Công Thức Tổng Cấp Số Nhân – Thông tin tuyển sinh đào tạo Đại học Cao đẳng

Cấp số nhân là gì? Có những công thức và tính chất quan trọng cần nhớ? Bài viết này sẽ hệ thống đầy đủ nhất giúp bạn hiểu hơn về phép toán cơ bản này.

Bạn biết đấy, nhiều năm gần đây phép toán cấp số nhân được đưa vào trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia, vẫn biết nó đơn giản nhưng có gây chút khó khăn với một vài bạn. Nếu bỏ thì thật tiếc phải không nào. Để giúp bạn học tốt, bài viết này sẽ nêu rõ định nghĩa, công thức cần học và bài tập cấp số nhân kèm lời giải chi tiết.

Lý thuyết cấp số nhân

• Công thức tổng quát: ${u_{n + 1}} = {u_n}.q$
• Số hạng bất kì: ${u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}}$
• Tổng n số hạng đầu tiên: ${S_n} = {u_1} + {u_2} + … + {u_n} = {u_1}frac{{1 – {q^n}}}{{1 – q}}$

Bài tập cấp số nhân có lời giải chi tiết

Bài tập 1. Cho cấp số nhân ( ${u_n}$ ), biết công bội q = 3 và số hạng đầu tiên ${u_1}$ = 8. Hãy tìm số hạng thứ 2

A. 24

B. 16

C. 32

D. 40

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức cấp số nhân: ${u_{n + 1}} = {u_n}.q$

• q = 3
• số hạng thứ 2: n + 1 = 2 => n = 1
• ${u_1}$ = 8

Thay số vào: ${u_{1 + 1}} = {u_1}.q Rightarrow {u_2} = 8.3 = 24$

Chọn đáp án A.

Bài tập 2. Cho cấp số nhân ( ${u_n}$ ), biết số hạng đầu tiên ${u_1}$ = 8 và số hạng kế tiếp ${u_2}$ = 24. Hãy tìm công bội của dãy số này

A. 6

B. 5

C. 4

D. 3

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức tổng quát: ${u_{n + 1}} = {u_n}.q$

• ${u_1}$ = 8
• ${u_2}$ = 24

Thay số vào: ${u_2} = {u_1}.q Rightarrow 24 = 8.q Rightarrow q = frac{{24}}{8} = 3$

Chọn đáp án D.

Bài tập 3. Cho cấp số nhân ( ${u_n}$ ), biết rằng số hạng đầu tiên ${u_1}$ = 3, công bội là 2. Hãy tìm số hạng thứ 5

A. 96

B. 48

C. 24

D.12

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức số hạng bất kì: ${u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}}$

• ${u_1}$ = 3
• q = 2
• n = 5

Thay số vào:  ${u_5} = {3.2^{5 – 1}} = 48$

Chọn đáp án B.

Bài tập 4. Cho cấp số nhân ( ${u_n}$ ), biết công bội q = – 3 và số hạng đầu tiên ${u_1}$ = 4. Hãy tỉnh tổng của 6 số hạng đầu tiên

A. 244

B. 82

C. 122

D. 730

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên: ${S_n} = {u_1}frac{{1 – {q^n}}}{{1 – q}}$

• q = – 3
• ${u_1}$ = 4

Thay số vào: ${S_6} = {u_1}frac{{1 – {q^6}}}{{1 – q}} = 5.frac{{1 – {{left( { – 2} right)}^6}}}{{1 – left( { – 2} right)}} = 730$

Chọn đáp án D.

Bài tập 5. Cho cấp số nhân ( ${u_n}$ ), biết rằng ${u_1}$ = – 0,5 và số hạng thứ 7 là ${u_7}$ = – 32. Hãy tìm công bội

A. q = 2

B. q = – 2

C. q = ± 2

D. q = 3

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức số hạng bất kì: ${u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}}$

• n = 7
• ${u_1}$ = – 0,5
• ${u_7}$ = – 32

Thay số vào: $ – 32 = left( { – 0,5} right).{q^{7 – 1}} Rightarrow q = pm 2$

Chọn đáp án C.

Bài tập 6. Biết rằng một cấp số nhân ( ${u_n}$ ) có số hạng đầu ${u_1}$ = 8, công bội q = 2 và số hạng thứ n là ${u_n}$ = 256. Hỏi n bằng bao nhiêu

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức cấp số nhân: ${u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}}$

• ${u_1}$ = 8
• q = 2
• ${u_n}$ = 256

Thay số vào: $256 = 8.{q^{n – 1}} Rightarrow {q^{n – 1}} = 32 Rightarrow {q^{n – 1}} = {2^5}$

=> n – 1 = 5=> n = 6

Chọn đáp án C.

