phương trình có nghiệm kép x₁ = x₂

Vậy:

a) Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi m ≤

b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m ≠ 0 và m <

Câu 3. Cho phương trình (2m – 3)x² – 2(m – 2)x – 1 = 0 với m là tham số.

a) Giải phương trình với m = 2

b) Chứng minh rằng với mọi m ∈ ℝ, phương trình luôn có nghiệm. Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải

a) Với m = 2, phương trình đã cho trở thành x² – 1 = 0 ⇔ x = ±1

b) Xét hai trường hợp

TH1: Với m =

phương trình đã cho trở thành x – 1 = 0 ⇔ x = 1

TH2: Với m ≠

phương trình (2m – 3)x² – 2(m – 2)x – 1 = 0 là một phương trình bậc hai và có

∆’ = (m – 2)² + (2m + 3) = (m – 1)² ≥ 0, ∀m ∈ ℝ

Suy ra phương trình luôn có nghiệm với mọi m ∈ ℝ

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

0 hfill \ end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} m ne frac{3}{2}begin{array}{*{20}{c}} {} \ {} \ {} end{array} hfill \ m ne 1 hfill \ end{gathered} right.] ” data-lazy-src=”/wp-content/uploads/2021/05/bai-tap-van-dung-delta-delta-phay-54.svg” decoding=”async” src=”data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns=’/2000/svg’%20viewBox=’0%200%200%200’%3E%3C/svg%3E”>

Cách khác:

(2m – 3)x² – 2(m – 2)x – 1 = 0

⇔ (2m – 3)x² – (2m – 3)x + x – 1 = 0

⇔ (x – 1)[(2m – 3)x + 1] = 0

⇔

Suy ra phương trình luôn có nghiệm x = 1 với mọi m ∈ ℝ.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2m – 3)x + 1 có nghiệm khác 1

Câu 4. Cho phương trình mx² – 2(m – 1)x + m – 3 = 0 (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình

a) Có hai nghiệm phân biệt

b) Có nghiệm kép

c) Vô nghiệm

d) Có đúng một nghiệm

e) Có nghiệm

Hướng dẫn giải

Ta có: ∆’ = (m – 1)² – m(m – 3) = m + 1

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt

0 hfill \ end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} m ne 0 hfill \ m > – 1 hfill \ end{gathered} right.] ” data-lazy-src=”/wp-content/uploads/2021/05/bai-tap-van-dung-delta-delta-phay-57.svg” decoding=”async” src=”data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns=’/2000/svg’%20viewBox=’0%200%200%200’%3E%3C/svg%3E”>

b) Xét m ≠ 0. Phương trình có nghiệm kép khi

c) Ta tìm được m < −1

d) Ta tìm được m m = 0; m = –1

e) Ta tìm được m ≥ −1

Câu 5. Cho phương trình (m – 2)x² – 2(m + 1)x + m = 0 (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình

a) Có hai nghiệm phân biệt

b) Có nghiệm kép

c) Vô nghiệm

d) Có đúng một nghiệm

e) Có nghiệm

Hướng dẫn giải

Ta có: ∆’ = (m + 1)² – m(m – 2) = 4m + 1

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt

0 hfill \ end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} m ne 0begin{array}{*{20}{c}} {} \ {} end{array} hfill \ m > – frac{1}{4}begin{array}{*{20}{c}} {} \ {} end{array} hfill \ end{gathered} right.] ” data-lazy-src=”/wp-content/uploads/2021/05/bai-tap-van-dung-delta-delta-phay-59.svg” decoding=”async” src=”data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns=’/2000/svg’%20viewBox=’0%200%200%200’%3E%3C/svg%3E”>

b) Tìm được

c) Ta tìm được

d) Ta tìm được

e) Ta tìm được

Câu 6. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau vô nghiệm x² + 2x – 2m + 7 = 0; x² + 6x + m² + 6 = 0

Hướng dẫn giải

Đặt x² + 2x – 2m + 7 = 0 là phương trình (1)

x² + 6x + m² + 6 = 0 là phương trình (2)

Ta có: ∆’₁ = 1 + 2m – 7 = 2m – 6 và ∆’₂ = 3² – (m² + 6) = 3 – m²

Suy ra: ∆’₁ + ∆’₂

= 2m – 6 + 3 – m²

= –(m² – 2m + 1) – 2

= –(m – 1)² – 2 < 0 với mọi m ∈ ℝ

Vậy một trong hai ∆’₁ và ∆’₂ có ít nhất một số nhỏ hơn 0 (đpcm).

Câu 7. Với giá trị nào của m, hai phương trình sau có nghiệm chung

(1) 2x² – (3m + 2)x + 12 = 0 và (2) 4x² – (9m – 2)x + 36 = 0

Hướng dẫn giải

Gọi x₀ là một nghiệm chung của hai phương trình, ta có:

– Nếu –3m + 6 = 0 ⇔ m = 2 thì phương trình (*) vô nghiệm

– Nếu –3m + 6 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 thì phương trình (*) có 1 nghiệm

Thay vào phương trình (1) ta có:

Vậy với m = 3 hai phương trình đã cho có một nghiệm chung x₀ = 4.

