Dãy Số Là Gì – Thông tin tuyển sinh đào tạo Đại học Cao đẳng

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Theo quan điểm của lý thuyết tập hợp dãy số là một ánh xạ a: , trong đó là tập hợp số tự nhiên, hoặc tập con của tập số tự nhiên nhỏ hơn / lớn hơn một số tự nhiên m nào đó.
Khi đó thay cho a(n) ta dùng ký hiệu a_n.

a_n = a(n)

Nếu X là hữu hạn ta có dãy hữu hạn:

a_m,…, a_n.

Ngược lại nó được xem là vô hạn.

a₀, a₁,…, a_n,…

Đôi khi, dãy hữu hạn cũng có thể được xem là vô hạn với các phần tử từ thứ m trở đi là bằng nhau.

Khi bắt đầu từ phần tử dãy thường được ký hiệu:

với x_n là phần tử thứ n.

Người ta thường xét hơn các dãy bắt đầu từ phần tử .

với x_n là phần tử thứ n

Sau đây sẽ chủ yếu đề cập đến các dãy số thực vô hạn. Nhiều định nghĩa và kết quả dưới đây có thể mở rộng cho dãy các phần tử trong không gian metric hoặc không gian topo.

Ý nghĩa thực tế[sửa | sửa mã nguồn]

Trong nhiều bài toán, dãy số có thể được tạo dựng qua quá trình thu thập dữ liệu. Các dữ liệu thu thập có thể gồm nhiều số từ x₁, x₂,…x_n. Tập hợp các số này có thứ tự, nghĩa là có số đầu tiên (x₁), số thứ 2 (x₂) và các số tiếp theo.

Ví dụ và ký hiệu[sửa | sửa mã nguồn]

Dãy có thể được coi là danh sách các phần tử dưới một thứ tự cụ thể nào đó.^[1][2] Dãy rất hữu dụng trong một lượng lớn môn học nghiên cứu các hàm số, không gian, và các cấu trúc toán học khác có sử dụng tính hội tụ của dãy. Cụ thể, dãy là cơ sở để học và nghiên cứu chuỗi, và cả hai đều là thành phần quan trọng trong các phương trình vi phân và trong giải tích. Dãy nói riêng cũng là chủ đề thú vị của riêng chúng, một số được nghiên cứu riêng và một số được dùng để làm câu đố, ví dụ như nghiên cứu dãy các số nguyên tố.

Có nhiều cách để ký hiệu dãy, nhưng có một số trong đó chỉ có ích cho một số dãy đặc biệt. Một trong những những cách đơn giản nhất để biểu diễn dãy là liệt kê các phần tử trong dãy ra. Ví dụ chẳng hạn, dãy bốn số tự nhiên lẻ đầu tiên có thể viết là (1, 3, 5, 7). Ký hiệu này cũng có thể dùng cho dãy vô hạn. Ví dụ chẳng hạn, dãy vô hạn của các số nguyên dương lẻ được viết là (1, 3, 5, 7, …). Song vì dấu ba chấm có thể mơ hồ, nên ký hiệu liệt kê hữu dụng nhất với các dãy mà có thể nhận dạng chúng qua các phần tử đầu tiên trong dãy, các cách ký hiệu khác sẽ được thảo luận sau các ví dụ.

Các ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Các số nguyên tố là các số tự nhiên lớn hơn 1 và không có ước nào ngoại trừ 1 và chính nó. Xét chúng trong thứ tự tự nhiên, ta được dãy (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …). Các số nguyên tố được nghiên cứu rộng rãi trong toán học, chủ yếu nằm trong lý thuyết số với nhiều kết quả quan trọng gắn với nó.

Các số Fibonacci tạo thành một dãy trong đó ngoại trừ phần từ đầu tiên và phần tử thứ hai trong dãy, mỗi phần tử còn lại đều là tổng của hai phần tử đứng ngay trước nó. Hai phần tử đầu tiên có thể la 0 và 1 hoặc 1 và 1. Dãy các số Fibonacci được gọi là dãy Fibonacci và thường được viết như sau (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …).^[1]

Các ví dụ khác bao gồm các dãy chứa các số hữu tỉ, số thực và số phức. Dãy (.9, .99, .999, .9999, …), chẳng hạn, chạm dần đến số 1. Thậm chí, mọi số thực có thể viết thành giới hạn của dãy các số hữu tỉ (qua biển diễn thập phân của nó chẳng hạn. Lấy ví dụ, π là giới hạn của dãy tăng dần (3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, …). Một dãy khác có liên quan là dãy các chữ số thập phân của π, tức dãy (3, 1, 4, 1, 5, 9, …). Không giống như dãy trước, dãy này không có mẫu nhận dạng dễ nhìn.

Một ví dụ không bao gồm số của dãy là dãy các hàm số, trong đó mỗi phần tử của dãy là hàm số có hình dạng được xác định bởi chỉ số của hàm số đó trong dãy.

Bảng tra cứu dãy số nguyên trực tuyến bao gồm một lượng lớn dãy các số nguyên.^[3]

Cách viết chỉ số[sửa | sửa mã nguồn]

Các cách ký hiệu khác có ích đối với các dãy có mẫu nhận dạng không dễ đoán hoặc không có ngay từ đầu như dãy các chữ số của π. Một trong những cách ký hiệu là viết một công thức tổng quát để tính phần tử thứ n trong dãy là hàm số của n, đóng nó trong dấu ngoặc rồi bao gồm thêm một đoạn chữ nhỏ viết dưới chỉ ra các tập các giá trị mà n có thể nhận. Lấy ví dụ, trong ký hiệu này, dãy các số tự nhiên chẵn có thể ký hiệu thành . Dãy các số chính phương có thể viết là . Biến n được gọi là chỉ số, và tập các giá trị nó có thể nhận được được gọi là tập chỉ số.

Bằng việt kết hợp cách ký hiệu này với kỹ thuật coi các phần tử trong dãy là các biến độc lập. Ta có thể viết các biểu thức như , biểu thức này ký hiệu dãy trong đó phần tử thứ n lấy từ biến . Ví dụ:

Bên cạnh đó, ta còn có thể xét nhiều dãy khác nhau trong cùng một lúc bằng cách sử dụng tên biến khác; chẳng hạn có thể là dãy khác với . Ta cũng có thể xét dãy của các dãy: ký hiệu dãy trong đó phần tử thứ m là dãy .

Một cách khác để viết miền trong đoạn viết dưới của dãy là viết khoảng giá trị mà nó có thể nhận bằng cách chỉ ra giá trị nhỏ nhất và lớn nhất nó có thển hận. Ví dụ chẳng hạn, ký hiệu chỉ dãy 10 số chính phương . Các giới hạn và đều được cho phép, nhưnng nó không biểu diễn giá trị hợp lệ cho chỉ số, mà chỉ là cận trên đúng hay cận dưới đúng của các giá trị đó, tương ứng. Ví dụ chẳng hạn, dãy giống với dãy , và không chứa phần tử nào “tại vô hạn”. Dãy là dãy vô hạn hai bên, và được ký hiệu theo liệt kê là .

Trong trường hợp tập các chỉ số đã được ngầm hiểu trước, thì có thể bỏ cả đoạn chỉ số trên và dưới. Khi đó, ta thường hiểu ký hiệu cho một dãy tuỳ ý. Thường thì chỉ số k được ngầm định chạy từ 1 đến ∞. Tuy nhiên, các dãy thường có chỉ số bắt đầu từ 0, tức là

Trong một số trường hợp khi các phần tử trong dãy có quan hệ gần gũi với các số tự nhiên và có mẫu nhận dạng dễ nhìn, thì tập chỉ số có thể suy ra được bằng cách liệt kê vài phần tử đầu tiên. Lấy ví dụ, tập các bình phương của các số lẻ có thể ký hiệu theo một trong năm cách sau.

Hơn nữa, đoạn chỉ số dưới và trên có thể bỏ đi trong cách thứ ba, thứ tư và thứ năm, nếu tập chỉ số đã được hiểu là tập các số tự nhiên. Trong cách thứ hai và thứ ba, có dãy đã được định nghĩa , nhưng nó không giống với dãy ký hiệu theo biểu thức.

Định nghĩa dãy bằng đệ quy[sửa | sửa mã nguồn]

Dãy mà phần tử có quan hệ với phần tử đứng trước nó thường được định nghĩa bằng đệ quy. Cách định nghĩa này khác với định nghĩa dãy có các phần tử là giá trị của hàm số của vị trí của chúng.

Để có thể định nghĩa bằng đệ quy, ta cần một luật, hay quy tắc, được gọi là quan hệ lặp lại để xây dựng mỗi phần tử trong dãy dựa trên các phần tử đứng trước đó. Bên cạnh đó yêu cầu cần phải định nghĩa hay xác định trước phần tử đứng đầu (hay còn gọi là phần tử khởi tạo) để các phần tử đứng sau có thể được tính bằng quan hệ. Công thức suy ra được từ quan hệ đó được gọi là công thức truy hồi hoặc hệ thức truy hồi.

Dãy Fibonacci là một ví dụ hay thường gặp, và được định nghĩa theo công thức truy hồi sau

với hai phần tử ban đầu và . Qua vài bước tính toán, 10 phần tử đầu tiên của dãy này sẽ là 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, và 34.

Một ví dụ phức tạp về dãy được định nghĩa theo quan hệ đệ quy là dãy Recamán,^[4], dãy này được định nghĩa như sau:

với phần tử khởi tạo

Hệ thức truy hồi tuyến tính có hệ số hằng là công thức có dạng

trong đó là các hằng số. Có công thức tổng quát để biểu diễn các phần tử thành hàm số của n; xem truy hồi tuyến tính. Trong trường hợp của dãy Fibonacci, ta có và hàm của n lấy từ công thức Binet.

