Định Lí Pi Ta Go – Thông tin tuyển sinh đào tạo Đại học Cao đẳng

1. Định lí Pytago Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Chứng minh của Pythagoras[sửa (Định Lí Pi Ta Go) | sửa mã nguồn]

Định lý Pythagoras đã được biết đến từ lâu trước thời Pythagoras, nhưng ông được coi là người đầu tiên nêu ra chứng minh định lý này.^[2] Cách chứng minh của ông rất đơn giản, chỉ bằng cách sắp xếp lại hình vẽ.

Trong hai hình vuông lớn ở hình minh họa bên trái, mỗi hình vuông chứa bốn tam giác vuông bằng nhau, sự khác nhau giữa hai hình vuông này là các tam giác vuông được bố trí khác nhau. Do vậy, khoảng trắng bên trong mỗi hình vuông phải có diện tích bằng nhau. Dựa vào hình vẽ, hai vùng trắng có diện tích bằng nhau cho phép rút ra được kết luận của định lý Pythagoras, điều phải chứng minh^[9].

Về sau, trong tác phẩm của nhà triết học và toán học Hy Lạp Proclus đã dẫn lại chứng minh rất đơn giản của Pythagoras.^[10] Các đoạn dưới đây nêu ra một vài cách chứng minh khác, nhưng cách chứng minh ở trên thuộc về Pythagoras.

Những dạng khác của định lý[sửa | sửa mã nguồn]

Như đã nhắc đến ở đoạn giới thiệu, nếu c ký hiệu là chiều dài của cạnh huyền và a và b ký hiệu là chiều dài của hai cạnh kề, định lý Pythagoras có thể biểu diễn bằng phương trình Pythagoras:

Nếu đã biết chiều dài cả a và b, thì cạnh huyền c tính bằng

Nếu biết độ dài của cạnh huyền c và một trong các cạnh kề (a hoặc b), thì độ dài của cạnh kề còn lại được tìm bằng công thức: hoặc

Phương trình Pythagoras cho liên hệ các cạnh của một tam giác vuông theo cách đơn giản, do đó nếu biết chiều dài của hai cạnh bất kỳ thì sẽ tìm được chiều dài của cạnh còn lại. Một hệ quả khác của định lý đó là trong bất kỳ tam giác vuông nào, cạnh huyền luôn lớn hơn hai cạnh kia, nhưng bé hơn tổng của hai cạnh.

Định lý khái quát định lý này cho tam giác bất kỳ này đó là định lý cos, cho phép tính chiều dài của một cạnh khi biết chiều dài của hai cạnh kia cũng như góc tạo bởi hai cạnh này. Nếu góc giữa hai cạnh này là góc vuông, định lý cos sẽ trở về trường hợp đặc biệt đó là định lý Pythagoras.

Mục tiêu bài học Định lý pytago

• Nắm chắc và hiểu lý thuyết, cũng như các ví dụ trong bài học Định lý Pytago
• Hiểu cách dùng định lý Pytago.
• Hoàn thành các bài tập trong sách giáo khoa và bài tập tự luyện để củng cố kiến thức.

Lý thuyết cần nhớ bài Định lý pytago

1. Định lý pytago là gì?

Định lý Pytago (hay còn gọi là định lý Pythagoras theo tiếng Anh) là một liên hệ căn bản trong hình học Euclid giữa ba cạnh của một tam giác vuông. Định lý pytago thuận phát biểu rằng trong 1 tam giác vuông: Bình phương cạnh huyền (cạnh đối diện với góc vuông) bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.

Định lý có thể viết thành một phương trình liên hệ giữa độ dài của các cạnh là a, b và c, thường gọi là công thức Pytago

(trong đó c độ dài là cạnh huyền, a,b lần lượt là độ dài 2 cạnh góc vuông)

2. Ví dụ bài tập:

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB= 6cm, AC= 8cm. Tính BC

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ABC, ta có: <mi>B</mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><msup><mi>C</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mo>=</mo><mi>A</mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><msup><mi>B</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mi>A</mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><msup><mi>C</mi><mn>2</mn></msup></mrow></math>” id=”MathJax-Element-4-Frame” role=”presentation” tabindex=”0″>BC²=AB²+AC²

Nên <mi>B</mi><msup><mi>C</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mn>6</mn><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mn>8</mn><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mn>36</mn><mo>+</mo><mn>64</mn><mo>=</mo><mn>100</mn></math>” id=”MathJax-Element-5-Frame” role=”presentation” tabindex=”0″>BC²=6²+8²=36+64=100