Câu 8. Cho phương trình x² + (m – 5)x – 3(m – 2) = 0 với m ∈ ℝ là tham số

a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm x = 3 với mọi m ∈ ℝ

b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn x₁ = 3x₂

Hướng dẫn giải

a) Ta có: x² + (m – 5)x – 3(m – 2) = 0

⇔ x² – 3x + (m – 2)x – 3(m – 2) = 0

⇔ x(x – 3) + (m – 2)(x – 3) = 0

⇔ (x – 3)(x + m – 2) = 0

⇔ x = 3 ∨ x = 2 – m

Vậy phương trình trên luôn có nghiệm x = 3 với mọi m ∈ ℝ

b) Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi hai nghiệm của phương trình trùng nhau

Theo câu a) suy ra: 2 – m = 3 ⇒ m = –1

Ta cũng có thể xét:

∆ = (m – 5)² + 4⋅3(m – 2)

= m² + 2m + 1 = (m + 1)²

Phương trình có nghiệm kép ⇔ ∆ = 0 ⇔ (m + 1)² = 0 ⇔ m = –1

c) Xét 2 trường hợp

TH1: x₁ = 3 và x₂ = 2 – m

Khi đó: x₁ = 3x₂ ⇔ 3 = 3(2 – m) ⇔ 2 – m = 1 ⇔ m = 1

TH2: x₁ = −2 và x₂ = 3

Khi đó: x₁ = 3x₂ ⇔ 2 – m = 3m ⇔ 4m = 2 ⇔ m =

Câu 9. Cho Parabol (P): y = 4x² và đường thẳng d: y = 2mx – 1 với m ∈ ℝ là tham số. Tìm m để:

a) Đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt

b) Đường thẳng d là tiếp tuyến của parabol (P)

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là:

4x² = 2mx + 1 ⇔ 4x² – 2mx – 1 = 0 (1)

a) Đường thẳng d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆’ > 0 ⇔ m² – 4 > 0 ⇔ m² > 4 ⇔ |m| > 2 ⇔ m > 2 ∨ m < –2

Vậy đường thẳng d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi m > 2 hoặc m < −2.

b) Đường thẳng d là một tiếp tuyến của (P) khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm kép ⇔ ∆’ = m² – 4 = 0 ⇔ m = ±2

Khi đó ta có đường thẳng y = 4m – 1 và y = –4m – 1 là các tiếp tuyến của Parabol (P).

Câu 10. Cho phương trình: mx² – (2m + 1)x + m + 1 = 0

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với ∀m ∈ ℝ

b) Tìm m để phương trình (1) có 1 nghiệm lớn hơn 2

Hướng dẫn giải

a)

– m = 0 ⇒ x = 1

– m ≠ 0 ⇒ ∆ = 1 > 0 ⇒ (1) luôn có nghiệm ∀m ∈ ℝ

b) Với m = 0 thì phương trình (1) có 1 nghiệm x = 1 < 2

Với m ≠ 0 ⇒ Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt:

Vậy phương trình (1) có nghiệm lớn hơn 2 2{text{ }}left( 3 right)begin{array}{*{20}{c}} {} \ {} end{array} hfill \ end{gathered} right.] ” data-lazy-src=”/wp-content/uploads/2021/05/bai-tap-van-dung-delta-delta-phay-69.svg” decoding=”async” src=”data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns=’/2000/svg’%20viewBox=’0%200%200%200’%3E%3C/svg%3E”>

0 Leftrightarrow frac{{1 – m}}{m} > 0 hfill \ hfill \ Leftrightarrow left[ begin{gathered} left{ begin{gathered} 1 – m > 0 hfill \ m > 0 hfill \ end{gathered} right. hfill \ left{ begin{gathered} 1 – m < 0 hfill \ m < 0 hfill \ end{gathered} right. hfill \ end{gathered} right. Leftrightarrow left[ begin{gathered} left{ begin{gathered} m < 1 hfill \ m > 0 hfill \ end{gathered} right. Leftrightarrow 0 < m < 1 hfill \ left{ begin{gathered} m > 1 hfill \ m < 0 hfill \ end{gathered} right.{text{ }}left( {lounderset{raise0.3emhbox{$smash{scriptscriptstylecdot}$}}{a} i} right) hfill \ end{gathered} right. hfill \ end{gathered} ] ” data-lazy-src=”/wp-content/uploads/2021/05/bai-tap-van-dung-delta-delta-phay-70.svg” decoding=”async” src=”data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns=’/2000/svg’%20viewBox=’0%200%200%200’%3E%3C/svg%3E”>

Vậy 0 < m < 1.

Dạng 4. Giải và biện luận phương trình dạng bậc hai

Phương pháp giải

Cách giải:

Giải và biện luận phương trình dạng bậc hai theo tham số m là tìm tập nghiệm của phương trình tùy theo sự thay đổi của m.

Xét phương trình bậc hai dạng: ax² + bx + c = 0 với ∆ = b² – 4ac (hoặc ∆’ = b’² – ac).

– Nếu a = 0, ta đưa về biện luận phương trình bậc nhất

– Nếu a ≠ 0, ta biện luận phương trình bậc hai theo ∆.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Giải và biện luận phương trình

(m – 2)x² – (2m – 1)x + m + 2 = 0

Hướng dẫn giải

– m = 2 ⇒ x =

– m ≠ 2 ⇒ ∆ = –4m + 17

m >

→ ∆ < 0 → (1) vô nghiệm

m =

→ ∆ = 0 → (1) có nghiệm kép:

m <

→ ∆ > 0 → (1) có hai nghiệm phân biệt:

Vậy m = 2 phương trình có nghiệm x =

m >

⇒ phương trình vô nghiệm

m =

⇒ phương trình có nghiệm kép x =

m <

và m ≠ 2 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt

Câu 2. Cho phương trình mx² – 2mx + m + 1 = 0 (m là tham số)

a) Giải phương trình khi m = –2

b) Giải và biện luận phương trình theo m

Hướng dẫn giải

a)

b) Ta xét hai trường hợp sau:

TH1: m = 0 ⇒ 1 = 0 (vô nghiệm)

TH2: m ≠ 0 ⇒ ∆’ = –m ≠ 0

– m < 0 ⇒ ∆’ > 0 ⇒

– m > 0 ⇒ ∆’ < 0 ⇒ vô nghiệm

Kết luận:

m ≥ 0 ⇒ phương trình vô nghiệm

m < 0 ⇒

Câu 3. Giải và biện luận các phương trình sau (m là tham số)

a) x² + (1 – m)x – m = 0

b) (m – 3)x² – 2mx + m – 6 = 0

Hướng dẫn giải

a) Ta có: ∆ = m² + 2m + 1 =(m + 1)² ≥ 0, ∀m ⇒

– ∆ = 0 ⇔ m = –1: m Phương trình đã cho có nghiệm kép:

