Công Thức Tính Nhanh Bán Kính Mặt Cầu Ngoại Tiếp – Thông tin tuyển sinh đào tạo Đại học Cao đẳng

Bạn đang xem video THẦY ĐINH TIẾN NGUYỆN | BÀI 11. MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN Phần 2 from YouTube · Duration: 2 minutes 16 seconds · 3K views · uploaded on 2 weeks ago · uploaded by THẦY ĐINH TIẾN NGUYỆN · Click to play. mới nhất trong danh sách Thông tin tuyển sinh được cập nhật từ kênh THẦY ĐINH TIẾN NGUYỆN từ ngày 2 weeks ago với mô tả như dưới đây.

1. Thế nào là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp?

Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp hoặc cách gọi khác là hình chóp nội tiếp mặt cầu bản chất của nó chính là một hình mặt cầu bao quanh 1 khối hình chóp với đường tròn đi qua các đỉnh của hình chóp đó.

2. Phương pháp tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

• Đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (d là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy) xác định trục d.

• Xác định mặt phẳng trung trực P của cạnh bên (hoặc trục của đường tròn ngoại tiếp của một đa giác mặt bên). 

• Ta có giao điểm I của P và d (hoặc của $Delta $ và d) chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 

• Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp chính là độ dài đoạn thẳng nối tâm I với một đỉnh của hình chóp.

3. Công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Ta có bảng công thức mặt cầu ngoại tiếp hình chóp dưới đây:

Đăng ký ngay PAS THPT để được thầy cô hệ thống lại toàn bộ kiến thức toán, nắm trọn 9+ trong lòng bàn tay

4. Các dạng toán tính bán kính và diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp thường gặp

Ta có 4 dạng toán tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp thường gặp sau đây:

4.1. Hình chóp có các điểm cùng nhìn một đoạn thẳng AB dưới một góc vuông

Phương pháp:

Xác định tâm là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Bán kính R=$frac{AB}{2}$

Ví dụ: 

Hình chóp A.ABC có đường cao SA có đáy ABC là tam giác vuông tại B.

Ta có $widehat{SAC}=widehat{SBC}=90^{circ}$ => A,B cùng nhìn S dưới một góc vuông.

Khi đó mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có:

Tâm I là trung điểm của SC

Bán kính R=$frac{SC}{2}$

4.2. Hình chóp đều

Phương pháp:

Ta có:

Hình chóp tam giác đều S.ABC

Hình chóp tứ giác đều S.ABCD

Gọi O là tâm của đáy => SO là trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác.

Trong mặt phẳng được xác định bởi SO và cạnh bên, ví dụ như mặt phẳng (SAO) ta vé đường trung trực của SA và cắt SO tại I.

I chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình tròn.

Ta có: $Delta SNIsim Delta SOA=>frac{SN}{SO}=frac{SI}{SA}$ => Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: R=IS= $frac{SN.SA}{SO}=frac{SA^{2}}{2SO}$.

Ví dụ: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy có độ dài bằng a, cạnh bên SA=$asqrt{3}$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.

Giải:

Gọi O là tâm của hình tam giác đều ABC có SO vuông góc (ABC) có SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 

Gọi N là trung điểm SA, trong mặt mặt phẳng (SAO) kẻ đường trung trực của SA cắt SO tại I => SI=IA=IB=IC nên I chính là tâm của mặt cầu hình chóp S.ABC.

Bán kính R = SI. Vì $Delta $SNI và $Delta $SOA đồng dạng nên ta có $frac{SN}{SO}=frac{SI}{SA}$.

=> R = SI = $frac{SN.SA}{SO}=frac{SA^{2}}{2SO}=frac{3asqrt{6}}{8}$

Mà $R=frac{2}{3}frac{asqrt{3}}{2}=frac{asqrt{3}}{3};SO=sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=frac{2asqrt{6}}{3}$

=> R = SI = $frac{2asqrt{6}}{3}$

4.3. Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy

Phương pháp:

Cho hình chóp $S.A_{1}.A_{2}…A_{n}$ có cạnh $SAperp (A_{1}.A_{2}…A_{n})$ đáy $A_{1}.A_{2}…A_{n}$ nội tiếp được trong đường tròn với tâm O. Ta có tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp $S.A_{1}.A_{2}…A_{n}$ được xác định:

Từ tâm O ngoại tiếp đường tròn đáy vẽ đường thẳng d vuông góc mặt phẳng $A_{1}.A_{2}…A_{n}$ tại O.

