Đồ Thị Là Gì – Thông tin tuyển sinh đào tạo Đại học Cao đẳng

Các định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Trong các tài liệu, các định nghĩa trong lý thuyết đồ thị được phát biểu theo nhiều kiểu. Dưới đây là kiểu truyền thống của cuốn từ điển bách khoa này.

Đồ thị vô hướng[sửa | sửa mã nguồn]

Đồ thị vô hướng hoặc đồ thị G là một cặp không có thứ tự (unordered pair) G:=(V, E), trong đó

• V, tập các đỉnh hoặc nút,
• E, tập các cặp không thứ tự chứa các đỉnh phân biệt, được gọi là cạnh. Hai đỉnh thuộc một cạnh được gọi là các đỉnh đầu cuối của cạnh đó.

Trong nhiều tài liệu, tập các cạnh bao gồm cả các cặp đỉnh không phân biệt, các cạnh này được gọi là các khuyên.
V (và E) thường là các tập hữu hạn, phần lớn các kết quả nghiên cứu đã biết không đúng (hoặc khác) khi áp dụng cho đồ thị vô hạn (infinite graph) vì nhiều luận cứ không dùng được trong trường hợp vô hạn.

Đồ thị có hướng[sửa | sửa mã nguồn]

Đồ thị có hướng G là một cặp có thứ tự G:=(V, A), trong đó

• V, tập các đỉnh hoặc nút,
• A, tập các cặp có thứ tự chứa các đỉnh, được gọi là các cạnh có hướng hoặc cung. Một cạnh e = (x, y) được coi là có hướng từ x tới y; x được gọi là điểm đầu/gốc và y được gọi là điểm cuối/ngọn của cạnh.

Đơn đồ thị và Đa đồ thị[sửa | sửa mã nguồn]

Đơn đồ thị là đồ thị mà không có khuyên và không có cạnh song song.

Đa đồ thị là đồ thị mà không thỏa mãn đơn đồ thị.

Đa đồ thị có hướng là một đồ thị có hướng, trong đó, nếu x và y là hai đỉnh thì đồ thị được phép có cả hai cung (x, y) và (y, x).

Đơn đồ thị có hướng (hoặc Đa đồ thị có hướng) là một đồ thị có hướng, trong đó, nếu x và y là hai đỉnh thì đồ thị chỉ được phép có tối đa một trong hai cung (x, y) hoặc (y, x).

Lịch sử[sửa (Đồ Thị Là Gì) | sửa mã nguồn]

Một trong những kết quả đầu tiên trong lý thuyết đồ thị xuất hiện trong bài báo của Leonhard Euler về Bảy cây cầu ở Königsberg, xuất bản năm 1736. Bài báo này cũng được xem như một trong những kết quả topo đầu tiên trong hình học, tức là, nó không hề phụ thuộc vào bất cứ độ đo nào. Nó diễn tả mối liên hệ sâu sắc giữa lý thuyết đồ thị và tôpô học.

Năm 1845, Gustav Kirchhoff đưa ra Định luật Kirchhoff cho mạch điện để tính điện thế và cường độ dòng điện trong mạch điện.

Năm 1852 Francis Guthrie đưa ra bài toán bốn màu về vấn đề liệu chỉ với bốn màu có thể tô màu một bản đồ bất kì sao cho không có hai nước nào cùng biên giới được tô cùng màu. Bài toán này được xem như đã khai sinh ra lý thuyết đồ thị, và chỉ được giải sau một thế kỉ vào năm 1976 bởi Kenneth Appel và Wolfgang Haken. Trong khi cố gắng giải quyết bài toán này, các nhà toán học đã phát minh ra nhiều thuật ngữ và khái niệm nền tảng cho lý thuyết đồ thị.

Đồ thị là gì

Trong Toán học, biểu đồ là một biểu diễn bằng hình ảnh của bất kỳ dữ liệu nào một cách có tổ chức. Biểu đồ thể hiện mối quan hệ giữa các đại lượng biến thiên. Trong lý thuyết đồ thị, đồ thị đại diện cho một tập hợp các đối tượng, có liên quan với nhau theo một nghĩa nào đó. Các đối tượng về cơ bản là các khái niệm toán học, được biểu thị bằng các đỉnh hoặc các nút và mối quan hệ giữa các cặp nút, được biểu thị bằng các cạnh.

Lịch sử

Lịch sử của lý thuyết đồ thị cho biết nó được đưa ra bởi nhà toán học Thụy Sĩ nổi tiếng tên là Leonhard Euler , để giải quyết nhiều vấn đề toán học bằng cách xây dựng đồ thị dựa trên dữ liệu cho trước hoặc một tập hợp các điểm. Biểu diễn đồ họa cho thấy các loại dữ liệu khác nhau dưới dạng biểu đồ thanh, bảng tần số, biểu đồ đường, biểu đồ hình tròn, biểu đồ đường, v.v.

Định nghĩa

Lý thuyết đồ thị là nghiên cứu về điểm và đường. Trong Toán học, nó là một lĩnh vực phụ liên quan đến việc nghiên cứu các đồ thị. Nó là một biểu diễn bằng hình ảnh đại diện cho sự thật Toán học. Lý thuyết đồ thị là nghiên cứu về mối quan hệ giữa các đỉnh (nút) và các cạnh (đường).

Về mặt hình thức, một đồ thị được biểu thị là một cặp G (V, E).

Trong đó V đại diện cho các đỉnh của tập hữu hạn và E đại diện cho các cạnh của tập hữu hạn.

Do đó, chúng ta có thể nói một đồ thị bao gồm tập các đỉnh V và tập các cạnh E. không rỗng.

Thí dụ

Giả sử, một Đồ thị G = (V, E), trong đó

Các đỉnh, V = {a, b, c, d}

Các cạnh, E = {{a, b}, {a, c}, {b, c}, {c, d}}

Các loại đồ thị

Các biểu đồ về cơ bản có hai loại, có hướng và không có hướng. Nó được hiểu rõ nhất bằng hình dưới đây. Mũi tên trong hình chỉ hướng.

Đồ thị hướng

Trong lý thuyết đồ thị, đồ thị có hướng là đồ thị được tạo thành từ một tập hợp các đỉnh được nối với nhau bởi các cạnh, trong đó các cạnh có hướng liên kết với chúng.

Đồ thị vô hướng

Đồ thị vô hướng được định nghĩa là đồ thị trong đó tập hợp các nút được kết nối với nhau, trong đó tất cả các cạnh đều có hướng. Đôi khi, loại đồ thị này được gọi là mạng vô hướng.

Các loại đồ thị khác

• Null Graph: Một đồ thị không có cạnh.
• Đồ thị đơn giản: Đồ thị vô hướng và không có bất kỳ vòng lặp hoặc nhiều cạnh nào.
• Đa đồ thị: Một đồ thị có nhiều cạnh giữa cùng một tập các đỉnh. Nó có các vòng lặp được hình thành.
• Đồ thị được kết nối: Một đồ thị trong đó hai đỉnh bất kỳ được nối với nhau bằng một đường dẫn.
• Đồ thị ngắt kết nối: Một đồ thị trong đó hai đỉnh hoặc nút bất kỳ bị ngắt kết nối bởi một đường dẫn.
• Đồ thị chu kỳ: Một đồ thị hoàn thành một chu trình.
• Đồ thị hoàn chỉnh: Khi mỗi cặp đỉnh được nối với nhau bằng một cạnh thì đồ thị đó được gọi là đồ thị hoàn chỉnh
• Đồ thị phẳng: Khi không có hai cạnh nào của đồ thị cắt nhau và tất cả các đỉnh và cạnh đều được vẽ trong một mặt phẳng, thì đồ thị như vậy được gọi là đồ thị phẳng

1. Sơ lược về Lý thuyết đồ thị

Trong Toán học và Tin học, Lý thuyết đồ thị tập trung nghiên cứu về một đối tượng cơ bản là đồ thị – một đối tượng có tính ứng dụng rất cao trong thực tế. Mô hình đồ thị xuất hiện xung quanh ta, trong nhiều lĩnh vực của cuộc sống, như giao thông, cấu trúc website,…

Mô hình bài toán 7 cây cầu ở Königsberg

Người đặt nền móng cho sự phát triển của Lý thuyết đồ thị là Leonhard Euler – nhà toán học người Thụy Sĩ. Thông qua việc đưa ra lời giải cho bài toán 777 cây cầu ở Königsberg vào năm 173617361736, ông đã chính thức khai sinh lý thuyết đồ thị.

Một cách trừu tượng hóa, đồ thị là một tập các đối tượng được gọi là các đỉnh (hoặc nút) được nối với nhau bằng các cạnh (hoặc cung) và được biểu diễn theo nhiều cách khác nhau trong Toán học và Tin học.

2. Định nghĩa và phân loại đồ thị

Một đồ thị là một cấu trúc rời rạc gồm tập hợp các đỉnh và các cạnh nối giữa các đỉnh đó. Có thể mô tả đồ thị theo cách hình thức như sau:

G=(V,E)G=(V,E)
G=(V,E)

tức là đồ thị GGG có tập các đỉnh là VVV, tập các cạnh là EEE. Có thể hiểu EEE là tập hợp các cặp (u,v)(u, v)(u,v) với uuu và vvv là hai đỉnh thuộc VVV.