– ∆ > 0 ⇔ m ≠ –1: m Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt: x₁ = m; x₂ = –1

b) Với m = 3 ⇒ Phương trình có dạng: –6x – 3 = 0 ⇔ x =

Với m ≠ 3 ⇒ ∆’ = 9m – 18

– ∆’ < 0 ⇔ 9m – 18 < 0 ⇔ m < 2: Phương trình vô nghiệm

m

– ∆’ = 0 ⇔ 9m – 18 = 0⇔ m = 2: Phương trình có nghiệm kép:

– ∆’ > 0 ⇔ 2 hfill \ end{gathered} right.] ” data-lazy-src=”/wp-content/uploads/2021/05/bai-tap-van-dung-delta-delta-phay-81.svg” decoding=”async” src=”data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns=’/2000/svg’%20viewBox=’0%200%200%200’%3E%3C/svg%3E”>

: Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Câu 4. Giải và biện luận các phương trình sau (m là tham số)

a) mx² + (2m – 1)x + m + 2 = 0

b) (m – 2)x² – 2(m + 1)x + m = 0

Hướng dẫn giải

a) Với m = 0 ⇒ x = 2

Với m ≠ 0 ⇒ ∆ = –12m + 1

– ∆ < 0 ⇔ frac{1}{{12}}]” data-lazy-src=”/wp-content/uploads/2021/05/bai-tap-van-dung-delta-delta-phay-83.svg” decoding=”async” src=”data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns=’/2000/svg’%20viewBox=’0%200%200%200’%3E%3C/svg%3E”>

: Phương trình vô nghiệm

– ∆ = 0 ⇔

: Phương trình có nghiệm kép:

– ∆ > 0 ⇔

: Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

b) Với m = 2 ⇔ x =

Với m ≠ 2 ⇒ ∆’ = 4m + 1

– ∆’ < 0 ⇔

: Phương trình vô nghiệm

– ∆’ = 0 ⇔

: Phương trình có nghiệm kép:

– ∆’ > 0 ⇔ – frac{1}{4}begin{array}{*{20}{c}} {} \ {} end{array} hfill \ end{gathered} right.] ” data-lazy-src=”/wp-content/uploads/2021/05/bai-tap-van-dung-delta-delta-phay-91.svg” decoding=”async” src=”data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns=’/2000/svg’%20viewBox=’0%200%200%200’%3E%3C/svg%3E”>

: Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Dạng 5. Dạng toán liên quan đến tính có nghiệm của phương trình bậc hai, nghiệm chung của phương trình bậc hai

Phương pháp giải

Cách giải:

– Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 (hoặc ∆’ ≥ 0 ).

– Muốn tìm điều kiện của tham số để hai phương trình dạng bậc hai ax² + bx + c = 0 và a’x² + b’x + c’ = 0 có nghiệm chung ta làm như sau:

Bước 1: Gọi x₀ là nghiệm chung của hai phương trình. Thay x₀ vào 2 phương trình để tìm được điều kiện của tham số.

Bước 2: Với giá trị của tham số vừa tìm được, thay trở lại để kiểm tra xem 2 phương trình có nghiệm chung hay không và kết luận.

– Muốn tìm điều kiện của tham số để hai phương trình dạng bậc hai ax² + bx + c = 0 và a’x² + b’x + c’ = 0 tương đương, ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Hai phương trình cùng vô nghiệm

Trường hợp 2: Hai phương trình cùng có nghiệm. Khi đó:

– Điều kiện cần để hai phương trình tương đương là chúng có nghiệm chung. Từ đó tìm được điều kiện của tham số

– Điều kiện đủ với giá trị của tham số vừa tìm được, thay trở lại để kiểm tra xem 2 phương trình tập nghiệm bằng nhau không và kết luận.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hai phương trình:

x² + x + a = 0; x² + ax + 1 = 0

a) Tìm a để hai phương trình có nghiệm chung

b) Tìm a để hai phương trình tương đương

Hướng dẫn giải

a) Giả sử x₀ là nghiệm chung của hai phương trình → ta có hệ:

– Với a = 1 ⇒ x² + x + 1 = 0 (vô nghiệm)

– x₀ = 1 ⇒ (1): a = –2

Vậy với a = –2 thì hai phương trình có nghiệm chung x = 1.

b) Theo câu a hai phương trình có tập nghiệm khác nhau. Vậy để chúng tương đương khi và chỉ khi chúng cùng vô nghiệm

Câu 2. Giả sử hai phương trình: x² + ax + b = 0; x² + mx + n = 0 có nghiệm chung. Chứng minh rằng:

(n – b)² = (m – a)(an – bm) (1)

Hướng dẫn giải

Giả sử x₀ là nghiệm chung của hai phương trình → ta có hệ:

– a – m = 0 ⇔ a = m ⇒ (*) ⇒ n = b ⇒ (1) đúng

– a ≠ m ⇒ (*) ⇒

, thay vào phương trình ban đầu ta được:

Câu 3. Tìm m để hai phương trình: x² – (2m – 3)x + 6 = 0; 2x² + x + m – 5 = 0 có duy nhất nghiệm chung.

Hướng dẫn giải

Giả sử x₀ là nghiệm chung của hai phương trình → ta có hệ:

– m = −1 hai phương trình ban đầu trở thành:

x² + 5x + 6 = 0; 2x² + x – 6 = 0

Hai phương trình này có nghiệm chung x = –2. Vậy m = –1 là giá trị cần tìm.

Câu 4. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh phương trình b²x² – (b² + c² – a²)x + c² = 0 luôn vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Ta có: ∆ = (b – c – a)(b – c + a)(b + c – a)(b + c + a)

Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên:

b – c – a < 0; b + c – a > 0; b – c + a > 0; b + c + a > 0 ⇒ ∆ < 0

⇒ Phương trình luôn vô nghiệm.

Câu 5. Cho phương trình x² + (a + b + c)x + (ab + bc + ca) = 0 với a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh phương trình trên luôn vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Ta có: ∆ = a² + b² + c² – 2ab – 2bc – 2ca

Vì a < b + c ⇒ a² < ab + ca.

