Đạo Hàm Của Arcsin X – Thông tin tuyển sinh đào tạo Đại học Cao đẳng

Đinh nghĩa cơ bản  nhất về đạo hàm

Đạo hàm là gì? Đó chính là tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại điểm Xο. Giá trị của đạo hàm thể hiện chiều  và độ lớn của biến thiên của hàm số.

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a,b) với Xο ∈ (a,b) thì giới hạn hữu hàn của tỉ số là ƒ(X) – ƒ(Xο) ⁄  X – Xο khi X → Xο được gọi là đạo hàm của hàm số tại Xο. Ký hiệu: f’(Xο).

Nếu đặt X – Xο = Δx và Δy = ƒ(Xο + Δx) – ƒ(Xο) ta có:

Khi đó Δx gọi là số gia của đối số tại Xο, Δy là số gia tương ứng của hàm số.

Quy tắc cơ bản của đạo hàm

Công thức tính đạo hàm của các hàm số cơ bản thường gặp

Công thức tính đạo hàm các hàm lượng giác

Hàm số y = sin x sẽ có đạo hàm tại mọi x ∈ R, (sin x)’ = cos x. Nếu y = sin u với u= u(x) thì ta có (sin x)’ = u’ . cos u.

Hàm số y = cos x sẽ có đạo hàm tại mọi x ∈ R, (cos x)’ = – sin x. Nếu y = cos u với u= u(x) thì ta có (cos x)’ = – u’ . sin u.

Hàm số  y= tan x có đạo hàm tại mọi x ≠ π / 2 + kπ ∈ R, (tan x)’ = (sin x / cos x)’  = cos²x + sin²x / cos²x = 1/ cos²x = sec²x. Nếu y= tan u với u = u(x) thì ta có (tan x)’ = u’ / cos²u.

Hàm số  y= cot x có đạo hàm tại mọi x ≠ kπ ∈ R, (cot x)’ = (cos x / sin x )’ = – + sin²x – cos²x  / sin²x = 1/ sin²x. Nếu y= cot u với u = u(x) thì ta có (cot x)’ = u’ / sin²u.

Công thức tính đạo hàm lượng giác ngược

Hàm lượng giác ngược của sin (x), cos (x), tan (x), cot (x) được viết theo 2 cách sau: sin‾ ¹(x), cos‾ ¹(x), tan ¹(x), cot‾ ¹(x) hoặc arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arccot(x).

Ta có đạo hàm lượng giác ngược như sau:

y = arcsin(x) có đạo hàm y’ = 1 / √(1 – x²)

y = arccos(x) có đạo hàm y’ = – 1 / √(1 – x²)

y = arctan(x) có đạo hàm y’ = 1 / (1 + x²)

y = arccot(x) có đạo hàm y’ = – 1 / (1 + x²)

y = arcsec(x) có đạo hàm y’ = 1 / IxI √( x² – 1)

y = arccsc(x) có đạo hàm y’ = – 1 / IxI √( x² – 1)

Công thức đạo hàm cấp cao

Đạo hàm cấp cao là gì? Chúng ta sẽ hiểu theo một cách đơn giản như sau:

Giả sử hàm số y= f(x) thì sẽ có đạm hàm là f’(x) khi đó:

– Đạo hàm của hàm số f’(x) được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số f(x), ký hiêu: f’’(x) hay y’’

– Đạo hàm của hàm số f’’(x) được gọi là đạo hàm cấp bacủa hàm số f(x), ký hiêu: f’’’(x) hay y’’’

– Tường tự, đạo hàm của đạo hàm cấp n-1 sẽ gọi là đạo hàm cấp n của hàm số f(x).

Bảng công thức đạo hàm cấp cao thường gặp

Như vậy là các em đã được bổ sung lại những kiến thức cơ bản đến nâng cao về công thức tính đạo hàm trong chương trình ôn thi đại học toán lớp 12  thông qua bảng công thức ở trên đây. Các bạn có thể xem thêm các dạng bài tập và kiến thức khác tại website timdiemthi.com

Đạo hàm của các hàm lượng giác và các hàm lượng giác ngược[sửa (Đạo Hàm Của Arcsin X) | sửa mã nguồn]

Chứng minh đạo hàm của hàm sin và cos[sửa | sửa mã nguồn]

Giới hạn của khi θ → 0[<span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="/1998/Math/MathML" alttext="{displaystyle {frac {sin theta }{theta }}}">A; <semantics>A; <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">A; <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">A; <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">A; <mfrac>A; <mrow>A; <mi>sin</mi>A; <mo>⁡<!– ⁡ –></mo>A; <mi>θ<!– θ –></mi>A; </mrow>A; <mi>θ<!– θ –></mi>A; </mfrac>A; </mrow>A; </mstyle>A; </mrow>A; <annotation encoding="application/x-tex">{displaystyle {frac {sin theta }{theta }}}</annotation>A; </semantics>A;</math></span><img src="/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cf4e00611e8a163756dcbb88ae31d305bc2694b" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:5.169ex; height:5.509ex;" alt="{displaystyle {frac {sin theta }{theta }}}"></span> khi θ → 0””>sửa | <span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="/1998/Math/MathML" alttext="{displaystyle {frac {sin theta }{theta }}}">A; <semantics>A; <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">A; <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">A; <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">A; <mfrac>A; <mrow>A; <mi>sin</mi>A; <mo>⁡<!– ⁡ –></mo>A; <mi>θ<!– θ –></mi>A; </mrow>A; <mi>θ<!– θ –></mi>A; </mfrac>A; </mrow>A; </mstyle>A; </mrow>A; <annotation encoding="application/x-tex">{displaystyle {frac {sin theta }{theta }}}</annotation>A; </semantics>A;</math></span><img src="/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cf4e00611e8a163756dcbb88ae31d305bc2694b" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:5.169ex; height:5.509ex;" alt="{displaystyle {frac {sin theta }{theta }}}"></span> khi θ → 0″>sửa mã nguồn]

Cho đường tròn tâm O bán kính r (hình bên). Gọi θ là góc tại O tạo bởi OA và OK. Do ta giả định θ tiến dần tới 0, có thể xem θ là một số dương rất nhỏ: 0 < θ ≪ 1.

Gọi: R₁ là diện tích tam giác OAK, R₂ là diện tích hình quạt OAK, R₃ là diện tích tam giác OAL. Dễ thấy:

Dùng công thức lượng giác, tính được diện tích tam giác OAK là

Diện tích hình quạt OAK là , còn diện tích tam giác OAL là

Từ đó ta có:

Vì r > 0 ta chia bất đẳng thức trên cho ½·r². Ngoài ra, vì 0 < θ ≪ 1 dẫn đến sin(θ) > 0, ta có thể chia bất đẳng thức cho sin(θ), từ đó:

frac{sintheta}{theta} > costheta ,. ” aria-hidden=”true” src=”/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfb34142b360b14c006f1bead98885d48a27da1e”>

Theo định lý kẹp ta có

Trong trường hợp θ là số âm rất nhỏ là tiến dần tới 0, tức là: –1 ≪ θ < 0, sử dụng tính chất lẻ của hàm sin ta được:

Và do đó:

Giới hạn của khi θ → 0[<span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="/1998/Math/MathML" alttext="{displaystyle {frac {cos theta -1}{theta }}}">A; <semantics>A; <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">A; <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">A; <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">A; <mfrac>A; <mrow>A; <mi>cos</mi>A; <mo>⁡<!– ⁡ –></mo>A; <mi>θ<!– θ –></mi>A; <mo>−<!– − –></mo>A; <mn>1</mn>A; </mrow>A; <mi>θ<!– θ –></mi>A; </mfrac>A; </mrow>A; </mstyle>A; </mrow>A; <annotation encoding="application/x-tex">{displaystyle {frac {cos theta -1}{theta }}}</annotation>A; </semantics>A;</math></span><img src="/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8111b568226e65e56b0574f13b7d20e77f5f053" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:9.428ex; height:5.509ex;" alt="{displaystyle {frac {cos theta -1}{theta }}}"></span> khi θ → 0””>sửa | <span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="/1998/Math/MathML" alttext="{displaystyle {frac {cos theta -1}{theta }}}">A; <semantics>A; <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">A; <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">A; <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">A; <mfrac>A; <mrow>A; <mi>cos</mi>A; <mo>⁡<!– ⁡ –></mo>A; <mi>θ<!– θ –></mi>A; <mo>−<!– − –></mo>A; <mn>1</mn>A; </mrow>A; <mi>θ<!– θ –></mi>A; </mfrac>A; </mrow>A; </mstyle>A; </mrow>A; <annotation encoding="application/x-tex">{displaystyle {frac {cos theta -1}{theta }}}</annotation>A; </semantics>A;</math></span><img src="/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8111b568226e65e56b0574f13b7d20e77f5f053" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:9.428ex; height:5.509ex;" alt="{displaystyle {frac {cos theta -1}{theta }}}"></span> khi θ → 0″>sửa mã nguồn]