Có thể phân loại đồ thị GGG theo tính chất của tập cạnh như sau:

• GGG được gọi là đơn đồ thị nếu như giữa hai đỉnh (u,v)(u, v)(u,v) của VVV có nhiều nhất một cạnh trong EEE nối từ uuu tới vvv.
• GGG được gọi là đa đồ thị nếu như giữa hai đỉnh (u,v)(u, v)(u,v) của VVV có thể có nhiều hơn 111 cạnh nối trong EEE nối từ uuu tới vvv. Hiển nhiên đơn đồ thị cũng là đa đồ thị.
• GGG được gọi là đồ thị vô hướng (undirected graph) nếu như các cạnh trong EEE là không định hướng, tức là cạnh (u,v)(u, v)(u,v) là cạnh hai chiều.
• GGG được gọi là đồ thị có hướng (directed graph) nếu như các cạnh trong EEE là có định hướng, tức là có thể tồn tại cạnh nối từ u tới v nhưng chưa chắc đã tồn tại cạnh nối từ v tới u. Trên đồ thị có hướng, các cạnh sẽ được gọi là các cung. Đồ thị vô hướng cũng có thể coi là đồ thị có hướng, nếu như ta coi cạnh (u,v)(u, v)(u,v) bất kỳ tương ứng với hai cung (u→v)(urightarrow v)(u→v) và (v→u)(v rightarrow u)(v→u).

Định nghĩa 1

Hai đỉnh u,v của đồ thị vô hướng G = <V,E> được gọi là kề nhau khi (u,v) là cạnh thuộc đồ thị G.
Nếu e = (u,v) là cạnh của dồ thị G, thì ta nói cạnh này liên thuộc với 2 đỉnh u,v, đồng thời các đỉnh u và v sẽ được gọi là đỉnh đầu của cạnh (u,v).

Định nghĩa 2

Ta gọi bậc của đỉnh V trong đồ thị vô hướng là số cạnh liên thuộc với nó và kí hiệu là deg(v)

deg(1) = deg(3) = deg(4) = 4
deg(5) = 3
deg(2) = 2
deg(6) = 1
deg(7) = 0

Đỉnh bậc 0 gọi là đỉnh cô lập,
Đỉnh bậc 1 gọi là đỉnh treo

G = <V,E> là đồ thị vô hướng với m cạnh.
khi đó: Σ deg(v) = 2m.

Với v ∈ V
Chứng minh: với mỗi cạnh e=(u,v), số bậc được tính 1 lần trong deg(u) và được tính 1 lần trong deg(v). Như vậy tổng tất cả các đỉnh sẽ bằng 2 lần số cạnh.

Đường đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v trong đồ thị vô hướng G = <V,E> là dãy xo,x1,x2,…xn. Trong đó n ∈ Z*
xo ∈ u
xn ∈ v
Đường đi có đỉnh đầu trùng đỉnh cuối hay u=v gọi là chu trình
Đường đi hay chu trình được gọi là đơn nếu không có cạnh nào lặp lại

• 1,2,3,4,5,6 là đường đi đơn có độ dài 5.
• 4,5,3,2 không là đường đi vì (5,4) không phải cạnh của đồ thị.
• 1,2,5,4,1,2 có độ dài 5 nhưng không phải đường đi thì (1,2) được lặp 2 lần.

Đồ thị vô hướng được gọi là liên thông nếu luôn tìm được đường đi giữa 2 đỉnh bất kì của nó.

Định nghĩa 1:

Nếu e=(u,v) là cung của đồ thị có hướng G=(V,E), ta nói:

• 2 đỉnh u,v là kề nhau
• kí hiệu (u,v): đi ra từ đỉnh u, đi vào đỉnh v
• u là đỉnh đầu, v là đỉnh cuối

Định nghĩa 2:

• Ta gọi bán bậc ra của đỉnh 𝑣 trên đồ thị có hướng là số
  cung của đồ thị đi ra khỏi 𝑣 và ký hiệu là 𝑑𝑒𝑔+
  (𝑣).
• Ta gọi bán bậc vào của đỉnh 𝑣 trên đồ thị có hướng là số cung của đồ thị đi vào 𝑣 và ký hiệu là 𝑑𝑒𝑔− (𝑣)

vi.wikipedia.org › wiki › Đồ_thị_(lý_thuyết_đồ_thị), vi.wikipedia.org › wiki › Lý_thuyết_đồ_thị, tintuctuyensinh.vn › Học tập – Thi, viblo.asia › …, viblo.asia › bai-1-khai-niem-do-thi-vo-huong-do-thi-co-huong-GAWVpd…, fit.lqdtu.edu.vn › files › FileMonHoc, voer.edu.vn › bai-1-cac-khai-niem-co-ban-cua-ly-thuyet-do-thi, dangcnd.files.wordpress.com › 2009/08 › tudc2, www.youtube.com › watch, www.youtube.com › watch, Các loại đồ thị, Đơn đồ thị la gì, Miền đồ thị là gì, Cầu của đồ thị la gì, Khớp của đồ thị la gì, Đồ thị đều là gì, Giả đồ thị la gì, Đồ thị điểm là gì