Tương tự ta có: b² < ab + bc; c² < ca + cb ⇒ ∆ < 0

⇒ Phương trình luôn vô nghiệm.

Câu 6. Cho hai phương trình x² + ax + b = 0; x² + cx + d = 0. Chứng minh nếu hai phương trình trên có nghiệm chung thì: (b – d)² + (a – c)(ad – bc) = 0.

Hướng dẫn giải

Gọi x₀ là nghiệm chung của hai phương trình. Ta có: (a – c)x₀ = d – b

– Nếu

. Thay x₀ vào phương trình ta được đpcm.

– Nếu a = c ⇒ b = d ⇒ đpcm.

Câu 7. Cho hai phương trình x² + ax + b = 0 và x² + bx + a = 0 trong đó

. Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Ta có: ∆₁ + ∆₂ = a² + b² – 4(a + b)

Từ

⇒ đpcm.

Câu 8. Cho hai phương trình x² + x – m = 0 và x² – mx + 1 = 0. Tìm các giá trị của tham số m để:

a) Hai phương trình có nghiệm chung

b) Hai phương trình tương đương

Hướng dẫn giải

a) Gọi x₀ là nghiệm chung của hai phương trình.

Ta biến đổi được (1 + m)x₀ = m + 1.

Tìm được m = −1 hoặc m = 2

b) Ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Hai phương trình cùng vô nghiệm

Trường hợp 2 : Hai phương trình cùng có nghiệm và tập nghiệm giống nhau ⇒ m = –1.

Vậy

thì hai phương trình tương đương.

Câu 9. Cho hai phương trình x² – 2ax + 3 = 0 và x² – x + a = 0 (a là tham số). Với giá trị nào của tham số a thì:

a) Hai phương trình có nghiệm chung

b) Hai phương trình trên tương đương

Hướng dẫn giải

a) Ta tìm được a ∈ ∅

b) Tìm được

Dạng 6. Chứng minh phương trình bậc hai có nghiệm, vô nghiệm

Phương pháp giải

Để chứng minh một phương trình bậc hai vô nghiệm ta chứng minh phương trình có ∆ < 0. Để chứng minh phương trình bậc hai có nghiệm ta chứng minh phương trình bậc hai có ∆ ≥ 0. Ngoài ra để chứng minh phương trình bậc hai có nghiệm ta còn có cách dựa vào tính chất sau:

Cho f(x) = ax² + bx + c (1)

Nếu có 1 số thực m sao cho a⋅f(m) < 0 thì (1) có hai nghiệm phân biệt

Chứng minh tính chất:

Ta có:

{a^2}{left( {m + frac{b}{{2a}}} right)^2} geqslant 0 Rightarrow Delta > 0 hfill \ end{gathered} ] ” data-lazy-src=”/wp-content/uploads/2021/05/bai-tap-van-dung-delta-delta-phay-107.svg” decoding=”async” src=”data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns=’/2000/svg’%20viewBox=’0%200%200%200’%3E%3C/svg%3E”>

Bài tập vận dụng

Câu 1. Chứng minh rằng với ∀m các phương trình sau luôn có nghiệm:

a) x² – 2(m + 2)x – m – 7 = 0

b) x² – 4m²x – 4m – 2 = 0

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

0,forall m hfill \ end{gathered} end{array} hfill \ hfill \ Rightarrow Delta ‘ > 0,forall m hfill \ end{gathered} ] ” data-lazy-src=”/wp-content/uploads/2021/05/bai-tap-van-dung-delta-delta-phay-108.svg” decoding=”async” src=”data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns=’/2000/svg’%20viewBox=’0%200%200%200’%3E%3C/svg%3E”>

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Ta có: ∆’ = 4m⁴ + 4m + 2 = 2(2m⁴ + 2m + 1). Mà:

Dấu “=” xảy ra

(vô nghiệm) ⇒ ∆’ > 0, ∀m

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Câu 2. Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài các cạnh của 1 tam giác thì phương trình sau vô nghiệm: a²x² + (a² + b² + c²)x + b² = 0

Hướng dẫn giải

Ta có: a² ≠ 0

0}underbrace {left( {a – b – c} right)}_{ < 0}underbrace {left( {a + b + c} right)}_{ > 0}underbrace {left( {a + b – c} right)}_{ > 0} hfill \ end{gathered} ] ” data-lazy-src=”/wp-content/uploads/2021/05/bai-tap-van-dung-delta-delta-phay-111.svg” decoding=”async” src=”data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns=’/2000/svg’%20viewBox=’0%200%200%200’%3E%3C/svg%3E”>

⇒ ∆ < 0 ⇒ Phương trình vô nghiệm

Câu 3. Cho các số thực a, b, c thoả mãn 4a² + (a + b)² + a(c + 2) + 1 < 0. Chứng minh rằng phương trình ax² + bx + c = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải

Phân tích:

Vì bài toán yêu cầu chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt nên phương trình đã cho phải là phương trình bậc hai, tức là a ≠ 0. Điều này dễ thấy luôn đúng, vì nếu a = 0 thì từ giả thiết ta có b² + 1 < 0 (vô lí). Do vậy để chứng minh yêu cầu bài toán, chúng ta cần chứng minh ∆ = b² – 4ac > 0 hoặc chỉ ra số thực m sao cho a⋅f(m) < 0 với f(x) = ax² + bx + c.

Cách 1: Để chứng minh ∆ = b² – 4ac > 0, ta biến đổi giả thiết bài toán như sau:

16a² + 4(a + b)² + 4ac + 8a + 4 < 0

⇔ b² – 4ac > 16a² + 4(a + b)² + 4ac + 8a + 4

⇔ b² – 4ac > 12a² + 4(a + b)² + b² + 4(a + 1)² ≥ 0

⇒ ∆ = b² – 4ac > 0

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt

Cách 2: Để chỉ ra có một số thực m sao cho a⋅f(m) = a(am² + bm + c) < 0

Ta viết lại giả thiết bài toán như sau:

4a² + a² + 2ab + b² + ac + 2a + 1 < 0

⇔ a(4a + 2b + c) < –(a + 1)² – b² ≤ 0

⇔ a(4a + 2b +c) < 0

⇔ a⋅f(2) < 0

Do đó phương trình f(x) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt.