Hy vọng bài viết này đã giúp ích bạn học tốt phép toán cơ bản cấp số nhân, nếu có thắc mắc gì hãy comment bên dưới để toanhoc.org giải đáp giúp bạn.

Khái niệm cần nhớ về cấp số nhân

Cấp số nhân trong Toán lớp 11 được hiểu là một dãy số vô hạn hoặc hữu hạn. Dãy số này phải thoả mãn điều kiện kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng liền trước nó với một số không đổi. Hằng số này được gọi là công bội, ký hiệu là q của cấp số nhân. Vì vậy, một cấp số nhân sẽ có dạng a, ar, ar^2, ar^3, ar^4… theo đó, a là số hạng đầu tiên, r là công bội của cấp số nhân. 

Hệ thống công thức cấp số nhân cần nhớ

Trong cấp số nhân ( CSN) có nhiều công thức để bạn vận dụng vào bài tập. Dưới đây là những công thức cơ bản bạn cần hiểu và ghi nhớ để làm bài tập:

Công thức công bội q

Công thức tính công bội q của CSN sẽ như sau: 

q= ( Un+1)/ Un

Ví dụ: Cho U1= 3; U2= 9. Áp dụng công thức tính công bội ta có: q= U2/U1= 9/3= 3. 

Hoặc cho U3= 6, U4 = 12; Ta có: q= U4/U3= 12/6= 2. 

Số hạng tổng quát cấp số nhân

Un = U1*q(n-1), trong đó, n lớn hơn hoặc bằng 2. 

Ví dụ: Cho cấp số nhân Un, biết q= 3 và số hạng đầu tiên U1= 8. Tìm số hạng thứ 2.

Lời giải: Ta áp dụng công thức CSN: U( n+1)= Un.q

Ta có: q= 3; số hạng thứ 2: n+1= 2=> n=1. 

U1 = 8. Thay số vào công thức ta có: 

U (1+1)= U1.q => U2= 8.3= 24. 

Vậy số hạng thứ 2 là 24. 

Công thức tổng quát về cấp số nhân

Tính chất của cấp số nhân trong toán học

• Nếu số ( Un) là cấp số nhân thì từ số hạng thứ 2, bình phương của mỗi số hạng bằng tích của số hạng đứng kề trước, kề sau nó trong dãy( trừ số hạng cuối trong cấp số nhân hữu hạn). 

Tức là: (Uk)^2 = U(k-1). U(k+1)

• Còn nếu cấp số nhân Un có số hạng đầu U1 và công bội q thì số hạng tổng quát Un được tính theo công thức sau: Un= U1. q^n-1
• Tổng n số hạng đầu có dạng Sn=u1+ u2+…+un= u1 ( 1- qn)1- q. 
• Trong đó, q= 0 thì dãy cấp số nhân sẽ là u1; 0; 0; …; 0… và Sn sẽ bằng u1. 
• Nếu q=1 thì dãy cấp số nhân có dạng u1; u1; u1; …; u1 => Sn= n.u1
• Khi u1= 0 thì mọi q, cấp số nhân có dạng 0; 0; 0; 0…; 0 và Sn= 0. 

Các dạng ài tập về cấp số nhân

Khi đã hiểu về định nghĩa và các công thức cấp số nhân, bạn sẽ dễ dàng vận dụng vào bài tập. Dưới đây là một số dạng bài tập để bạn tham khảo giải đề:

Bài tập 1: Cho cấp số nhân (un) với u1= -12; u7= -32. Tìm công bội q?

Lời giải: Với dạng bài này, ta áp dụng công thức tính số hạng tổng quát cấp số nhân. Theo đó ta có:

un= u1.qn- 1 => u7= u1.q6 => q6= 64=> q= 2.q= -2. 

Bài tập 2: Cho cấp số nhân ( un) với u1= -2, q= -5. Tìm 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát un. 

Lời giải: 

Theo công thức ta có: 

u2= u1.q = (-2).(-5)= 10

u3= u2.q= 10.(-5)= -50

u4= u3.q= (-50). (-5)= 250

=> 3 số hạng tiếp theo lần lượt là 10; -50; 250

Số hạng tổng quát un= u1.qn-1= ( -2). (-5) n-1

Dạng đề 3: Cho 3 số a, b, c lập thành một cấp số nhân, chứng minh rằng: ( a^2+ b^2) ( b^2 + c^2)= ( ab+bc)^2

Bài giải: 

Ta có a, b, c lập thành một cấp số nhân được ac= b^2.