Dãy holonom là dãy được định nghĩa bằng công thức hồi quy dưới dạng

trong đó là các đa thức biến n. Hầu như đối với mọi dãy holonom không có công thức cụ thể nào để biểu diễn bằng hàm số của n. Mặc dù vậy, các dãy holonom vẫn đóng vai trò quan trọng trong nhiều nhánh của toán học. Ví dụ chẳng hạn, nhiều hàm đặc biệt có chuỗi Taylor với các hệ số là phần tử của dãy holonom. Sử dụng đệ quy cho phép tính nhanh chóng giá trị của các hàm đặc biệt đó.

Không phải mọi dãy đều có thể định nghĩa bằng đệ quy. Một ví dụ là dãy các số nguyên tố theo thứ tự tự nhiên (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …).

Khái niệm cơ bản cơ bản về dãy số

Dãy số là một chuyên đề trong chương trình Toán 11. Đây là một trong những dạng toán quan trọng, chắc chắn sẽ xuất hiện trong đề thi THPT QG môn Toán. Vậy những khái niệm cơ bản có liên quan cần nhớ là gì?

Có 3 loại thường gặp: dãy tăng, dãy giảm, dãy bị chặn. Dãy số tăng là tập hợp của các số mà số đằng sau lớn hơn số đằng trước. Dãy số giảm là tập hợp các số mà số đằng sau nhỏ hơn số đằng trước. Dãy số bị chặn là tập hợp của các số nằm trong một khoảng hay một đoạn cho trước nào đó.

Có 2 cách để trình bày một dãy: sử dụng công thức tổng quát hoặc dùng hệ thức truy hồi. Để hiểu rõ hơn về hai cách trình bày này các bạn có thể tham khảo tài liệu của chúng tôi dưới đây.

Các dạng bài tập thường gặp

Như chúng tôi đã nói, đây là chuyên đề rất quan trọng. Do đó, các bạn cần nắm vững các dạng bài tập. Dưới đây là liệt kê của chúng tôi về những dạng toán hay xuất hiện:

• Dạng 1: Tìm số hạng trong dãy
• Dạng 2: Tìm công thức tổng quát của dãy đã cho
• Dạng 3: Xét tính tăng, giảm, bị chặn của dãy
• Dạng 4: Chứng minh dãy đã cho là một dãy tăng, giảm hoặc bị chặn

Đây là 4 dạng phổ biến nhất. Mỗi dạng lại có những phương pháp giải đặc trưng. Nhiệm vụ của các bạn là ghi nhớ cách giải. Đồng thời, các bạn cũng nên luyện tập nhiều bài tập. Có như vậy, các bạn mới có thể nắm vững dạng toán này.

Sưu tầm: Trần Thị Nhung 

Dãy số tăng là gì?, dãy số giảm là gì?

– Dãy số U_n được gọi là dãy số tăng nếu u_n+1 > u_n với mọi n ε N^*  ;

– Dãy số U_n được gọi là dãy số giảm nếu u_n+1 < u_n với mọi n ε N^* .

Phương pháp khảo sát tính đơn điệu của dãy số (U_n):

Phương pháp 1:

Xét hiệu H = u_n+1 – u_n. 

– Nếu H > 0 với mọi n ε N^* thì dãy số tăng

– Nếu H < 0 với mọi n ε N^* thì dãy số giảm.

Bài giảng và bài tập áp dụng

Phương pháp 2:

Nếu u_n > 0 với mọi n ε N^*  thì lập tỉ số , rồi so sánh với 1.

– Nếu  > 1 với mọi n ε N^* thì dãy số tăng.

– Nếu   < 1 với mọi n ε N^* thì dãy số giảm.

Bài giảng và bài tập áp dụng

Bài giảng 1: Cách chứng minh dãy số tăng, dãy số giảm cơ bản

Bài giảng 2: Cách tìm dãy số tăng, dãy số giảm

Bài giảng 3: Cách tìm dãy số tăng, dãy số giảm

Các bài giảng liên quan: 

Các bài giảng chứng minh mệnh đề bằng phương pháp quy nạp

Bài giảng về dãy số 

Các bài giảng cấp số cộng

Các bài giảng cấp số nhân

khoia.vn › day-so-la-gi-the-nao-la-day-so-tang-day-so-giam-va-day-so-bi-…, loigiaihay.com › Lớp 11 › SGK Toán lớp 11, toploigiai.vn › Câu hỏi & Trắc nghiệm Toán 11, vi.wikipedia.org › wiki › Dãy_(toán_học), suretest.vn › cung-co › bai-2-day-so-7670, giaovienvietnam.com › … › Lớp 11 › Môn Toán 11 › Lý thuyết Toán 11, vungoi.vn › lop-11, vietjack.me › Lớp 11 – Chương trình mới › Toán 11, hoctap24h.vn › day-so-tang-day-so-giam, Ví dụ về dãy số, Dãy số là gì Tin 8, Lý thuyết dãy số, Dãy số (un được gọi là), Dãy số nào là dãy số tăng, Dãy số bị chặn là gì, Dãy số lớp 11, Công thức dãy số lớp 11