Câu 4. Cho các sô thực a, b, c thỏa mãn 3a + 5b + 15c = 0. Chứng minh rằng phương trình ax² + bx + c = 0 luôn có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho chưa phải là phương trình bậc hai vì ta chưa biết a = 0 hay a ≠ 0. Do đó ta xét các trường hợp sau:

– Xét a = 0, khi đó:

b = 0, từ giả thiết có c = 0. Do đó, phương trình đã cho có vô số nghiệm

b ≠ 0 thì phương trình đã cho có nghiệm

– Xét a ≠ 0, khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc hai. Để chứng minh phương trình có nghiệm, ta có thể chứng minh ∆ = b² – 4ac ≥ 0 hoặc chỉ ra số thực m thỏa mãn a⋅f(m) < 0 với f(x) = ax² + bx + c.

Cách 1: Để chứng minh ∆ = b² – 4ac ≥ 0 ta biến đổi như sau:

Ta có:

Vì 9a² – 10ac + 225c²

= 25c² – 10ac + a² + 8a² + 200c²

= (5c – a)² + 8a² + 200c² ≥ 0

⇒ ∆ ≥ 0 với mọi a, b, c. Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm.

Cách 2: Để chỉ ra số thực m thỏa mãn a⋅f(m) < 0 ta xử lý như sau

Ta có:

; ;

Giả sử:

Vậy ta có:

Do đó trong ba số

luôn có một số không âm và một số không dương. Giả sử hai số đó là f(0), f(1) tức là: f(0)⋅f(1) ≤ 0 ⇒ a⋅f(0)⋅a⋅f(1) ≤ 0

Do đó, ta suy ra a⋅f(0) ≤ 0 hoặc

. Từ đây, ta có phương trình đã cho luôn có nghiệm.

Chú ý: Khi đề bài cho a, b, c thỏa mãn ma + nb + pc = 0 và yêu cầu chứng minh phương trình ax² + bx + c có nghiệm, ta có thể chứng minh như sau

Cách 1: Chứng minh ∆ = b² – 4ac ≥ 0 (khi a ≠ 0 )

Cách 2: Chỉ ra tồn tại x, y, z thỏa mãn: x⋅f(α) + y⋅f(β) + z⋅f(γ) = ma + nb + pc khi đó trong ba số f(α), f(β), f(γ) luôn có hai số trái dấu. Từ đó ta có đpcm.

Câu 5. Cho các sô a, b, c thỏa mãn a + 2b + 3c = 1. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm: 4x² – 4(2a + 1)x + 4a² + 192abc + 1 = 0 và 4x² – 4(2b + 1)x + 4b² + 96abc + 1 = 0

Hướng dẫn giải

Hai phương trình trên lần lượt có ∆’₁ = 16a(1 – 48bc); ∆’₂ = 16(1 – 24ac). Vì a, b là các số dương nên ∆’₁, ∆’₂ lần lượt cùng dấu với 1 – 48bc và 1 – 24ac. Để chứng minh bài toán, ta cần chứng minh trong hai biệt thức ∆’₁, ∆’₂ luôn có ít nhất một số không âm. Để chứng minh điều này, ta đi xét tổng ∆’₁ + ∆’₂. Nếu ∆’₁ + ∆’₂ ≥ 0 thì trong hai số ∆’₁, ∆’₂ có ít nhất một số không âm. Ta có:

1 – 48bc + 1 – 24ac

= 2 – 24c(a + 2b)

= 2 – 24c(1 – 3c)

= 2(6c – 1)² ≥ 0

Hay ∆’₁ + ∆’₂ ≥ 0

Vậy có ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm.

Câu 6. Cho phương trình ax² + bcx + b³ + c³ – 4abc = 0 (1) (a ≠ 0) vô nghiệm. Chứng minh rằng trong hai phương trình sau có 1 phương trình vô nghiệm, 1 phương trình có hai nghiệm phân biệt: ax² + bx + c = 0 (2); ax² + cx + b = 0 (3).

Hướng dẫn giải

Phương trình (1) vô nghiệm

⇒ ∆₁ = b²c² – 4a( b³ + c³ – 4abc) < 0 (*)

Ta có: ∆₂ = b² – 4ac; ∆₃ = c² – 4ab

Ta đi chứng minh ∆₂⋅∆₃ < 0

Có

0 hfill \ {Delta _3} < 0 hfill \ end{gathered} right. hfill \ left{ begin{gathered} {Delta _2} < 0 hfill \ {Delta _3} > 0 hfill \ end{gathered} right. hfill \ end{gathered} right. Rightarrow rlap{–} Dpcm] ” data-lazy-src=”/wp-content/uploads/2021/05/bai-tap-van-dung-delta-delta-phay-122.svg” decoding=”async” src=”data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns=’/2000/svg’%20viewBox=’0%200%200%200’%3E%3C/svg%3E”>

Câu 7. Cho a, b, c là các số thực có tổng khác 0. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm:

a(x – b)(x – c) + b(x – c)(x – a) + c(x – a)(x – b) = 0 (1)

Hướng dẫn giải

(1) ⇔ (a + b + c)x² – 2(ab + bc + ca)x + 3abc = 0

∆’ = (ab + bc + ca)² – 3abc(a + b + c)

= a²b² + b²c² + c²a² – abc(a + b + c)

=

[(ab – bc)² + (bc – ca)² + (ca – ab)²] ≥ 0

⇒ đpcm

Câu 8. Cho các số a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6. Chứng minh rằng có ít nhất 1 trong ba phương trình sau có nghiệm: x² + ax + 1 = 0; x² + bx + 1 = 0; x² + cx + 1 = 0

Hướng dẫn giải

Câu 9. Cho phương trình ax² + bcx + b³ + c³ – 4abc = 0 (1) (a ≠ 0) vô nghiệm. Chứng minh rằng trong hai phương trình sau có một phương trình vô nghiệm và một phương trình có hai nghiệm phân biệt ax² + bx + c = 0 (2); ax² + cx + d = 0 (3)

Hướng dẫn giải

Vì phương trình (1) vô nghiệm nên ta có: ∆₁ = b²c² – 4a(b³ + c³ – 4abc) < 0 (*)

Hai phương trình (2), (3) có ∆₂ = b² – 4ac; ∆₃ = c² – 4ab

Để chứng minh bài toán ta cần chứng minh trong hai số ∆₂, ∆₃ luôn có một số âm và một số dương.