Ta có

Vì sin²θ + cos²θ = 1 nên cos²θ – 1 = –sin²θ. Do đó

Đạo hàm của hàm sin[sửa | sửa mã nguồn]

Theo định nghĩa đạo hàm:

Dùng công thức biến đổi lượng giác sin(α+β) = sin(α)cos(β) + sin(β)cos(α) và hai giới hạn vừa chứng minh ở trên, ta được

Đạo hàm của hàm cos[sửa | sửa mã nguồn]

Theo định nghĩa:

Dùng công thức biến đổi lượng giác cos(α+β) = cos(α)cos(β) – sin(α)sin(β) và hai giới hạn vừa chứng minh ở trên, ta được

Đạo hàm là gì?

Đạo hàm là một khái niệm quan trọng trong toán học và tính toán. Nó được sử dụng để biểu diễn tốc độ thay đổi của một hàm số tại mỗi điểm. Đạo hàm của một hàm số cho biết giá trị thay đổi của hàm số theo biến số độc lập.

Đạo hàm của hàm số y=arcsinx, y=arccosx

Bài viết này sẽ giải thích cách tính đạo hàm của hai hàm số lượng giác ngược: y=arcsinx và y=arccosx. Trước khi bắt đầu, chúng ta cần nhắc lại định nghĩa của hai hàm số này.

Hàm số y=arcsinx

Hàm số y=arcsinx có tập xác định là D=[-1;1] và tập giá trị là T=[-pi/2;pi/2]. Để tính đạo hàm của hàm số này trên khoảng (-1;1), ta loại bỏ hai đầu mút.

Để tính đạo hàm của y=arcsinx trên khoảng (-1;1), ta sử dụng định nghĩa của hàm lượng giác ngược. Từ phương trình y=arcsinx, ta có: sin(y)=x. Áp dụng phép đạo hàm theo biến x cho cả hai vế của phương trình, ta được: cos(y) * y’=1.

Trên khoảng (-1;1), giá trị của y thuộc đoạn (-pi/2;pi/2), do đó cos(y) > 0. Khi đó, ta có cos(y)=sqrt{1-sin2(y)}=sqrt{1-x2}. Thay vào phương trình trên, ta có y’=dfrac{1}{sqrt{1-x2}}. Vậy, đạo hàm của y=arcsinx là: (arcsin x)’=frac{1}{sqrt{1-x2}}, forall x in (-1;1).

Hàm số y=arccosx

Tương tự như lời giải của bài toán 1, với lưu ý rằng hàm số y=arccosx có giá trị y thuộc đoạn (0;pi). Áp dụng phương pháp tương tự, ta có (arccos x)’=-frac{1}{sqrt{1-x2}}, forall x in (-1;1).

Hệ quả (nguyên hàm)

Từ kết quả ở bài toán 1, ta có công thức nguyên hàm sau đây: ∫frac{1}{sqrt{1-x2}} dx = arcsin x + C.

Cách tính đạo hàm của hàm số y=arcsinx, y=arccosx

Tính đạo hàm của hàm số y = arcsinx

Để tính đạo hàm của hàm số y = arcsinx, ta sử dụng quy tắc chuỗi đạo hàm. Đầu tiên, ta gán u = sinx và y = arcsinu. Khi đó, ta có u = sin(arcsinx) = x. Bây giờ, ta có thể tính đạo hàm của y theo u bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi đạo hàm:
dy/du = 1/sqrt(1 – u^2).

Tiếp theo, ta tính đạo hàm của u theo x:
du/dx = d/dx(sinx) = cosx.

Cuối cùng, ta áp dụng quy tắc chuỗi đạo hàm:
dy/dx = (dy/du) * (du/dx) = (1/sqrt(1 – u^2)) * cosx.