Trong mặt phẳng ($d,SA_{1}$) dựng đường trung trực của tam giác cạnh SA cắt $SA_{1}$ tại N và cắt d tại I.

Khi đó ta có I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có:

$R=IA_{1}=IA_{2}=…=IA_{n}=IS$

Ta có $MIOA_{1}$ là hình chữ nhận, xét $Delta MA_{1}Iperp M$ có:

$R=A_{1}I=sqrt{MI^{2}+MA_{1}^{2}}=sqrt{A_{1}O^{2}+left ( frac{SA_{1}}{2} right )^{2}}$

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với mặt đáy, ABC là tam giác vuông tại A, có AB = 6a, AC = 8a, SA = 10a. Tính độ dài bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Giải:

Gọi O là trung điểm BC => O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại A. Dựng trục d của đường tròn ngoại tiếp ABC, trong mặt phẳng (SA,d) vẽ trung trực của cạnh SA cắt d tại I.

=> I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và bán kính R = IA = IB = IS.

Ta có tứ giác NIOA là chữ nhật.

Xét tam giác NAI vuông tại N ta có:

$R=IA=sqrt{NI^{2}+NA^{2}}=sqrt{NA+left ( frac{SA}{2} right )^{2}}$
$=sqrt{left ( frac{BC}{2} right )^{2}+left ( frac{SA}{2} right )^{2}}$
$=sqrt{left ( frac{AB^{2}+AC^{2}}{4} right )+left ( frac{SA}{2} right )^{2}}=5asqrt{2}$

Đăng ký ngay bộ bí kíp độc quyền của VUIHOC giúp các em tổng hợp kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán THPT

4.4. Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt phẳng đáy

Dạng bài này thì mặt bên vuông góc thường sẽ là tam giác vuông, tam giác đều hoặc tam giác cân. Khí đó:

• Xác định trục d thuộc đường tròn đáy tam giác

• Xác định trục tam giác của đường tròn ngoại tiếp mặt bên vuông góc với đáy

• Tìm giao điểm I của d và tam giác là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC là tam giác vuông tại A. Mặt bên (SAB) vuông góc với mặt (ABC) và SAB đều cạnh bằng 1. Tìm độ dài bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác S.ABC.

Giải:

Gọi H,M là trung điểm của AB, AC.

M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (vì MA = MB = MC).

Dựng d là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (có d qua M và song song với SH).

G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB và tam giác là trục đường tròn ngoại tiếp của tam giác SAB, $Delta $ cắt d.

$=>SG=frac{1}{sqrt{3}};GI=HM=frac{1}{2}AC=frac{1}{2}$
$=>R=SI=sqrt{frac{1}{3}+frac{1}{4}}=frac{sqrt{21}}{6}$

Để ôn tập các lý thuyết về mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và thực hành các bài tập luyện tập, cùng VUIHOC theo dõi bài giảng dưới đây của thầy Trường Giang nhé. Có rất nhiều mẹo giải nhanh bằng CASIO mà các em học sinh không nên bỏ qua đâu đó!

Trên đây là toàn bộ công thức về mặt cầu ngoại tiếp hình chóp các em có thể lưu lại để làm bài tập. Ngoài ra muốn có thêm nhiều kiến thức và các dạng toán hay, các em có thể truy cập ngay để đăng ký tài khoản hoặc liên hệ trung tâm hỗ trợ để học thêm về kiến thức toán 12 THPT trang bị thật tốt cho kỳ thi đại học sắp tới nhé!

1. Cách xác định tọa độ tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là mặt cầu đi qua 4 đỉnh hay 4 điểm A, B, C, D. Để tìm và xác định được tọa độ tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, chúng ta làm theo 3 cách sau:

Cách 1: Sử dụng tính chất IA = IB = IC = ID. Gọi I là tâm mặt cầu => tọa độ tâm và bán kính mặt cầu. 

Cách 2: Ví dụ phương trình mặt cầu là $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2ax+2by+2cz+d=0$. 

Vì mặt cầu cùng đi qua 4 điểm A, B, C, D nên tọa độ sẽ thỏa mãn phương trình mặt cầu. Ta sẽ có hệ 4 phương trình ẩn a, b, c, d. Giải hệ này ta sẽ nhận được phương trình mặt cầu => tọa độ tâm và bán kính mặt cầu.