Điều này gợi ý ta đi chứng minh ∆₂⋅∆₃ < 0

(*) ⇔ (b² – 4ac)(c² – 4ab) < 0 ⇔ ∆₂⋅∆₃ < 0

⇒ Trong hai số ∆₂, ∆₃ có một số âm và một số dương dẫn đến trong hai phương trình (2), (3) luôn có một phương trình có hai nghiệm phân biệt và một phương trình vô nghiệm.

Giới thiệu về phương trình bậc 2

Phương trình bậc 2 là phương trình có dạng: ax² + bx + c = 0

→ Trong đó a # 0, a, b là hệ số, c là hằng số

Công thức nghiệm phương trình bậc 2

Để giải phương trình bậc 2 cơ bản, chúng ta sử dụng 2 công thức nghiệm delta và delta phẩy. Để ứng dụng giải các bài toán biện luận nghiệm, ta sử dụng định lý Vi-et.

Công thức tính delta

Ta xét phương trình: ax² + bx +c = 0, Với biệt thức delta: Δ = b² – 4ac. Sẽ có 3 trường hợp:

– Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm

– Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

– Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Trong trường hợp nếu b = 2b′ thì sử dụng công thức delta phẩy dưới đây.

Công thức tính delta phẩy

Ta xét phương trình: ax² + bx +c = 0. Với biệt thức delta phẩy: Δ′ = b′² – ac. Trong đó:

→ Công thức trên còn được gọi là công thức nghiệm thu gọn.

Tương tự như delta thì delta phẩy chúng ta cũng có 3 trường hơp bao gồm:

– Nếu Δ′ < 0 thì phương trình vô nghiệm

– Nếu Δ′ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

– Nếu Δ′ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Hệ thức Viet

Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2 + bx + c = 0 (a≠0) (*) có 2 nghiệm x1 và x2. Khi đó 2 nghiệm này thỏa mãn hệ thức sau: thì ta có Công thức Vi-et như sau:

Hệ thức Viet dùng để giải quyết nhiều dạng bài tập khác nhau liên quan đến hàm số bậc 2 và các bài toán quy về hàm số bậc 2. Xong 3 công thức nghiệm bên trên thì chúng ta đã có thể thoải mái làm bài tập rồi. Hãy cùng đến các bài tập vận dụng ngay dưới đây.

Phân dạng bài tập sử dụng công thức delta, delta phẩy

Ứng với 3 công thức trên, chúng ta có các dạng bài tập tương ứng: Giải phương trình bậc 2 một ẩn cơ bản và biện luận nghiệm phương trình bậc 2 một ẩn. Để giải các dạng bài tập này, chúng ta cần nắm vững công thức nghiệm delta, công thức nghiệm delta phẩy và định lý Vi-et (dùng để giải các bài toán biện luận tham số).

Dạng 1.Giải phương trình bậc 2 một ẩn

Dạng 2. Biện luận nghiệm phương trình bậc 2 một ẩn

Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho phương trình x² – 2(m+1)x + m² + m +1 = 0

Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm

Trong trường hợp phương trình có nghiệm là x1, x2 hãy tính theo m

Bài 2: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi a, b:

(a+1) x² – 2 (a + b)x + (b- 1) = 0

Bài 3: Giả sử phương trình bậc hai x² + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm dương. Chứng minh rằng a² + b² là một hợp số.

Bài 4: Cho phương trình (2m – 1)x² – 2(m + 4 )x +5m + 2 = 0 (m #½)

Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.

Khi phương trình có nghiệm x1, x2, hãy tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo m.

Tìm hệ thức giữa S và P sao cho trong hệ thức này không có m.

Bài 5: Cho phương trình x² – 6x + m = 0. Tính giá trị của m, biết rằng phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 – x2 = 4.

Bài 6: Cho phương trình bậc hai: 2x² + (2m – 1)x +m – 1 =0

Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.

Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm đó.

Xác định m để phương trình có hai nghiệm phan biệt x1, x2 thỏa mãn -1 < x1 < x2 < 1

Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2, hãy lập một hệ thức giữa x1, x2 không có m.

Bài 7: Cho f(x) = x² – 2(m +2)x+ 6m +1

Chứng minh rằng pt f(x) = 0 luôn nghiệm với mọi m.

Đặt x = t + 2; tình f(x) theo t. Từ đó tìm điều kiện của m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 2.

Bài 8: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx +c thỏa mãn điều kiện Ι f(x)Ι =< 1 với mọi x ∈ { -1; 1 }. Tìm GTNN của biểu thức A= 4a² + 3b².

Bài 9: Cho phương trình (x²)² – 13 x² + m = 0. Tìm các giá trị của m để phương trình:

a. Có bốn nghiệm phân biệt.

b. Có ba nghiệm phân biệt.

c. Có hai nghiệm phân biệt.

d. Có một nghiệm

e. Vô nghiệm.

Trên đây là toàn bộ cách tính delta, delta phẩy thông qua những công thức đi kèm. Các dạng toán trên là dạng cơ bản nhất trong chương trình học, do đó bạn cần lưu ý tránh xảy ra các sai sót đáng tiếc.

Tốt nghiệp cử nhân ngôn ngữ Anh năm 2010, với hơn 10 năm kinh nghiệm trong việc giảng dạy về Tiếng Anh. Nguyễn Võ Mạnh Khôi là một trong những biên tập viên về mảng ngoại ngữ tốt nhất tại VerbaLearn. Mong rằng những chia sẽ về kinh nghiệm học tập cũng như kiến thức trong từng bài giảng sẽ giúp độc giả giải đáp được nhiều thắc mắc.