Vậy BC=10 cm

Chú ý: Dựa vào định  Pytago, khi ta biết độ dài 2 cạnh của tam giác vuông, ta sẽ tính được độ dài cạnh còn lại

3. Cách chứng minh định lý pitago lớp 7

Ta có thể chứng minh định lý Pytago đơn giản qua hình dưới đây:

Ở hình trên ta có 2 hình vuông lớn có diện tích bằng nhau là: (a+b)²

Trong mỗi hình lại có 4 tam giác vuông bằng nhau có diện băng nhau là 1/2(a.b). Do đó diện tích khoảng trắng của 2 hình sẽ bằng nhau.

Như vậy, diện tích của hình vuông c sẽ bằng tổng diện tích của 2 hình vuông a và b nên ta có: c²=a²+b²

4. Chức minh định lý Pytago đảo

Định nghĩa: Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông.

Định lý Pytago đảo được sử dụng rất phổ biến cũng như gồm nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Đây là một định lý toán học quan trọng hàng đầu của hình học cơ bản.

Ví dụ: Tam giác ABC có BC²=AB²+AC² => tam giác ABC bằng 90^o

Để hiểu hơn về bài học ngày hôm nay, các em hãy theo dõi video bài giảng dưới đây nhé!

1. Định lý Pytago là gì?

Một tam giác vuông bao gồm hai cạnh được gọi là hai cạnh góc vuông và một cạnh còn lại được gọi là cạnh huyền. Cạnh huyền là cạnh dài nhất và đối diện với góc vuông.

Nếu chúng ta lấy độ dài của cạnh huyền là c và độ dài của các cạnh là a và b thì định lý này cho chúng ta biết rằng:

C²  = a² + b²

Định lý Pytago phát biểu rằng: Trong bất kỳ tam giác vuông nào, tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vuông bằng bình phương độ dài cạnh huyền.

Lưu ý: Định lý Pitago chỉ đúng với tam giác vuông. Nhắc lại tam giác vuông là tam giác có một góc bằng 90 độ. Hai góc còn lại cũng phải có tổng bằng 90 độ, vì tổng số đo các góc của bất kỳ tam giác nào cũng bằng 180 độ.

Định lý Pytago có thể được sử dụng khi chúng ta biết độ dài hai cạnh của một tam giác vuông và chúng ta cần lấy độ dài của cạnh thứ ba.

Định lý được cho là của nhà triết học và toán học Hy Lạp cổ đại Pythagoras, sống ở thế kỷ thứ sáu trước Công nguyên. Mặc dù trước đây nó đã được người Ấn Độ và người Babylon sử dụng, Pythagoras (hoặc các học trò của ông) được ghi nhận là người đầu tiên chứng minh định lý. Cần lưu ý rằng không có bằng chứng cụ thể nào cho thấy chính Pythagoras đã nghiên cứu hoặc chứng minh định lý này.

2. Điều ngược lại của định lý Pytago là gì?

Điều ngược lại của Định lý Pytago cũng đúng.

Đối với bất kỳ tam giác nào có các cạnh a , b và c , nếu a ² + b ² = c ²  thì góc giữa a và b đo bằng 90° và tam giác đó là tam giác vuông.

Làm thế nào để sử dụng định lý đảo ngược của định lý Pythagore?

Chúng ta có thể sử dụng định lý Pytago đảo để kiểm tra xem một tam giác đã cho là tam giác nhọn, tam giác vuông hay tam giác tù.

Đối với tam giác có các cạnh a, b , c và c là cạnh dài nhất thì: Nếu c ² < a ² + b ² thì đó là tam giác nhọn, tức là góc đối với cạnh c là góc nhọn.

Nếu c ² = a ² + b ² thì đó là tam giác vuông, tức là góc tạo với cạnh c là góc vuông.

Nếu c ² > a ² + b ² thì đó là tam giác tù, tức là góc đối với cạnh c là góc tù.

1. Định lý pitago là gì?