Do đó, ta có công thức tính đạo hàm của hàm số y = arcsinx:
dy/dx = (1/sqrt(1 – sin^2x)) * cosx.

Tính đạo hàm của hàm số y = arccosx

Tương tự như trường hợp của hàm số y = arcsinx, để tính đạo hàm của hàm số y = arccosx, ta cũng sử dụng quy tắc chuỗi đạo hàm. Gán u = cosx và y = arccosu. Khi đó, ta có u = cos(arccosx) = x.

Áp dụng quy tắc chuỗi đạo hàm, ta tính đạo hàm của y theo u:
dy/du = -1/sqrt(1 – u^2).

Tiếp theo, tính đạo hàm của u theo x:
du/dx = d/dx(cosx) = -sinx.

Cuối cùng, áp dụng quy tắc chuỗi đạo hàm:
dy/dx = (dy/du) * (du/dx) = (-1/sqrt(1 – u^2)) * (-sinx) = sinx/sqrt(1 – x^2).

Vậy, công thức tính đạo hàm của hàm số y = arccosx là:
dy/dx = sinx/sqrt(1 – x^2).

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu cách tính đạo hàm của hai hàm số y=arcsinx và y=arccosx.

Nguồn tham khảo: /wiki/%C4%90%E1%BA%A1o_h%C3%A0m

Hàm số y = arctan x là gì?

Để tìm hiểu về đạo hàm arctan x, đầu tiên ta cần hiểu về công thức hàm số gốc của nó là y = arctan x. Vậy hàm số y = arctan x là gì? Cùng tìm hiểu về định nghĩa, hình dáng đồ thị và các quy tắc cần nhớ của hàm số này ngay sau đây nhé!

Định nghĩa

Về định nghĩa, hàm số y = arctan x là hàm tiếp tuyến ngược của x khi x thuộc tập hợp số thực ( x=R). Với hàm tiếp tuyến của y bằng x có công thức là tan y = x thì khi đó arctan của x sẽ bằng hàm tiếp tuyến ngược của x với công thức y =  arctan x = tan ^(-1) . x

Lấy ví dụ: Cho y = arctan x với x bằng 1. Suy ra y = arctan 1 = tan ^(-1). 1 = π / 4 rad = 45 °

Hình dáng đồ thị

Đồ thị của hàm số y = arctan x hay còn gọi f (x) = arctan x có dạng đường cong tiếp tuyến đối xứng qua trục tọa độ. Hàm số nằm ở góc phần tư thứ nhất và thứ 3, cách đều với trục tung.

Quy tắc cần nhớ

Để vận dụng được hàm số y = arctan x trong giải toán, ta cần phải nắm rõ các quy tắc arctan để có thể vận dụng một cách linh hoạt nhất. Bảng dưới đây chúng tôi đã hệ thống lại các quy tắc cần nhớ của hàm số này.

Quy tắc Arctan

Hàm y = arctan x là gì?

Để tìm hiểu về Đạo hàm Arctan X, trước tiên chúng ta cần hiểu công thức nguyên hàm của nó là y = arctan x. Vậy hàm y = arctan x là gì? Hãy cùng tìm hiểu định nghĩa, dạng đồ thị và các quy tắc cần nhớ về hàm số này ngay sau đây nhé!

Định nghĩa

Theo định nghĩa, hàm y = arctan x là một tiếp tuyến nghịch đảo của x khi x thuộc tập hợp các số thực ( x=R). Nếu hàm tiếp tuyến của y bằng x với công thức tan y = x, thì arctan của x sẽ bằng hàm tiếp tuyến nghịch đảo của x với công thức y = arctan x = tan ^(-1) . x

Ví dụ: Cho y = arctan x trong đó x bằng 1. Vậy y = arctan 1 = tan ^(-1). 1 = / 4 rad = 45°

hình dạng đồ thị

Đồ thị của hàm số y = arctan x hay còn gọi là f(x) = arctan x có dạng một đường cong tiếp tuyến đối xứng qua trục tọa độ. Hàm số nằm trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba, cách đều trục tung.

Quy tắc cần nhớ

Để áp dụng được hàm số y = arctan x trong giải toán ta cần nắm được các quy tắc của hàm số arctan để có thể vận dụng một cách linh hoạt. Bảng dưới đây chúng tôi đã hệ thống hóa các quy tắc cần nhớ của hàm này.

Quy tắc Arctan