Công thức tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2

Trong bài viết này, chúng ta sẽ đề cập đến phương trình bậc hai một ẩn, công thức nghiệm của phương trình bậc hai, tại sao chúng ta cần tính ∆ và các dạng bài tập sử dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn.

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: ax^2 + bx + c = 0, với a, b, c là các hệ số đã biết và x là ẩn cần tìm.

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn là: x = (-b ± √∆) / 2a, với ∆ = b^2 – 4ac được gọi là biệt thức delta.

Tại sao chúng ta cần tính biệt thức delta? Biệt thức delta cho ta biết số lượng nghiệm của phương trình bậc hai và tính chất của các nghiệm đó. Nếu ∆ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt; nếu ∆ = 0, phương trình có một nghiệm kép; nếu ∆ < 0, phương trình vô nghiệm trong tập số thực.

Các dạng bài tập sử dụng công thức nghiệm bao gồm: tìm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, tìm hệ số của phương trình bậc hai một ẩn khi biết các nghiệm, tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, tính tổng hoặc tích của các nghiệm, và các bài tập ứng dụng khác.

Chúng ta sẽ cùng nhau hệ thống lại công thức delta và delta phẩy để giúp các bạn học sinh hiểu rõ hơn về phương trình bậc hai và cách áp dụng vào giải các bài tập trong môn Toán lớp 9.

I . Phương trình bậc 2 là gì? Công thức nghiệm phương trình bậc 2?

Phương trình bậc 2 là phương trình có dạng:

aх2 + bх +c = 0

Trong đó: a ≠ 0 , a , b là hệ ѕố, c là hằng ѕố

Công thức nghiệm:Ta хét phương trình

aх2 + bх +c = 0

CÔNG THỨC TÍNH DELTA :

Δ = b2 – 4ac

Sẽ có 3 trường hợp:

+ Δ Phương trình ᴠô nghiệm (ᴠì đâу là căn bậc 2)

+ Δ = 0 => х = – b/2a (giá trị rút gọn phân ѕố)

+ Δ > 0 => х c {- b + √Δ/2a ; – b – √Δ/2a}

Ví dụ: Cho phương trình х2 + 4х – 2 = 0 . Tìm nghiệm của phương trình bậc 2 trên

Trước hết tính detla Δ = b2 – 4ac = 4*4 – 4*2*1 = 8 .

Vì Δ = 8 > 0 nên phương trình ѕẽ có 2 nghiệm phân biệt là:

X1 = (-4 – √8 ) / 2

X2 = (-4 + √8 ) / 2

CÔNG THỨC TÍNH DELTA PHẨY:

Δ’ = b’2 – ac

+ Δ’ Phương trình ᴠô nghiệm (ᴠì đâу là căn bậc 2)

+ Δ’ = 0 => х = – b’/a (giá trị rút gọn phân ѕố)

+ Δ’ > 0 => х = {(- b’ + √Δ’)/a ; (- b’ – √Δ’) /a}

Công thức nàу được gọi là công thức nghiệm thu gọn

Ví dụ: Cho phương trình х² – 2(m+1)х + m² + m +1 = 0

a . Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm

b . Trong trường hợp phương trình có nghiệm là х1, х2 hãу tính theo m :

х1+ х2 ; х1* х2 ; (х1)² +( х2)²

Đáp ѕố:

a . Δ′ = m + 2 >= 0 khi m >= -2

b . х1 + х2 = 2(m +1)

х1 * х2 = m² + m – 1

(х1)² + (х2)² = (х1 + х2)² – 2 (х1* х2)

= 4m² + 8m +4 – 2m² – 2m + 2

= 2m² + 6m +6

Hệ thức Viet

Nếu ta có х1, х2 là nghiệm của phương trình: aх2 + bх +c = 0

thì: х1; х2: S = х1 + х2 = -b/a

P = х1 . х2 = c/a

Trên đây banthodep360 đã chia sẻ tới các bạn bài Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2. Hy vọng với tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn học sinh nắm chắc Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2. Ngoài ra để có thể ôn tập hiệu quả nhất môn Toán 9 chuẩn bị thi vào lớp 10, các bạn học sinh có thể tham khảo thêm tài liệu Các dạng Toán thi vào 10

1. Định nghĩa về Delta trong toán học

+ Delta là một chữ cái trong bảng chữ Hy Lạp, được kí hiệu là Δ (đối với chữ hoa) và δ (đối với chữ thường).

+ Trong toán học, đặc biệt là Toán 9, ký hiệu Δ chỉ một biệt thức trong phương trình bậc hai mà dựa vào từng giá trị của delta ta có thể kết luận được số nghiệm của phương trình bậc hai.

+ Ngoài ra delta còn dùng để kí hiệu cho đường thẳng mà các bạn sẽ được học ở các lớp cao hơn.

2. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn

+ Phương trình bậc hai một ẩn (ẩn ) là phương trình có dạng:

Trong đó , là các hệ số, là hằng số.

3. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Ta sử dụng một trong hai công thức nghiệm sau để giải phương trình bậc hai một ẩn:

+ Tính (được gọi là biệt thức Delta)

– Nếu 0″ data-latex=”Delta > 0″ data-src=”//t.vdoc.vn/data/image/holder.png” width=”50″>, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

– Nếu , phương trình có nghiệm kép:

– Nếu , phương trình vô nghiệm.

+ Tính  (được gọi là biệt thức Delta phẩy)

– Nếu 0″ data-latex=”Delta ‘ > 0″ data-src=”//t.vdoc.vn/data/image/holder.png” width=”55″>, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

– Nếu , phương trình có nghiệm kép:

– Nếu , phương trình vô nghiệm.

4. Chứng minh công thức Delta

Ta xét phương trình bậc 2:

Vế phải chính là Δ mà chúng ta vẫn hay tính khi giải phương trình bậc hai. Và do vế trái của đẳng thức luôn lớn hơn hoặc bằng 0, nên chúng ta mới phải biện luận nghiệm của .