Định lý Pytago (hay còn gọi là định lý Pythagoras theo tiếng Anh) là một liên hệ căn bản trong hình học Euclid giữa ba cạnh của một tam giác vuông. Định lý pitago thuận phát biểu rằng trong 1 tam giác vuông bình phương cạnh huyền (cạnh đối diện với góc vuông) bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông. Định lý có thể viết thành một phương trình liên hệ giữa độ dài của các cạnh là a, b và c, thường gọi là công thức Pytago: (c^2=a^2+b^2) (trong đó c độ dài là cạnh huyền, a,b lần lượt là độ dài 2 cạnh góc vuông). Ngoài ra, định lý pitago là một trong 17 phương trình thay đổi thế giới

Như vậy trong bất kì 1 tam giác vuông nào thì bình phương cạnh huyền cũng sẽ bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Theo định lý cho biết, cạnh góc vuông của tam giác kí hiệu là a và b, còn cạnh huyền kí hiệu là c của tam giác vuông đó. Ta luôn có phương trình của định lý Pitago như sau:

 (a^2+b^2=c^2)  (với c là độ dài cạnh huyền và a và b là độ dài hai cạnh góc vuông hay còn gọi là cạnh kề.)   

Từ đó ta có công thức tính cạnh huyền tam giác vuông như sau: c=√(a²+b²) với c là cạnh huyền và a, b là độ dài 2 cạnh tam giác vuông

2. Cách chứng minh định lý pitago

Ta có thể chứng minh định lý Pytago đơn giản qua hình dưới đây:

Ở hình trên ta có 2 hình vuông lớn có diện tích bằng nhau là: (a+b)^2

Trong mỗi hình lại có 4 tam giác vuông bằng nhau có diện băng nhau là 1/2(a.b). Do đó diện tích khoảng trắng của 2 hình sẽ bằng nhau.

Như vậy, diện tích của hình vuông c sẽ bằng tổng diện tích của 2 hình vuông a và b nên ta có: (c^2=a^2+b^2)

Xem thêm: Định Lý VI-ET (Viète) và Những Điều Cần Phải Biết

3. Định lý pitago đảo

3.1. Khái niệm

Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông.

Ví dụ: Tam giác ABC có (BC^2=AB^2+AC^2)  => (widehat{BAC})= (90^o) 

Định lý Pytago đảo được sử dụng rất phổ biến cũng như gồm nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Đây là một định lý toán học quan trọng hàng đầu của hình học cơ bản.

Xem thêm: Tổng hợp công thức tính chu vi, diện tích hình thang

3.2. Chứng minh định lý pytago đảo

Gọi ABC là tam giác với các cạnh a, b, và c, với (a^2+b^2=c^2). Dựng một tam giác thứ hai có các cạnh bằng a và b và góc vuông tạo bởi giữa chúng. Theo định lý Pytago thuận, cạnh huyền của tam giác vuông thứ hai này sẽ bằng c=√(a²+b²) và bằng với cạnh còn lại của tam giác thứ nhất. Bởi vì cả hai tam giác có ba cạnh tương ứng cùng bằng chiều dài a, b và c, do vậy hai tam giác này phải bằng nhau. Do đó góc giữa các cạnh a và b ở tam giác đầu tiên phải là góc vuông.

Chứng minh định lý pytago đảo ở trên sử dụng chính định lý Pytago. Cũng có thể chứng minh định lý đảo mà không cần sử dụng tới định lý thuận.

Một hệ quả của định lý Pytago đảo đó là cách xác định đơn giản một tam giác có là tam giác vuông hay không, hay nó là tam giác nhọn hoặc tam giác tù. Gọi c là cạnh dài nhất của tam giác và có a + b > c (nếu không sẽ không tồn tại tam giác vì đây chính là bất đẳng thức tam giác). Các phát biểu sau đây là đúng:

• Nếu (a^2 + b^2 = c^2), thì tam giác là tam giác vuông.
• Nếu (a^2 + b^2 > c^2), nó là tam giác nhọn.
• Nếu (a^2 + b^2 < c^2), thì nó là tam giác tù.

Xem thêm: Học cách giải phương trình bậc 3 mà học sinh nào cũng phải biết

1. Định lý Pytago

Ví dụ

Vẽ  tam giác vuông có hai cạnh góc vuông lần lượt bằng 3 và 4, 

Nhận xét tổng bình phương 2 cạnh góc vuông so với cạnh huyền

=> Ta thấy bình phương 2 cạnh góc vuông bằng bình phương cạnh huyền.

Ta có định lý:

Chú ý: Nội dung định lý Pytago được thừa nhận mà không cần phải chứng minh

2. Định lý Pytago đảo

Ví dụ:

Vẽ tam giác MNO có độ dài các cạnh MN, NO, MO lần lượt là 3 , 4 và 5 cm. Dùng thước đo độ để đo góc N

=> Ta có góc N = 90

Dựa trên định lý Pytago, ta có

Xét tam giác ABC:

Ta có BC² = AB² + AC² 

=> Góc BAC = 90

Ngược lại với định lý Pytago, định lý Pytago đảo được sử dụng để chứng minh tam giác vuông khi biết chiều dài các cạnh của tam giác đó.