Cách 3: Ta viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB, CD, BC. Giao của ba mặt phẳng này là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD hay tâm mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D.

2. Công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Phương pháp chung để tính nhanh công thức mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là:

• Chúng ta xác định tâm của đáy để từ đó dựng được đường thẳng d vuông góc với mặt đáy.

• Dựng mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên bất kì.

• Tâm mặt cầu là giao điểm của d và (P).

Đăng ký ngay để nhận bộ tài liệu nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán thi THPT Quốc Gia

3. Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Bài toán tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là dạng bài tập rất phổ biến. Ta có các dạng công thức dưới đây:

3.1. Dạng 1: Hình chóp đều

Ta có a là độ dài cạnh bên của hình chóp, h là chiều cao của hình chóp.

R = $frac{a^{2}}{2h}$

Ví dụ: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho biết ta có hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a.

Giải: 

Gọi O chính là tâm hình vuông ABCD, vậy ta có SO$perp $(ABCD).

ao = $frac{AC}{2}=frac{asqrt{2}}{2}$

Ta xét tam giác SAO vuông tại O.

SO = $sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=frac{asqrt{34}}{2}$

Ta lại có R = $frac{SA^{2}}{2SO}=frac{9asqrt{34}}{34}$

3.2. Dạng 2: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy

Ta gọi r, h là bán kính và chiều cao đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Có:

R=$sqrt{(frac{h}{2})^{2}+r^{2}}$

Ví dụ: Hãy tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC khi cho tứ diện OABC, các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = 2a, OC = 2a. 

Giải: 

Ta có tam giác OBC vuông tại O nên h = OA = a

Ta có BC =$sqrt{OB^{2}+OC^{2}}=2sqrt{2}a$

r = $asqrt{2}$

Theo công thức ta áp dụng:

R = $sqrt{(frac{a}{2})^{2}+(asqrt{2})^{2}}=frac{3a}{2}$

3.3. Dạng 3: Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy

Bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên và mặt đáy được gọi lần lượt là $R_{b},R_{d}$. GT là độ dài giao tuyến mặt bên và đáy.

R=$sqrt{R_{b}^{2}+R_{d}^{2}-frac{GT^{2}}{4}}$

Ví dụ: Hãy tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, biết hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a. Tam giác SAB đều, nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. 

Giải

Giao tuyến của (SAB) và (ABCD) là AB.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy $R_{d}=AO=frac{asqrt{2}}{2}$

Bán kính R đường tròn ngoại tiếp mặt bên là R = SG =$frac{asqrt{3}}{3}$

Ta có công thức:

$R=sqrt{R_{b}^{2}+R_{d}^{2}-frac{GT^{2}}{4}}=frac{asqrt{21}}{6}$

Đăng ký ngay để được các thầy cô tư vấn và xây dựng lộ trình ôn thi THPT môn Toán sớm ngay từ bây giờ

4. Một số bài tập tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Bài 1: Hãy tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD biết rằng S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. BC = 4a, AB = 3a, SA = 12a và SA vuông góc với đáy.

Giải:

Ta có $R_{d}=frac{AC}{2}=frac{sqrt{AB^{2}+BC^{2}}}{2}=frac{5a}{2}$

=> R=$sqrt{R_{d}^{2}+(frac{h}{2})^{2}}=sqrt{(frac{5a}{2})^{2}+(frac{12a}{2})^{2}}=frac{13a}{2}$

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có các cạnh SA, SB, SC bằng nhau và đều bằng a. Hãy tính diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình chóp biết rằng $widehat{ASC}=widehat{ASB}=90^{circ}$

Giải:

S = $4pi R^{2}=frac{7pi a^{2}}{3}$

Bài 3: Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp khi cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với đáy (ABC). AB = a và $widehat{BAC}=120^{circ}$

Giải:

Áp dụng định lý cos ta có:

BC =$sqrt{AB^{2}+AC^{2}-2AB.AC.coswidehat{BAC}}=asqrt{3}$

Lại có r = $frac{AB.BC.AC}{4.S_{ABC}}=frac{AB.BC.AC}{2.AB.AC.sinwidehat{BAC}}=a$

R=$sqrt{(frac{h}{2})^{2}+r^{2}}=sqrt{(frac{2a}{a})^{2}+a^{2}}=asqrt{2}$

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là một hình vuông. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SC = 2a. 