+ : vế trái lớn hơn bằng 0, vế phải nhỏ hơn 0 nên phương trình vô nghiệm.

+ , phương trình trên trở thành

+ 0″ data-latex=”{b^2} – 4ac > 0″ data-src=”//t.vdoc.vn/data/image/holder.png” width=”100″>, phương trình trên trở thành

Trên đây là toàn bộ cách chứng minh công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Và là mấu chốt của việc xét điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai. Nên các nhà toán học đã đặt nhằm giúp việc xét điều kiện có nghiệm trở nên dễ dàng hơn, đồng thời giảm thiểu việc sai sót khi tính toán nghiệm của phương trình.

1. Định nghĩa về Delta trong toán học

Khái niệm Delta là một chữ cái trong bảng chữ cái Hy Lạp, có kí hiệu là Δ (đối với chữ hoa) và δ (đối với chữ thường).

Trong toán học lớp 9 hiện nay, ký hiệu Δ được dùng để chỉ một biệt thức trong phương trình bậc hai. Với từng giá trị của delta có thể kết luận được số nghiệm của phương trình bậc hai.

Bên cạnh đó, delta còn được dùng để kí hiệu cho đường thẳng mà các bạn ở lớp cao hơn không còn xa lạ.

2. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn có dạng dưới đây:

>>> Bạn có biết: Bật mí những cách học thuộc công thức Sin Cos dễ nhất

3. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Để giải phương trình bậc 2 một ẩn thì bạn có thể dùng một trong hai công thức nghiệm dưới đây:

4. Công thức Delta trong phương trình bậc 2 một ẩn

Trong phương trình bậc 2 một ẩn thì công thức delta sẽ có dạng:

5. Công thức tính Delta phẩy

Công thức tính delta phẩy sẽ có dạng dưới đây:

6. Các dạng bài tập sử dụng cách tính delta bằng máy tính và delta phẩy

Với những công thức delta ở trên thì các bạn có thể giải phương trình bậc 2 một ẩn hoặc dùng để biện luận nghiệm phương trình bậc 2. Bên cạnh đó, bạn có thể dùng công thức tính delta bằng máy tính nêu trên cho ra kết quả chính xác, nhanh chóng.

Dưới đây là các dạng bài tập vận dụng cơ bản sẽ giúp các em học sinh thêm nhiều bài tập thực tế để áp dụng nhuần nhuyễn công thức nêu trên.

6.1. Ví dụ 1, 2, 3, 4

• Bài 1: Giả sử phương trình: x² + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm, hãy chứng minh a² + b² là một hợp số.
• Bài 2: Chứng minh phương trình sau có nghiệm với mọi a, b: (a+1) x² – 2 (a + b)x + (b- 1) = 0.
• Bài 3: Cho phương trình x² – 2(m+1)x + m² + m +1 = 0. Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm. Hãy tính nghiệm x1, x2 theo m.
• Bài 4: Cho phương trình (2m – 1)x² – 2(m + 4 )x +5m + 2 = 0 (m #½). Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm. Sau đó tính tổng S và tích P của hai nghiệm.

6.2. Ví dụ 5, 6, 7

Bài 5: Cho f(x) = x² – 2(m +2)x + 6m +1. Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m. Tìm điều kiện của m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2.

Bài 6: Cho phương trình: 2x² + (2m – 1)x +m – 1 =0. Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi m. Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn -1 < x1 < x2 < 1.

Bài 7: Phương trình x² – 6x + m = 0. Tính giá trị của m, trong đó 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện x1 – x2 = 4.

>>> Tham khảo thêm: Tìm hiểu về công thức tính công suất

6.3. Ví dụ 8, 9

Bài 8: Cho phương trình (x²)² – 13 x² + m = 0. Tìm các giá trị của m để phương trình thỏa mãn một trong các điều kiện như:

• Có bốn nghiệm phân biệt.
• Có ba nghiệm phân biệt.
• Có hai nghiệm phân biệt.
• Có một nghiệm
• Vô nghiệm.

Bài 9: Cho phương trình bậc hai f(x) = ax² + bx +c với điều kiện Ι f(x)Ι =< 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= 4a² + 3b².

Ngoài ra, còn có rất nhiều ví dụ minh họa khác giúp bạn có thể thực hành. Qua đó bạn sẽ giải được những bài toán ý nghĩa đồng thời giúp nâng cao kiến thức hiệu quả. Có thể vận dụng vào giải các bài tập yêu cầu cao hơn.

Bạn còn có thể áp dụng cách tính delta bằng máy tính ở trên để thao tác nhanh chóng, mà độ chính xác cao. Đối với các bạn học sinh thì máy tính là công cụ đắc lực phục vụ cho quá trình học tập của bạn. Trong một số trường hợp thì bạn không nên bỏ qua bí quyết giải các bài tập áp dụng công thức delta nêu trên.

Bài viết trên đây nhằm giúp bạn tìm hiểu về công thức delta như thế nào, qua đó có thể dùng chứng minh công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Đừng quên theo dõi những bài viết tiếp theo để cập nhật thông tin hữu ích khác.

docsachhay.vn › cong-thuc-tinh-delta-va-delta-phay-phuong-trinh-bac-2, verbalearn.org › Toán lớp 9, gemma.edu.vn › Top 9+ công thức tính delta mới nhất, banthodep360.com › delta-phay, download.vn › Học tập › Lớp 9 › Toán 9, giaitoan.com › Toán 9 › Chuyên đề Toán 9 thi vào 10, thptchuyenlamson.vn › cach-tinh-delta-la-gi, vgbc.org.vn › cong-thuc-delta, toploigiai.vn › Giải Toán 12 › Ôn tập Toán lớp 12, Công thức đến ta phẩy, Công thức tính b phẩy, Tính delta phương trình bậc 2, công thức tính x1, x2 theo delta phẩy, Công thức delta lớp 9, Công thức delta phẩy lớp 12, Công thức delta và delta phẩy, Bài tập tính delta phẩy