3. Mẹo ghi nhớ:

+Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng bình phương các cạnh góc vuông

+Ngược lại, nếu 1 tam giác có một cạnh bằng bình phương 2 cạnh còn lại thì đó là tam giác vuông, cạnh đó được gọi là cạnh huyền.

4. Định lý Pytago được ứng dụng nhiều hơn bạn nghĩ

Mối liên hệ giữa các cạnh trong tam giác vuông đã được con người phát hiện từ thời cổ đâị, trước cả Pytago, từ văn minh Ai Cập tới vùng Lưỡng Hà, văn minh Ấn Hằng tới văn minh Trung Hoa cổ đại. Tuy nhiên, phải tới thời Hy Lạp cổ đại, định lý này mới được chứng minh bởi Pyatago – nhà toán học nổi tiếng Hy Lạp thời bấy giờ. Không chỉ được ứng dụng trong hình học đơn giản, Pytago được ứng dụng phổ biến trong các lĩnh vực toán học như vi phân, tích phân, hình học không gian,… Vì vậy, nó được xem như thành tựu thúc đẩy sự phát triển của cả nền toán học.

5. Bài tập

Bài tập 1:

Xét tam giác ABC vuông tại A, cho bảng sau, tính chiều dài cạnh huyền BC.

Lời giải:

Vì tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pytago ta có:

BC² = AC² + AB² 

=> BC = √(AC² + BC²)

Bài tập 2:

Xét tam giác ABC vuông tại A:

1. Biết chiều dài cạnh AB = 4 cm, chiều dài cạnh BC = 6 cm, tính chiều dài cạnh AC
2. Biết chiều dài cạnh AC = 2 cm, chiều dài cạnh BC = 7 cm, tính chiều dài cạnh AB
3. Biết chiều dài cạnh AB = 3 cm, chiều dài cạnh AC = 5 cm, tính chiều dài cạnh BC

Lời giải

1. Ta có: BC² = AC² + AB² 

=> AC² = BC² – AB² 

=> AC² = 6² – 4² 

=> AC = √20

Vậy chiều dài của cạnh AC là √20 cm

2. Ta có BC² = AC² + AB² 

=> AB² = BC² – AC² 

=> AB² = 7² – 2 ²

=> AB = √45

Vậy chiều dài cạnh AB = √45 cm

3. Ta có: BC² = AC² + AB² 

=> BC² = 3² + 5²

=> BC = √34

Vậy chiều dài cạnh BC là√34

Bài tập 3:

Tính chiều dài cạnh huyền của các tam giác sau, biết:

a. Tam giác MNO vuông tại M có cạnh MO = 4 cm, cạnh MN = 5 cm

b. Tam giác PQR vuông tại P có cạnh PQ = 7 cm, cạnh PR = 6 cm

c. Tam giác BCD vuông tại B có cạnh BC = 8 cm, cạnh BD = 2 cm

d. Tam giác IKL vuông tại I có cạnh IL = 4,5 cm, cạnh IK = 8 cm

Lời giải:

a. Vì tam giác MNO vuông tại M, NO là cạnh góc vuông, do đó, ta áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông:

NO² = MN² + MO²

=> NO² = 4² + 5²

=> NO² = 41

=> NO = √41

=> NO = 6,4

Vậy chiều dài cạnh NO của tam giác MNO là 6,4 cm

b. Vì tam giác PQR vuông tại P, QR là cạnh góc vuông, do đó, ta áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông:

QR² = PQ² + PR²

=> QR² = 7² + 6²

=> QR² = 85

=> QR = √85

=> QR = 9,2

Vậy chiều dài cạnh QR của tam giác PQR là 9,2 cm

c. Vì tam giác BCD vuông tại B, CD là cạnh góc vuông, do đó, ta áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông:

CD² = BC² + BD²

=> CD² = 8² + 2²

=> CD² = 70

=> CD = √70

=> CD = 8,4

Vậy chiều dài cạnh CD của tam giác BCD là 8,4 cm

c. Vì tam giác IKL vuông tại I, KL là cạnh góc vuông, do đó, ta áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông:

KL² = IL² + IK²

=> KL² = 4,5² + 8²

=> KL² = 84,25

=>KL = √84,25

=> KL = 9,2

Vậy chiều dài cạnh CD của tam giác BCD là 9,2 cm

Bài 53 sách giáo khoa:

a. Vì x là cạnh huyền của tam giác, áp dụng định lý Pytago ta có

x² = 12² + 5²

=> x² = 169

=> x = 13

Vậy chiều dài của x là 13

b. Vì x là cạnh huyền của tam giác, áp dụng định lý pytago ta có

x² = 1² + 2 ² 

=> x² = 5

=> x = √5 = 2,34

Vậy chiều dài của x là 2,34

c. Vì x là cạnh góc vuông, áp dụng định lý Pytago ta có

29² = x² + 21²

=> x²  = 29² – 21²

=> x²  = 841 – 441

=> x² = 400

=> x = 20

Vậy chiều dài của x là 20

d. Vì x là cạnh góc vuông, áp dụng định lý Pytago ta có:

=> x²  = √7² + 3²

=> x²  = 7 + 9

=> x = 4

Vậy chiều dài của x là 4

Lời kết: Hy vọng với nội dung bài học trên TOPPY đã giúp các bé nắm vứng kiến thức về định lý Pytago. Đặc biệt, để tiếp thu kiến thức bài học một cách hiệu quả, các bạn học sinh nên ôn luyện và giải các bài tập về tam giác vuông để củng cố kiến thức. Hoặc các bạn cũng có thể tham khảo những bài toàn nâng cao để làm quen với dạng câu hỏi vận dụng và giành điểm cao trong các đợt kiểm tra. Theo dõi TOPPY thường xuyên để cập nhật những bài học bổ ích.

Giải pháp toàn diện giúp con đạt điểm 9-10 dễ dàng cùng Toppy

Với mục tiêu lấy học sinh làm trung tâm, Toppy chú trọng việc xây dựng cho học sinh một lộ trình học tập cá nhân, giúp học sinh nắm vững căn bản và tiếp cận kiến thức nâng cao nhờ hệ thống nhắc học, thư viện bài tập và đề thi chuẩn khung năng lực từ 9 lên 10.

Kho học liệu khổng lồ

Kho video bài giảng, nội dung minh hoạ sinh động, dễ hiểu, gắn kết học sinh vào hoạt động tự học. Thư viên bài tập, đề thi phong phú, bài tập tự luyện phân cấp nhiều trình độ.Tự luyện – tự chữa bài giúp tăng hiệu quả và rút ngắn thời gian học. Kết hợp phòng thi ảo (Mock Test) có giám thị thật để chuẩn bị sẵn sàng và tháo gỡ nỗi lo về bài thi IELTS.

Nền tảng học tập thông minh, không giới hạn, cam kết hiệu quả

Chỉ cần điện thoại hoặc máy tính/laptop là bạn có thể học bất cứ lúc nào, bất cứ nơi đâu. 100% học viên trải nghiệm tự học cùng TOPPY đều đạt kết quả như mong muốn. Các kỹ năng cần tập trung đều được cải thiện đạt hiệu quả cao. Học lại miễn phí tới khi đạt!

Tự động thiết lập lộ trình học tập tối ưu nhất

Lộ trình học tập cá nhân hóa cho mỗi học viên dựa trên bài kiểm tra đầu vào, hành vi học tập, kết quả luyện tập (tốc độ, điểm số) trên từng đơn vị kiến thức; từ đó tập trung vào các kỹ năng còn yếu và những phần kiến thức học viên chưa nắm vững.

Trợ lý ảo và Cố vấn học tập Online đồng hành hỗ trợ xuyên suốt quá trình học tập

Kết hợp với ứng dụng AI nhắc học, đánh giá học tập thông minh, chi tiết và đội ngũ hỗ trợ thắc mắc 24/7, giúp kèm cặp và động viên học sinh trong suốt quá trình học, tạo sự yên tâm giao phó cho phụ huynh.

Đăng ký khóa học cho con ngay hôm nay!

Xem thêm:

• Hai góc đối đỉnh và kiến thức cơ bản – Toán lớp 7 là chuyện nhỏ
• Học Toán 7 cùng Toppy: Tổng hợp kiến thức về lũy thừa của một số hữu tỉ
• Tổng ba góc của một tam giác – Toán lớp 7 là chuyện nhỏ
• Tam giác cân và kiến thức cơ bản – Toán lớp 7 là chuyện nhỏ