Đạo Hàm Sin Cos – Thông tin tuyển sinh đào tạo Đại học Cao đẳng

Đinh nghĩa cơ bản  nhất về đạo hàm

Đạo hàm là gì? Đó chính là tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại điểm Xο. Giá trị của đạo hàm thể hiện chiều  và độ lớn của biến thiên của hàm số.

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a,b) với Xο ∈ (a,b) thì giới hạn hữu hàn của tỉ số là ƒ(X) – ƒ(Xο) ⁄  X – Xο khi X → Xο được gọi là đạo hàm của hàm số tại Xο. Ký hiệu: f’(Xο).

Nếu đặt X – Xο = Δx và Δy = ƒ(Xο + Δx) – ƒ(Xο) ta có:

Khi đó Δx gọi là số gia của đối số tại Xο, Δy là số gia tương ứng của hàm số.

Quy tắc cơ bản của đạo hàm

Công thức tính đạo hàm của các hàm số cơ bản thường gặp

Công thức tính đạo hàm các hàm lượng giác

Hàm số y = sin x sẽ có đạo hàm tại mọi x ∈ R, (sin x)’ = cos x. Nếu y = sin u với u= u(x) thì ta có (sin x)’ = u’ . cos u.

Hàm số y = cos x sẽ có đạo hàm tại mọi x ∈ R, (cos x)’ = – sin x. Nếu y = cos u với u= u(x) thì ta có (cos x)’ = – u’ . sin u.

Hàm số  y= tan x có đạo hàm tại mọi x ≠ π / 2 + kπ ∈ R, (tan x)’ = (sin x / cos x)’  = cos²x + sin²x / cos²x = 1/ cos²x = sec²x. Nếu y= tan u với u = u(x) thì ta có (tan x)’ = u’ / cos²u.

Hàm số  y= cot x có đạo hàm tại mọi x ≠ kπ ∈ R, (cot x)’ = (cos x / sin x )’ = – + sin²x – cos²x  / sin²x = 1/ sin²x. Nếu y= cot u với u = u(x) thì ta có (cot x)’ = u’ / sin²u.

Công thức tính đạo hàm lượng giác ngược

Hàm lượng giác ngược của sin (x), cos (x), tan (x), cot (x) được viết theo 2 cách sau: sin‾ ¹(x), cos‾ ¹(x), tan ¹(x), cot‾ ¹(x) hoặc arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arccot(x).

Ta có đạo hàm lượng giác ngược như sau:

y = arcsin(x) có đạo hàm y’ = 1 / √(1 – x²)

y = arccos(x) có đạo hàm y’ = – 1 / √(1 – x²)

y = arctan(x) có đạo hàm y’ = 1 / (1 + x²)

y = arccot(x) có đạo hàm y’ = – 1 / (1 + x²)

y = arcsec(x) có đạo hàm y’ = 1 / IxI √( x² – 1)

y = arccsc(x) có đạo hàm y’ = – 1 / IxI √( x² – 1)

Công thức đạo hàm cấp cao

Đạo hàm cấp cao là gì? Chúng ta sẽ hiểu theo một cách đơn giản như sau:

Giả sử hàm số y= f(x) thì sẽ có đạm hàm là f’(x) khi đó:

– Đạo hàm của hàm số f’(x) được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số f(x), ký hiêu: f’’(x) hay y’’

– Đạo hàm của hàm số f’’(x) được gọi là đạo hàm cấp bacủa hàm số f(x), ký hiêu: f’’’(x) hay y’’’

– Tường tự, đạo hàm của đạo hàm cấp n-1 sẽ gọi là đạo hàm cấp n của hàm số f(x).

Bảng công thức đạo hàm cấp cao thường gặp

Như vậy là các em đã được bổ sung lại những kiến thức cơ bản đến nâng cao về công thức tính đạo hàm trong chương trình ôn thi đại học toán lớp 12  thông qua bảng công thức ở trên đây. Các bạn có thể xem thêm các dạng bài tập và kiến thức khác tại website timdiemthi.com

Bảng công thức đạo hàm đầy đủ (Đạo Hàm Sin Cos)

Click vào để lưu hình về để có thể xem rõ hơn

Công thức đạo hàm lượng giác

Trung tam gia su Day kem TTV Chúc các bạn học tốt

BÀI VIẾT LÊN QUAN NHẤT CỦA CHÚNG TÔI

CÔNG THỨC TÍNH NGUYÊN HÀM

công thức lượng giác

công thức tính diện tích

công thức hóa học lớp 8

Công thức tính diện tích hình tròn

Công thức đạo hàm lượng giác

Đạo hàm lượng giác là phương pháp toán học với mục đích đi tìm tốc độ biến thiên của một hàm số lượng giác theo sự biến thiên của biến số. Sinx, cox, tanx và cotx là các hàm số lượng giác thường gặp.

Từ đạo hàm của những 2 hàm số cơ bản sinx và cosx, ta có thể tìm được đạo hàm của các hàm số còn lại do chúng đều có mối liên hệ nhất định.

Giới hạn của sinx/x

Giới hạn của sinx/x có giá trị bằng 1.

limlimits_{xto 0}frac{sinx}{x}=1

>>> Xem thêm: Tổng Hợp Các Kí Hiệu Trong Toán Học Phổ Biến Đầy Đủ Và Chi Tiết

Đạo hàm của y = sinx

Công thức tính đạo hàm của hàm số y = sinx là:

Đạo hàm của y = cosx

Công thức tính đạo hàm của hàm số y = cosx là:

Đạo hàm của y = tanx

Công thức tính đạo hàm của hàm số y = tanx là:

(tanx)'=left(frac{sinx}{cosx}right)'=frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}=frac{1}{cos^2x}

Đạo hàm của y = cotx

Công thức tính đạo hàm của hàm số y = cotx là:

(cotx)'=left(frac{cosx}{sinx}right)'=frac{-sin^2x-cos^2x}{sin^2x}=-(1+cot^2x)

Bảng tổng hợp công thức đạo hàm lượng giác cơ bản và nâng cao

Ngoài những công thức tính đạo hàm của các hàm số lượng cơ bản nêu trên, sau đây là một số công thức tính đạo hàm lượng giác mà các em cần ghi nhớ:

begin{aligned}
&(arcsinx)'=frac{1}{sqrt{1-x^2}}\
&(arccos)'=frac{-1}{sqrt{1-x^2}}\
&(acrtan)'=frac{1}{x^2+1}
end{aligned}

>>> Xem thêm: Dạng Bài Tập Và Cách Giải Bất Phương Trình Toán Lớp 10

Bài tập đạo hàm lượng giác

Với bảng công thức được tổng hợp, các em có thể vận dụng để giải các dạng bài tập khác nhau một cách dễ dàng hơn. Sau đây là một số bài tập đạo hàm lượng giác minh họa mà các em có thể tham khảo và luyện tập.

Bài tập 1

Tính đạo hàm của hàm số sau:

y=sin2x.cos^4x-cotfrac{1}{x^2}-sin2x.sin^4x\

Bài giải:

begin{aligned}
y&=sin2x.cos^4x-cotfrac{1}{x^2}-sin2x.sin^4x\
&=sin2x(cos^4x-sin^4x)-cotfrac{1}{x^2}\
&text{Do đó:}\
y'&=frac{4}{2}cos4x+frac{1}{sin^2frac{1}{x^2}}.left(frac{1}{x^2}right)'=2cos4x-frac{2}{x^3sin^2frac{1}{x^2}}
end{aligned}

Bài tập 2

Tính đạo hàm của hàm số sau:

Bài giải:

begin{aligned}
y'&=frac{2}{cos^2(2x+1)}-(cos^2x-2x.sinx.cosx)\
&=frac{2}{cos^2(2x+1)}-cos^2x+xsin2x
end{aligned}

Bài tập 3

Tìm biểu thức đạo hàm của hàm số sau:

Bài giải:

f'(t)=frac{left(1+frac{1}{cos^2t}right)(t-1)-t-tant}{(t-1)^2}=frac{(tan^2t+2)(t-1)-t-tant}{(t-1)^2}

Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education

Trên đây là tổng hợp công thức đạo hàm lượng giác và cách giải bài tập đạo hàm lượng giác có đáp án chi tiết. Hy vọng những kiến thức bổ ích này có thể giúp các em đạt được điểm cao trong bài kiểm tra sắp tới. Các em hãy thường xuyên theo dõi website Marathon Education để học trực tuyến nhiều kiến thức Toán – Lý – Hóa – Văn bổ ích khác. Chúc các em thành công!

Đạo hàm của các hàm lượng giác và các hàm lượng giác ngược[sửa | sửa mã nguồn]

Chứng minh đạo hàm của hàm sin và cos[sửa | sửa mã nguồn]

Giới hạn của khi θ → 0[<span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="/1998/Math/MathML" alttext="{displaystyle {frac {sin theta }{theta }}}">A; <semantics>A; <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">A; <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">A; <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">A; <mfrac>A; <mrow>A; <mi>sin</mi>A; <mo>⁡<!– ⁡ –></mo>A; <mi>θ<!– θ –></mi>A; </mrow>A; <mi>θ<!– θ –></mi>A; </mfrac>A; </mrow>A; </mstyle>A; </mrow>A; <annotation encoding="application/x-tex">{displaystyle {frac {sin theta }{theta }}}</annotation>A; </semantics>A;</math></span><img src="/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cf4e00611e8a163756dcbb88ae31d305bc2694b" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:5.169ex; height:5.509ex;" alt="{displaystyle {frac {sin theta }{theta }}}"></span> khi θ → 0””>sửa | <span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="/1998/Math/MathML" alttext="{displaystyle {frac {sin theta }{theta }}}">A; <semantics>A; <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">A; <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">A; <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">A; <mfrac>A; <mrow>A; <mi>sin</mi>A; <mo>⁡<!– ⁡ –></mo>A; <mi>θ<!– θ –></mi>A; </mrow>A; <mi>θ<!– θ –></mi>A; </mfrac>A; </mrow>A; </mstyle>A; </mrow>A; <annotation encoding="application/x-tex">{displaystyle {frac {sin theta }{theta }}}</annotation>A; </semantics>A;</math></span><img src="/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cf4e00611e8a163756dcbb88ae31d305bc2694b" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:5.169ex; height:5.509ex;" alt="{displaystyle {frac {sin theta }{theta }}}"></span> khi θ → 0″>sửa mã nguồn]

Cho đường tròn tâm O bán kính r (hình bên). Gọi θ là góc tại O tạo bởi OA và OK. Do ta giả định θ tiến dần tới 0, có thể xem θ là một số dương rất nhỏ: 0 < θ ≪ 1.

Gọi: R₁ là diện tích tam giác OAK, R₂ là diện tích hình quạt OAK, R₃ là diện tích tam giác OAL. Dễ thấy:

Dùng công thức lượng giác, tính được diện tích tam giác OAK là

Diện tích hình quạt OAK là , còn diện tích tam giác OAL là

Từ đó ta có:

Vì r > 0 ta chia bất đẳng thức trên cho ½·r². Ngoài ra, vì 0 < θ ≪ 1 dẫn đến sin(θ) > 0, ta có thể chia bất đẳng thức cho sin(θ), từ đó:

frac{sintheta}{theta} > costheta ,. ” aria-hidden=”true” src=”/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfb34142b360b14c006f1bead98885d48a27da1e”>

Theo định lý kẹp ta có

Trong trường hợp θ là số âm rất nhỏ là tiến dần tới 0, tức là: –1 ≪ θ < 0, sử dụng tính chất lẻ của hàm sin ta được:

Và do đó:

Giới hạn của khi θ → 0[<span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="/1998/Math/MathML" alttext="{displaystyle {frac {cos theta -1}{theta }}}">A; <semantics>A; <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">A; <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">A; <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">A; <mfrac>A; <mrow>A; <mi>cos</mi>A; <mo>⁡<!– ⁡ –></mo>A; <mi>θ<!– θ –></mi>A; <mo>−<!– − –></mo>A; <mn>1</mn>A; </mrow>A; <mi>θ<!– θ –></mi>A; </mfrac>A; </mrow>A; </mstyle>A; </mrow>A; <annotation encoding="application/x-tex">{displaystyle {frac {cos theta -1}{theta }}}</annotation>A; </semantics>A;</math></span><img src="/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8111b568226e65e56b0574f13b7d20e77f5f053" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:9.428ex; height:5.509ex;" alt="{displaystyle {frac {cos theta -1}{theta }}}"></span> khi θ → 0””>sửa | <span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="/1998/Math/MathML" alttext="{displaystyle {frac {cos theta -1}{theta }}}">A; <semantics>A; <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">A; <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">A; <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">A; <mfrac>A; <mrow>A; <mi>cos</mi>A; <mo>⁡<!– ⁡ –></mo>A; <mi>θ<!– θ –></mi>A; <mo>−<!– − –></mo>A; <mn>1</mn>A; </mrow>A; <mi>θ<!– θ –></mi>A; </mfrac>A; </mrow>A; </mstyle>A; </mrow>A; <annotation encoding="application/x-tex">{displaystyle {frac {cos theta -1}{theta }}}</annotation>A; </semantics>A;</math></span><img src="/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8111b568226e65e56b0574f13b7d20e77f5f053" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:9.428ex; height:5.509ex;" alt="{displaystyle {frac {cos theta -1}{theta }}}"></span> khi θ → 0″>sửa mã nguồn]