Giải:

Ta có:

R = $frac{AC}{2}$, h = SA

R = $sqrt{(frac{AC}{2})^{2}+(frac{SA}{2})^{2}}=frac{1}{2}S_{c}=a$

Bài 5: Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ABC, vuông tại C. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp biết mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, SA = SB = a và $widehat{ASB}=120^{circ}$

Giải:

AB = $sqrt{SA^{2}+SB^{2}-2SA.SB.coswidehat{ASB}}=asqrt{3}$

=> GT=AB=$asqrt{3}$

$R_{d}=frac{AB}{2}=frac{asqrt{3}}{3}$

$R_{b}=frac{SA.SB.AB}{4.S_{ABC}}=frac{SA.SB.AB}{2.SA.SB.sin120^{circ}}=a$

Để ôn tập nhiều hơn về các lý thuyết mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đồng thời áp dụng để thực hành các bài tập luyện tập, cùng VUIHOC theo dõi bài giảng dưới đây của thầy Trường Giang nhé. Có rất nhiều mẹo giải nhanh bằng CASIO mà các em học sinh không nên bỏ qua đâu đó!

Trên đây là toàn bộ lý thuyết và cách giải chi tiết nhất của bài toán mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Để có thể đạt được kết quả cao thì hãy kết hợp luyện tập thêm nhiều dạng bài khác nữa. Các bạn có thể truy cập nền tảng và đăng ký tài khoản để luyện đề ôn thi THPT Quốc gia!

>> Xem thêm: Toán 12: Lý thuyết phương trình mặt cầu và các dạng bài tập

I. TỔNG HỢP CÔNG THỨC TÍNH NHANH

II. CÁCH XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP

Để xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1:  Xác định trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Gọi tắt là trục của đáy ( là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).
Bước 2:  Xác định mặt phẳng trung trực của một cạnh bên. Hoặc trục của của đường tròn ngoại tiếp một đa giác của mặt bên.
Bước 3:  Giao điểm của trục của đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên (hoặc trục của đáy của và trục của một mặt bên) là tâm mặt cầu ngoại tiếp.
Nhận xét: Hình chóp có đáy hoặc các mặt bên là các đa giác không nội tiếp được đường tròn thì hình chóp đó không nội tiếp được mặt cầu.

Sau đây là một số công thức tính nhanh:

Bộ đề thi Online các dạng có giải chi tiết: Mặt Nón – Mặt Trụ – Mặt Cầu

III. HÌNH (KHỐI) CHÓP CÓ CÁC ĐỈNH CÙNG NHÌN MỘT CẠNH DƯỚI GÓC VUÔNG

Nếu khối chóp có các đỉnh cùng nhìn 1 cạnh AB (Các đỉnh không nằm trên cạnh đó-Không kể A, B) thì tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đó là trung điểm AB. Đồng thời AB là đường kính mặt cầu. Bán kính R=AB/2.

Ví dụ:

Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy. Đáy là tam giác vuông tại B. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC biết SC=2a.

Lời giải:

HÌNH (KHỐI) CHÓP ĐỀU

Khối chóp đều có cạnh bên SA và chiều cao SO thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là

Chứng minh:

Ví dụ:

Biết tứ diện đều cạnh a nội tiếp mặt cầu (S) bán kính R. Tính R.

Lời giải:

Bộ đề thi Online các dạng có giải chi tiết: Mặt Nón – Mặt Trụ – Mặt Cầu

vted.vn › tin-tuc › vtedvn-tong-hop-tat-ca-cac-cong-thuc-tinh-nhanh-ban-…, vted.vn › tin-tuc › cong-thuc-tong-quat-tinh-ban-kinh-mat-cau-ngoai-tiep-…, vuihoc.vn › Tin tức, vuihoc.vn › Tin tức, loga.vn › cong-thuc-tinh-nhanh-ban-kinh-mat-cau-ngoai-tiep-5967, toanthaydinh.com › mat-cau-ngoai-tiep-hinh-chop, tech12h.com › bai-hoc › chuyen-de-mot-so-cong-thuc-tinh-nhanh-ban-kin…, toploigiai.vn › Giải Toán 12 › Ôn tập Toán lớp 12, www.studytienganh.vn › news › cong-thuc-tinh-ban-kinh-mat-cau-ngoai-ti…, Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện trong Oxyz, Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, công thức tính bán kính mặt cầu (s), Công thức tính bán kính mặt cầu lớp 12, Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón, Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều, Công thức Crelle, Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương