Cao đẳng Đại học Đào tạo liên thông Thông tin tuyển sinh

Đạt Cực Tiểu Là Gì – Thông tin tuyển sinh đào tạo Đại học Cao đẳng

Đạt Cực Tiểu Là Gì đang là thông tin được nhiều người quan tâm tìm hiểu để lựa chọn theo học sau nhiều đợt giãn cách kéo dài do dịch. Website BzHome sẽ giới thiệu cho bạn những thông tin mới nhất chính xác nhất về Đạt Cực Tiểu Là Gì trong bài viết này nhé!

Nội dung chính

Video: Vay tiêu dùng: Làm sao cho an toàn?

Bạn đang xem video Vay tiêu dùng: Làm sao cho an toàn? mới nhất trong danh sách Thông tin tuyển sinh được cập nhật từ kênh FBNC Vietnam từ ngày 2013-10-06 với mô tả như dưới đây.

Cùng với nhiều điều khoản dễ dàng và nhanh chóng hơn khi cấp những khoản vay nhỏ, nhiều người đã tìm đến dịch vụ cho vay tiêu dùng thông qua các trung tâm hay cửa hàng mua sắm – mà đằng sau đó vẫn là ngân hàng hoặc các công ty tài chính. Tuy nhiên, việc vay vốn sao cho an toàn là điều mà không phải ai cũng biết kỹ trước khi đi vay.

Một số thông tin dưới đây về Đạt Cực Tiểu Là Gì:

Cưc đại và cực tiểu là gì? Cách xác định điểm cực trị của hàm số

Định nghĩa điểm cực đại cực tiểu

Cho hàm số $y=fleft( x right)$ xác định và liên tục trên khoảng $left( a;b right)$ (có thể $a$ là $-infty $; $b$ là $+infty $) và điểm ${{x}_{0}}in left( a;b right)$

a) Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho $fleft( x right)0$ sao cho $fleft( x right)>fleft( {{x}_{0}} right)$ với mọi $xin left( {{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h right)$ và $xne {{x}_{0}}$ thì ta nói hàm số $fleft( x right)$ đạt cực tiểu tại ${{x}_{0}}$.

Chú ý về điểm cực trị

– Nếu hàm số $fleft( x right)$đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm ${{x}_{0}}$ thì ${{x}_{0}}$được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; $fleft( {{x}_{0}} right)$ được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, ký hiệu là ${{f}_{CD}}left( {{f}_{CT}} right)$, còn điểm $Mleft( {{x}_{0}};fleft( {{x}_{0}} right) right)$ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

– Các điểm cực đại cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.

– Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số $y=fleft( x right)$ có đạo hàm trên khoảng $left( a;b right)$ và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại ${{x}_{0}}$ thì $f’left( {{x}_{0}} right)=0.$

Định lý 1: Giả sử hàm số $y=fleft( x right)$liên tục trên khoảng $K=left( {{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h right)$ và có đạo hàm trên $K$ hoặc trên $Kbackslash left{ {{x}_{0}} right},$ với $h>0$.

– Nếu $f’left( {{x}_{0}} right)>0$ trên khoảng $left( {{x}_{0}}-h;{{x}_{0}} right)$và $f’left( {{x}_{0}} right)<0$ trên khoảng $left( {{x}_{0}};{{x}_{0}}+h right)$ thì ${{x}_{0}}$ là điểm cực đại của hàm số $fleft( x right).$

– Nếu $f’left( {{x}_{0}} right)0$ trên khoảng $left( {{x}_{0}};{{x}_{0}}+h right)$ thì ${{x}_{0}}$ là điểm cực tiểu của hàm số $fleft( x right).$

Nhận xét: Xét hàm số $y=fleft( x right)$ liên tục và xác định trên $left( a;b right)$ và ${{x}_{0}}in left( a;b right).$

– Nếu $f’left( x right)$ đổi dấu khi qua điểm ${{x}_{0}}$ thì ${{x}_{0}}$ là điểm cực trị của hàm số.

– Nếu $f’left( x right)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm ${{x}_{0}}$ thì ${{x}_{0}}$ là điểm cực đại của hàm số.

– Nếu $f’left( x right)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm ${{x}_{0}}$ thì ${{x}_{0}}$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Chú ý: Hàm số $y=sqrt{{{x}^{2}}}=left| x right|$ có đạo hàm là $y’=frac{2x}{2sqrt{{{x}^{2}}}}$ không có đạo hàm tại điểm $x=0$ tuy nhiên $y’$ vẫn đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm $x=0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=0$.

Định lý 2: Giả sử hàm số có đạo hàm cấp hai trong khoảng với . Khi đó:

– Nếu $left{ begin{matrix} f’left( {{x}_{0}} right)=0 \ f”left( {{x}_{0}} right)>0 \end{matrix} right.Rightarrow {{x}_{0}}$ là điểm cực tiểu.

– Nếu $left{ begin{matrix} f’left( {{x}_{0}} right)=0 \ f”left( {{x}_{0}} right)<0 \end{matrix} right.Rightarrow {{x}_{0}}$ là điểm cực đại.

Chú ý: Nếu $f’left( {{x}_{0}} right)=0$ và $f”left( {{x}_{0}} right)=0$ thì chưa thể khẳng định được ${{x}_{0}}$ là điểm cực đại hay điểm cực tiểu hay cực trị của hàm số.

Bài tập: Hàm số $y={{x}^{3}}$ có $left{ begin{matrix} f’left( 0 right)=0 \ f”left( 0 right)=0 \end{matrix} right.$ tuy nhiên hàm số này không đạt cực trị tại điểm $x=0$.

Hàm số $y={{x}^{4}}$ có $left{ begin{matrix} f’left( 0 right)=0 \ f”left( 0 right)=0 \end{matrix} right.$ tuy nhiên hàm số này đạt cực tiểu tại điểm .

Do vậy ta chú ý định lý 2 chỉ đúng theo một chiều (không có chiều ngược lại).

4. Quy tắc tìm cực trị của hàm số

Quy tắc I:

+) Bước 1: Tìm tập xác định.

+) Bước 2: Tính y’ = f’(x). Tìm x khi f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.

+) Bước 3: Tính các giới hạn cần thiết.

+) Bước 4: Lập bảng biến thiên.

+) Bước 5: Kết luận các điểm cực trị.

Quy tắc II

+) Bước 1: Tìm tập xác định.

+) Bước 2: Tính y’ = f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 để tìm các nghiệm x₁, x₂,… (nếu có) của nó.

+) Bước 3: Tính f’’(x) và suy ra f’’(x₁), f’’(x₂),…

+) Bước 4: Dựa vào dấu f’’(x₁), f’’(x₂),… để kết luận.

5. Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R , có đạo hàm f′ = x(x−1)²(x+1)³. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Bài giải:

Ta có bảng biến thiên:

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có hai điểm cực trị là x = -1 và x = 0.

Bài tập 2: Giá trị cực đại của hàm số y = x³ – 3x + 1.

Bài giải:

Tập xác định : D=R.

Ta có: y′ = 3x²− 3.

y′ = 0 ⇔ 3x²− 3 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x =-1.

x = 1 ⇒ y = -1.

x = -1 ⇒ y = 3.

Ta có các giới hạn : limx→−∞ = −∞; limx →+∞ = +∞.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị cực đại của hàm số là y_CD = 3.

Cực trị của hàm số là gì? Các dạng bài tập vận dụng thường gặp

Cưc đại và cực tiểu là gì? Cách xác định điểm cực trị của hàm số

Định nghĩa điểm cực đại cực tiểu

Cho hàm số $y=fleft( x right)$ xác định và liên tục trên khoảng $left( a;b right)$ (có thể $a$ là $-infty $; $b$ là $+infty $) và điểm ${{x}_{0}}in left( a;b right)$

a) Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho $fleft( x right)<fleft( {{x}_{0}} right)$ với mọi $xin left( {{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h right)$ và $xne {{x}_{0}}$ thì ta nói hàm số $fleft( x right)$ đạt cực đại tại ${{x}_{0}}$.

b) Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho $fleft( x right)>fleft( {{x}_{0}} right)$ với mọi $xin left( {{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h right)$ và $xne {{x}_{0}}$ thì ta nói hàm số $fleft( x right)$ đạt cực tiểu tại ${{x}_{0}}$.

Chú ý về điểm cực trị

– Các điểm cực đại cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.

Định lý 1: Giả sử hàm số $y=fleft( x right)$liên tục trên khoảng $K=left( {{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h right)$ và có đạo hàm trên $K$ hoặc trên $Kbackslash left{ {{x}_{0}} right},$ với $h>0$.

– Nếu $f’left( {{x}_{0}} right)<0$ trên khoảng $left( {{x}_{0}}-h;{{x}_{0}} right)$và $f’left( {{x}_{0}} right)>0$ trên khoảng $left( {{x}_{0}};{{x}_{0}}+h right)$ thì ${{x}_{0}}$ là điểm cực tiểu của hàm số $fleft( x right).$

Nhận xét: Xét hàm số $y=fleft( x right)$ liên tục và xác định trên $left( a;b right)$ và ${{x}_{0}}in left( a;b right).$

– Nếu $f’left( x right)$ đổi dấu khi qua điểm ${{x}_{0}}$ thì ${{x}_{0}}$ là điểm cực trị của hàm số.

– Nếu $f’left( x right)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm ${{x}_{0}}$ thì ${{x}_{0}}$ là điểm cực đại của hàm số.

– Nếu $f’left( x right)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm ${{x}_{0}}$ thì ${{x}_{0}}$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Định lý 2: Giả sử hàm số có đạo hàm cấp hai trong khoảng với . Khi đó:

– Nếu $left{ begin{matrix} f’left( {{x}_{0}} right)=0 \ f”left( {{x}_{0}} right)>0 \end{matrix} right.Rightarrow {{x}_{0}}$ là điểm cực tiểu.

– Nếu $left{ begin{matrix} f’left( {{x}_{0}} right)=0 \ f”left( {{x}_{0}} right)<0 \end{matrix} right.Rightarrow {{x}_{0}}$ là điểm cực đại.

Hàm số $y={{x}^{4}}$ có $left{ begin{matrix} f’left( 0 right)=0 \ f”left( 0 right)=0 \end{matrix} right.$ tuy nhiên hàm số này đạt cực tiểu tại điểm .

Do vậy ta chú ý định lý 2 chỉ đúng theo một chiều (không có chiều ngược lại).

1. Định nghĩa giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số

Hàm số f (x) xác định trên D ⊆ R

Điểm x_o ∈ D được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b) ⊂ D sao cho x_o ∈ (a;b) và f(x_o) > f(x), ∀x ∈ (a,b)∖{xo}.
Điểm x₁ ∈ D được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b) ⊂ D sao cho x₁ ∈ (a;b) và f(x₁) < f(x), ∀x ∈ (a,b)∖{xo}.

Giá trị cực đại và cực tiểu được gọi chung là cực trị.

Nếu x_o là một điểm cực trị của hàm số f(x) thì người ta nói rằng hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm x_o.

2. Điều kiện để hàm số đạt giá trị cực đại hoặc cực tiểu

Để xác định được cực đại và cực tiểu, cần nắm các định lí sau đây:

Định lý 1: (Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị)

Nếu hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm x_o và nếu hàm số có đạo hàm tại x_o, thì f’(x_o) = 0

Tuy nhiên,

- Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm, chẳng hạn với hàm y = |x|, đại cực trị tại x_o= 0 nhưng không có đạo hàm tại đó.
- Đạo hàm f’(x_o) = 0 nhưng hàm số f(x) có thể không đạt cực trị tại điểm x_o
- Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.

Định lí 2: (Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị)

Hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm x_o và có đạo hàm trên các khoảng (a;x_o) và (x_o;b) thì ta có:

Nếu f′(x_o) < 0, ∀x ∈ (a,x_o) và f′(x_o) > 0, ∀x ∈ (x_o;b) thì hàm số đạt cực tiểu tại x_o. Nói cách khác, nếu đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x_o thì hàm số đạt cực tiểu tại x_o.

Ta nói, đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là M(x_o,y_CT)

Nếu f′(x_o) > 0, ∀x ∈ (a,x_o) và f′(x_o) < 0, ∀x∈(x_o;b) thì f(x) đạt cực đại tại x_o.Nói cách khác, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x_o thì hàm số đạt cực đại tại x_o.

Ta nói, đồ thị hàm số có điểm cực đại là M(x_o;y_CD)

Chú ý: Không cần xét hàm số f(x) có hay không đạo hàm tại x_o

Ví dụ: Hàm số :

Nên hàm số đạt cực tiểu tại x_o = 0.

Hàm số f(x) có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa điểm x_o, f’(x_o) = 0 và f(x) có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x_o.

- Nếu f′(xo) = 0 và f′′(xo) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu tại x_o.
- Nếu f′(xo) = 0 và f′′(xo) < 0 thì f(x) đạt cực đại tại x_o.

Định nghĩa cực đại và cực tiểu của hàm số

Hàm số f (x) xác định trên D ⊆ R

Điểm xo ∈ D được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b) ⊂ D sao cho xo ∈ (a;b) và f(xo) > f(x), ∀x ∈ (a,b)∖{xo}.
Điểm x1 ∈ D được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b) ⊂ D sao cho x1 ∈ (a;b) và f(x1) < f(x), ∀x ∈ (a,b)∖{xo}.

Giá trị cực đại và cực tiểu được gọi chung là cực trị.

Nếu xo là một điểm cực trị của hàm số f(x) thì người ta nói rằng hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm xo.

Điều kiện để hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu

Để xác định được cực đại và cực tiểu, cần nắm các định lí sau đây:

Định lý 1: (Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị)

Nếu hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm xo và nếu hàm số có đạo hàm tại xo, thì f’(xo) = 0

Tuy nhiên,

Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm, chẳng hạn với hàm y = |x|, đại cực trị tại xo = 0 nhưng không có đạo hàm tại đó.
Đạo hàm f’(xo) = 0 nhưng hàm số f(x) có thể không đạt cực trị tại điểm xo
Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.

Định lí 2: (Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị)

Hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm xo và có đạo hàm trên các khoảng (a;xo) và (xo;b) thì ta có:

Nếu f′(xo) < 0, ∀x ∈ (a,xo) và f′(xo) > 0, ∀x ∈ (xo;b) thì hàm số đạt cực tiểu tại xo. Nói cách khác, nếu đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm xo thì hàm số đạt cực tiểu tại xo.

Ta nói, đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là M(xo,yCT)

Nếu f′(xo) > 0, ∀x ∈ (a,xo) và f′(xo) < 0, ∀x∈(xo;b) thì f(x) đạt cực đại tại xo. Nói cách khác, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm xo thì hàm số đạt cực đại tại xo.

Ta nói, đồ thị hàm số có điểm cực đại là M(xo;yCD)

Chú ý: Không cần xét hàm số f(x) có hay không đạo hàm tại xo

Ví dụ: Hàm số :

Nên hàm số đạt cực tiểu tại xo = 0.

Hàm số f(x) có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa điểm xo, f’(xo) = 0 và f(x) có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm xo.

Nếu f′(xo) = 0 và f′′(xo) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu tại xo.
Nếu f′(xo) = 0 và f′′(xo) < 0 thì f(x) đạt cực đại tại xo.

1. Định nghĩa cực đại, cực tiểu của hàm số

Gồm có các khái niệm: điểm cực đại của hàm số, điểm cực tiểu của hàm số, giá trị cực đại của hàm số, giá trị cực tiểu của hàm số, điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Lưu ý phân biệt: “điểm cực đại của hàm số” và “điểm cực đại của đồ thị hàm số“.

2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực đại, cực tiểu

Định lí 1

Định lí 2

4. Quy tắc tìm cực đại, cực tiểu của hàm số

Quy tắc 1

Từ Định lí 1 ta có quy tắc tìm cực trị như sau:

Quy tắc 2

Từ Định lí 2 ta có quy tắc tìm cực trị của hàm số:

Bài viết cực trị hàm số và các quy tắc tìm cực trị được đăng tại mathvn. Cảm ơn đã đọc.

Lý thuyết cực trị của hàm số

Cực trị của hàm số là điểm có giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất so với xung quanh mà hàm số có thể đạt được. Trong hình học, nó biểu diễn khoảng cách lớn nhất hoặc nhỏ nhất từ điểm này sang điểm kia. Đây chính là khái niệm cơ bản về cực trị của hàm số.

Định nghĩa

Giả sử hàm số f xác định trên K (K ⊂ ℝ) và x0 ∈ K.

x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a;b) ⊂ K chứa điểm x0 sao cho f(x) < f(x0), ∀ x ∈ (a;b) {x0}. Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f.
x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a;b) ⊂ K chứa điểm x0 sao cho f(x) > f(x0), ∀ x ∈ (a;b) {x0}. Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.

Một số lưu ý chung:

Điểm cực đại (cực tiểu) x0 được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (cực tiểu) f(x0) của hàm số được gọi chung là cực trị. Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp K.
Nói chung, giá trị cực đại (cực tiểu) f(x0) không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập K; f(x0) chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng (a;b) chứa x0.
Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm (x0; f(x0)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.

Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị

Để một hàm số có thể đạt cực trị tại 1 điểm thì hàm số cần thỏa mãn các yếu tố sau (bao gồm: điều kiện cần và điều kiện đủ).

Điều kiện cần

Định lý 1

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại điểm x0 thì f’(x0) = 0.

Một số lưu ý chung:

Điều ngược lại có thể không đúng. Đạo hàm f’ có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0.
Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.

Điều kiện đủ

Định lý 2

Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.

Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại x0.

Định lý 3

Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa điểm x0, f’(x0) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.

Nếu f’’(x0) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0.
Nếu f’’(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0.
Nếu f’’(x0) = 0 thì ta chưa thể kết luận được, cần lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm.

Ngoài những thông tin về chủ đề Đạt Cực Tiểu Là Gì này bạn có thể xem thêm nhiều bài viết liên quan đến Thông tin học phí khác tại đây nhé.

Vậy là chúng tôi đã cập nhật những thông tin hot nhất, được đánh giá cao nhất về Đạt Cực Tiểu Là Gì trong thời gian qua, hy vọng những thông tin này hữu ích cho bạn.

Cảm ơn bạn đã ghé thăm. Hãy thường xuyên truy cập chuyên mục Thông tin sự kiện để update thêm nhé! Hãy like, share, comment bên dưới để chúng tôi biết được bạn đang cần gì nhé!