Ta có

Vì sin²θ + cos²θ = 1 nên cos²θ – 1 = –sin²θ. Do đó

Đạo hàm của hàm sin[sửa | sửa mã nguồn]

Theo định nghĩa đạo hàm:

Dùng công thức biến đổi lượng giác sin(α+β) = sin(α)cos(β) + sin(β)cos(α) và hai giới hạn vừa chứng minh ở trên, ta được

Đạo hàm của hàm cos[sửa | sửa mã nguồn]

Theo định nghĩa:

Dùng công thức biến đổi lượng giác cos(α+β) = cos(α)cos(β) – sin(α)sin(β) và hai giới hạn vừa chứng minh ở trên, ta được

Mục tiêu bài học : Đạo hàm của hàm số lượng giác

Những kiến thức sẽ có trong bài như sau :

• Các đạo hàm của hàm lượng giác
• Những lưu ý khi đạo hàm lượng giác
• Hoàn thiện toàn bộ bài tập cơ bản trong SGK

Kiến thức cơ bản của bài học : Đạo hàm của hàm số lượng giác

Sau đây là toàn bộ tóm tắt phần lý thuyết của bài học này . Cùng chú ý nhé các bạn .

1. Giới hạn của 

Định lý 1

2. Đạo hàm của hàm số y = sinx

Định lý 2

Hàm số y = sin x có đạo hàm tại mọi x ∈ R và (sin x)’ = cosx.

Nếu y = sin u và u = u(x) thì (sin u)’ = u’.cos u.

3. Đạo hàm của hàm số y = cos x

Định lý 3

Hàm số y = cos x có đạo hàm tại mọi x ∈ R và (cos x)’ = –sin x .

Nếu y = cos u và u = u(x) thì (cos u)’ = –u’.sin u

4. Đạo hàm của hàm số y = tan x

Định lý 4

Hàm số y = tan x có đạo hàm tại mọi x ≠ π/2 + kπ và 

Nếu y = tan u và u = u(x) thì 

5. Đạo hàm của hàm số y = cot x

Định lý 5

Hàm số y = cot x có đạo hàm tại mọi x ≠ kπ và 

Nếu y = cot u và u = u(x) thì 

Hướng dẫn giải bài tập toán SGK lớp 11 bài học : Đạo hàm của hàm số lượng giác

Chắc hẳn các bạn còn đang rất hoang mang với kiến thức mới này  .Vì thế cùng với Itoan đi giải một số bài tập sau nhé !

Bài 1 :

Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

Lời giải:

Bài 2 :

Chúng ta có đề bài như sau : Giải các bất phương trình sau :

Lời giải:

Bài 3 :

Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

Lời giải:

Bài 4 :

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

Lời giải:

a. y’ = [(9 – 2x)(2x³ – 9x² + 1)]’

= (9 – 2x)’ (2x³ – 9x² + 1) + (9 – 2x)(2x³ – 9x² + 1)’

= -2.(2x³ – 9x² + 1) + (9 – 2x)(6x² – 18x)

= -4x³ + 18x² – 2 + 54x² – 12x³ – 162x + 36x²

= -16x³ + 108x² – 162x – 2.

Bài 5 :

Tính

Lời giải:

loigiaihay.com › Lớp 11 › SGK Toán lớp 11, timdiemthi.com › chia-se-kien-thuc › cong-thuc-tinh-dao-ham, giasuttv.net › bang-day-du-cac-cong-thuc-dao-ham-va-meo-hoc-nhanh, blog.marathon.edu.vn › Nâng cao kiến thức, www.mathvn.com › 2013/11 › bang-ao-ham-cua-cac-ham-so-co-ban, vietjack.me › Lớp 11 – Chương trình mới › Toán 11, vi.wikipedia.org › wiki › Đạo_hàm_của_các_hàm_lượng_giác, toppy.vn › Home › Góc học tập › Học tốt môn Toán, suretest.vn › cung-co › bai-3-dao-ham-của-ham-so-luong-giac-7680, đạo hàm sin^2x, Công thức đạo hàm, Bài tập đạo hàm sin cos, Tính đạo hàm, Bảng đạo hàm, Đạo hàm, Công thức đạo hàm lớp 11, Đạo hàm sinx