Khi đó: ( a^2 + b^2)* ( b^2+ c^2)= a^2.b^2+ a^2.c^2+ b^4+ b^2.c^2= a^2.b^2+ abc^2+ b^2.c^2 = a^2b^2+ 2ab^2c + b^2c^2 = (ab+ bc)^2

Vậy chứng minh rằng: ( a^2+ b^2) ( b^2 + c^2)= ( ab+bc)^2

Như vậy, bài viết trên đây chúng tôi đã cập nhật kiến thức cơ bản về cấp số nhân công thức cấp số nhân. Cùng một số dạng bài tập để bạn tham khảo. Mong rằng những kiến thức này sẽ giúp ích cho bạn trong bộ môn Toán học của mình. 

Nhận code tại đây: 

1. Cấp số nhân là gì?

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) thoả mãn điều kiện kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi (hằng số này được gọi là công bội q của cấp số nhân). Có nghĩa là:

$u_{n}$ là cấp số nhân với $Leftrightarrow forall n geq 2, u_{n-1}$ với $nepsilon N^{ast }$

Ví dụ: Dãy số $(u_{n})$, với $u_{n}=3^{n}$ là một cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3$ và công bội $q=3$.

2. Công bội q

q là công bội của cấp số nhân $(u_{n})$ có 

Công bội $q=frac{u_{n+1}}{u_{n}}$

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân $u_{1}=3,u_{2}=9$. Tính công bội q

Ta có: 

$q=frac{u_{2}}{u_{1}}=frac{9}{3}=3$

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân $u_{3}=8,u_{4}=16$ . Tính công bội q

Ta có: 

$q=frac{u_{4}}{u_{3}}=frac{16}{8}=2$

3. Tính chất cấp số nhân

• $(u_{n})$ là một cấp số nhân thì từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) sẽ bằng tích của số đứng trước và số đứng sau nó.

$Leftrightarrow (u_{k})^{2}=u_{k-1}.u_{k+1}$

• Nếu một cấp số nhân $(u_{n})$ có số hạng đầu $(u_{1})$ và công bội q thì số hạng tổng quát $(u_{n})$ sẽ được tính bởi công thức:

$u_{n}=u_{1}.q^{n-1}$

Ví dụ : Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với công bội q > 0. 

Biết u₁ = 1; u₃ =3. Hãy tìm u₄

Lời giải: 

Ta có: u₂² = u₁ . u₃ = 3

          u₃² = u₂ . u₄

Từ (1) do u₂  > 0 ( vì u₁=1 > 0 và q > 0)

$Rightarrow u_{4}=frac{{u_{3}}^{2}}{u_{2}}$

• Khi q = 0 thì dãy có dạng u₁; 0;0…;0;… và S_n=u₁ 

• Khi q = 1 thì dãy có dạng u₁;u₁;u₁;…;u₁;… và S_n=nu₁.

• Khi u₁ = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0; 0; 0;…; 0;… và S_n=u₁.

Đăng ký ngay để được nhận trọn bộ kiến thức về cấp số nhân

Cấp số nhân là gì?

Một dãy số hữu hạn (hoặc vô hạn) mà tỷ số giữa hai số liên tiếp là một hằng số d thì dãy số đó là cấp số nhân (CSN).

Cơ sở lý thuyết

Dãy số (un) (hữu hạn hoặc vô hạn) là cấp số nhân ⇔un+1=q.un,∀n≥1,n∈N∗

• Công bội của cấp số nhân ký hiệu là q
• un và

Tính chất

•  u2k=uk–1.uk+1,∀k≥2
• Số hạng tổng quát: un=u1.qn–1,n≥2.
•  Tổng n số hạng đầu: Sn=u1+u2+…+un=u1(1–qn)1–q
• Khi q = 0 thì dãy là u1;0;0;…;0;… và Sn=u1
• Khi q = 1 thì dãy có đạng u1;u1;u1;…;u1;…và Sn=n.u1
• Khi u1=0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0;0;0;…;0;…và Sn=0

Phân dạng bài tập công thức cấp số nhân

Xem ngay: thể tích khối chóp để biết cách tính đúng

Dạng 1: Nhận biết CSN

Bước 1: Tính q=un+1un,∀n≥1

Bước 2: Kết luận:

• Nếu q là số không đổi thì dãy (un) là CSN.
• Nếu q thay đổi theo n thì dãy (un) không là CSN.

Dạng 2: Tìm công bội của cấp số nhân

Sử dụng các tính chất của CSN, biến đổi để tính công bội của CSN.

Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số nhân

Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát un=u1.qn–1,n≥2

Dạng 4: Tính tổng cấp số nhân của n số hạng đầu tiên trong dãy

Để tính tổng của CSN với n số hạng đầu tiên trong dãy số, ta sử dụng công thức:

Sn=u1+u2+…+un=u1(1–qn)1–q

Dạng 5: Tìm CSN

• Tìm các yếu tố xác định một CSN như: số hạng đầu u1, công bội q.
• Tìm công thức cho số hạng tổng quát un=u1.qn–1,n≥2.

Bài tập cấp số nhân

Bài 1. [Đề thi thử sở Quảng Bình] Cho CSN (un) với u1=–12; u7=–32. Tìm q?

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức số hạng tổng quát CSN ta có

un=u1qn–1⇒u7=u1.q6⇒q6=64⇒[q=2q=–2

Câu 2. [Đề thi thử Chuyên KHTN ] Cho CSN (un) vớiu1=–2; q = – 5. Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát un ?

Hướng dẫn giải

u2=u1.q=(–2).(–5)=10;u3=u2.q=10.(–5)=–50;u4=u3.q=–50.(–5)=250
Số hạng tổng quát un=u1.qn–1=(–2).(–5)n–1.

Bài 3. [Đề thi thử sở Thái Bình ] Cho CSN (un) với u1=–1; q=–110. Số 110103 là số hạng thứ mấy của (un) ?

Hướng dẫn giải

un=u1.qn–1⇒110103=–1.(–110)n–1⇒n–1=103⇒n=104

Trên đây là công thức cấp số nhân và các dạng bài tập đầy đủ. Hy vọng bài viết của chúng tôi đã cung cấp cho bạn nhiều thông tin. Chúc các bạn thành công với những công thức này.

1. Cấp số nhân là gì? Công bội là gì?

Cấp số nhân là một dãy số vô hạn hoặc hữu hạn thoả mãn điều kiện kể từ số hạng thứ hai được gọi là cấp số nhân. Mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng trước ngay nó nhân với một số hạng không đổi. Số hạng không đổi này được gọi là công bội của cấp số nhân.

Công thức truy hồi:

Nếu (Un) là cấp số nhân với q là công bội, ta có công thức:

Ví dụ: Dãy số: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024,….là một cấp số nhân phần tử đầu tiên là 1 với công bội q = 2. => Sự thay đổi của cấp số nhân tuỳ theo giá trị của công bội q.

Công bội q của cấp số nhân ( U1) được tính bằng công thức:

Ví dụ: Cho cấp số nhân (Un) có (U1) = 4 và (U2) = 8. Tính công bội q?

Trả lời: Công bội q = 8/4 = 2. ( áp dụng công thức tính công bội q )

Kết luận: q = 2.

Chú ý:

– Khi q = 0 thì cấp số nhân có dạng: u1, 0, 0,…

– Khi q = 1 thì cấp số nhân là dãy số không đổi có dạng: u1, u1, u1,…

– Khi q < 0 thì cấp số nhân là dãy số không tăng, không giảm.

– Khi q > 0 và q < 1 thì cấp số nhân là dãy số giảm.

– Khi q > 1 thì cấp số nhân là dãy số tăng.

– Khi u1 = 0, với mọi q thì cấp số nhân có dạng: 0, 0, 0, …

Ví dụ: Cho cấp số nhân ( Un) với u1 = 6, q = 8. Tính u2?

Trả lời: Ta có: u2 = q.u1 = 8.6 = 48 => u2 = 48.

Kết luận: ( u2) = 48.

2. Số hạng tổng quát của cấp số nhân:

Số hạng tổng quát (Un) được xác định bởi công thức sau: ( Cấp số nhân có số hạng đầu (u1) và công bội q ).

Với n ≥ 2

Ví dụ: Cho cấp số nhân (Un) có (u1) = 2, q = 5. Tính (u6)

Trả lời: u6 = u1.q^6-1 = 2.5^4 = 1250.

Kết luận: (u6) = 1250.

3. Tính chất của cấp số nhân:

Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó.

<msubsup><mi>u</mi><mi>k</mi><mn>2</mn></msubsup><mo>=</mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><msub><mi>u</mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mo>.</mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><msub><mi>u</mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></math>” id=”MathJax-Element-14-Frame” role=”presentation”>                                                                                                                                                                 

Ví dụ: Cho bốn số a, 10, 20, b theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tìm a và b?
Trả lời: Ta có: 10^2 = a.20 <=> 20 = a.20 => a = 1.

20^2 = 5.b <=> 40 = 5.b => b = 6.

Kết luận: a = 1 và b = 6.

1. Định nghĩa un là cấp số nhân un+1 = un.q, với n ε N*

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 – Xem ngay

1. Lý thuyết

a) Định nghĩa: 

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. 

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. 

Nếu (u_n) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: u_n = u_n-1 . q với n ∈ N^* 

Đặc biệt:

– Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u₁; 0; 0; … 0; …

– Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u₁; u₁; … u₁;…

– Khi u₁ = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0; 0; 0; … 0; … 

b) Số hạng tổng quát của cấp số nhân (u_n) được xác định bởi công thức: 

u_n = u₁ . q^{n – 1} với ∀n ∈ N^*, n ≥ 2

c) Tính chất

Ba số hạng u_{k – 1}, u_k, u_{k + 1} là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi u_k² = u_k-1.u_k+1 với k ≥ 2

d) Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân được xác định bởi công thức:

Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u₁; u₁; u₁; … u₁;.. khi đó S_n = n.u₁. 

2. Công thức

– Công thức truy hồi: u_n = u_n-1 . q với n ∈ N^*

– Công thức số hạng tổng quát: u_n = u₁ . q^{n – 1} với ∀n ∈ N, n ≥ 2

– Ba số hạng u_{k – 1}, u_k, u_{k + 1} là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi u_k² = u_k-1.u_k+1 với k ≥ 2

– Tổng n số hạng đầu tiên: 

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = 3, q = – 2. 

a) Tính số hạng thứ 25 của cấp số nhân.

b) Số 49152 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân.

c) Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

Lời giải

a) Số hạng thứ 25 của cấp số cộng: u₂₅ = u₁ . q^25-1 = 3.(– 2)²⁴ = 3.2²⁴.

b) Gọi số hạng thứ k là số 49152, ta có 

u_k = u₁.q^k-1 = 49152

⇔ 3.(-2)^k-1 = 49152

⇔ (-2)^k-1 = 16384 = (-2)¹⁴

⇔ k = 15

Vậy số 49152 là số hạng thứ 15 của cấp số nhân.

c) Tổng 100 số hạng đầu tiên: 

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn: 

a) Tìm số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân.

b) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

c) Tính tổng S = u₁ + u₃ + u₅ +u₇ +…+ u₂₀₁.

Lời giải

a) Gọi d là công sai của cấp số cộng, ta có: 

Vậy u₁ = 16 và q = 2.

b) Tổng 100 số hạng đầu tiên: 

c) Dãy số là (v_n): u₁; u₃; u₅; u₇; … u₂₀₁ là cấp số nhân với số hạng đầu tiên là u₁ và công bội 

Dãy (v_n) có  số hạng

4. Mọi người cũng hỏi

Cấp số nhân là gì và cách xác định công thức tổng của nó?

Cấp số nhân là một dãy số trong đó mỗi số sau đó đều bằng một hằng số gọi là công bội nhân với số trước đó để thu được số tiếp theo. Công thức tổng của cấp số nhân là S_n = a * (1 – r^n) / (1 – r), trong đó S_n là tổng n số đầu tiên của cấp số nhân, n là số lượng số trong dãy, a là số hạng đầu tiên và r là công bội.

Các tính chất đặc biệt của cấp số nhân là gì?

Cấp số nhân có các tính chất đặc biệt như tổng n số đầu tiên, tổng vô hạn và hạn chế của cấp số nhân. Khi giá trị của công bội nhân r nằm trong khoảng -1 đến 1, cấp số nhân hội tụ về một giá trị cố định khi số lượng số trong dãy tiến tới vô cùng.

Cách tính số hạng thứ n trong cấp số nhân?

Để tính số hạng thứ n trong cấp số nhân, ta sử dụng công thức a_n = a * r^(n-1), trong đó a_n là số hạng thứ n, a là số hạng đầu tiên, r là công bội và n là số thứ tự của số hạng cần tính.

Ứng dụng của cấp số nhân trong thực tế là gì?

Cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong thực tế như trong tài chính, kinh tế, khoa học máy tính, xử lý tín hiệu, và nhiều lĩnh vực khác. Ví dụ, trong tài chính, cấp số nhân được sử dụng để tính lãi suất lũy tiến; trong khoa học máy tính, nó được áp dụng trong các thuật toán tối ưu và mã hóa thông tin.