Giá Trị Riêng Của Ma Trận – Thông tin tuyển sinh đào tạo Đại học Cao đẳng

Định nghĩa chính tắc[sửa | sửa mã nguồn]

Giả thiết T là một biến đổi tuyến tính từ một không gian vectơ V trên trường F vào chính nó và v là một vectơ khác 0 trong V.

Vậy thì v là một vectơ riêng của T khi ảnh của nó qua phép biến đổi T(v) bằng một vô hướng nhân với v. Tức là:

trong đó λ là một vô hướng trong F, gọi là giá trị riêng, giá trị đặc trưng, hay nghiệm đặc trưng tương ứng với v.

Có sự tương ứng trực tiếp giữa các ma trận vuông cấp n và các biến đổi tuyến tính tự đồng cấu từ một không gian vectơ n chiều vào chính nó, trên cơ sở bất kỳ của không gian vectơ. Vì vậy trong một không gian vectơ hữu hạn chiều, việc định nghĩa giá trị riêng và vectơ riêng sử dụng ngôn ngữ của ma trận và ngôn ngữ biến đổi tuyến tính là tương đương.

Nếu V là hữu hạn chiều, phương trình trên là tương đương với^[5]

trong đó A là ma trận vuông biểu diễn cho tự đồng cấu T và u là vectơ tọa độ của v.

Tổng quan[sửa | sửa mã nguồn]

Vectơ riêng và giá trị riêng có vai trò nổi bật trong việc phân tích các biến đổi tuyến tính. Trong tiếng Anh, giá trị riêng và vectơ riêng tương ứng được gọi là eigenvalue và eigenvector (). Tiền tố eigen- được mượn từ tiếng Đức eigen (cùng gốc với từ tiếng Anh own), nghĩa là “sở hữu”, “đặc trưng”.^[7] Ban đầu được sử dụng để nghiên cứu các trục chính của sự quay của các vật rắn, giá trị riêng và vectơ riêng ngày càng có nhiều ứng dụng, ví dụ: trong phân tích ổn định, phân tích rung động, lý thuyết orbital nguyên tử, nghiên cứu băng hà trong địa chất, hệ số lây nhiễm cơ bản, và công nghệ nhận diện khuôn mặt.

Về bản chất, một vectơ riêng v của một biến đổi tuyến tính T là một vectơ khác vectơ không sao cho nó vẫn giữ được hướng ban đầu khi T tác động lên. Tác động của T lên vectơ riêng chỉ làm kéo dài vectơ riêng, được gấp một giá trị vô hướng λ, gọi là giá trị riêng. Điều kiện này có thể được viết dưới dạng phương trình

được gọi là phương trình đặc trưng. Tổng quát, λ có thể là một vô hướng bất kỳ. Chẳng hạn, λ có thể là âm, trong trường hợp này vectơ riêng sẽ đảo chiều khi nó được kéo dài, hoặc giá trị riêng có thể bằng 0 hoặc là số phức.

Ví dụ bức vẽ Mona Lisa sau đây là một minh họa đơn giản. Mỗi điểm của hình vẽ có thể được biểu diễn bằng một vectơ từ trung tâm của hình đến điểm đó. Biến đổi tuyến tính trong ví dụ này được gọi là phép ánh xạ trượt. Các điểm ở nửa trên bức vẽ bị dịch sang phải, còn các điểm ở nửa dưới bị dịch sang trái, tỉ lệ thuận với khoảng cách của chúng so với trục hoành ở giữa bức vẽ. Các vectơ tương ứng với mỗi điểm trong bức vẽ ban đầu vì vậy bị trượt sang bên trái hoặc phải, và bị làm cho ngắn vào hoặc dài ra bởi phép biến đổi. Ta cũng có thấy rằng những điểm nằm dọc theo trục hoành không bị di chuyển đi khi phép biến đổi tác động. Vì vậy, mỗi vectơ chỉ trực tiếp sang trái hoặc phải mà không có thành phần thẳng đứng là một vectơ riêng của phép biến đổi này, vì phép biến đổi không ảnh hưởng tới hướng của nó. Hơn nữa, trong ví dụ này các vectơ riêng trên đều có giá trị riêng bằng 1, vì vậy phép biến đổi cũng không làm độ dài của chúng thay đổi.

Các biến đổi tuyến tính có thể có nhiều dạng, chúng ánh xạ các vectơ trong nhiều loại không gian vectơ, vì thế vectơ riêng cũng có thể có nhiều dạng. Ví dụ, biến đổi tuyến tính có thể là một toán tử vi phân như , trong trường hợp này các vectơ riêng là các hàm được gọi là hàm riêng được nhân thêm bởi toán tử vi phân đó, chẳng hạn

Ngoài ra, biến đổi tuyến tính có thể có dạng một ma trận n × n, trong trường hợp này các vectơ là các ma trận cột n × 1. Nếu biến đổi tuyến tính được biểu diễn dưới dạng ma trận A cỡ n × n thì phương trình giá trị riêng ở trên có thể được viết lại dưới dạng phép nhân ma trận

trong đó vectơ riêng v là một ma trận cột n × 1. Đối với ma trận, các vectơ riêng và giá trị riêng có thể được sử dụng vào việc phân rã ma trận—ví dụ bằng cách chéo hóa nó.

Giá trị riêng và vectơ riêng làm phát sinh nhiều khái niệm toán học có liên quan chặt chẽ, và chữ riêng hay tiền tố eigen- dùng để đặt tên chúng:

• Tập hợp các vectơ riêng của một biến đổi tuyến tính, mỗi vectơ được ghép cặp với giá trị riêng tương ứng, được gọi là hệ riêng của biến đổi đó.
• Tập hợp tất cả vectơ riêng của biến đổi T tương ứng với cùng một giá trị riêng, cùng với vectơ không, được gọi là một không gian con riêng, hay không gian con đặc trưng tương ứng với giá trị riêng đó của T.
• Nếu một tập hợp các vectơ riêng của T tạo thành một cơ sở của không gian miền xác định của T thì cơ sở này được gọi là một cơ sở riêng của T.

I. Giá trị riêng, vector riêng của ma trận

Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Số λ gọi là trị riêng của A nếu phương trình Ax = λx.

Khi đó: Vectơ x ≠ θ này được gọi là vector riêng của A ứng trị riêng λ.

Ví dụ: Cho ma trận (A = begin{pmatrix}
3 & 0 \
0 & 1
end{pmatrix})

Giải

Ta có: A(1,0) = (begin{pmatrix}
3 & 0 \
0 & 1
end{pmatrix}(1,0)=(3,0)=3(1,0))

Do đó, λ = 3 là một trị riêng của a và x = (1,0) là một vector riêng ứng với trị riêng λ = 3.

Lưu ý:

• Nếu x là vectơ riêng của A ứng trị riêng λ thì kx (0≠k∈R) cũng là vectơ riêng của A ứng trị riêng λ.
• Ma trận 0 chỉ có giá trị riêng λ = 0.
• Ma trận đơn vị chỉ có trị riêng λ = 1.
• Vectơ riêng phải là vectơ khác 0.

>>>Xem thêm: ánh xạ tuyến tính

II. Các tìm giá trị riêng và vecto riêng của ma trận

Tìm trị riêng của ma trận

Ax=kx

<=> Ax – kx=0 <=>(A-k)x=0

Để hệ trên có nghiệm x≠0

=> hệ trên vô số nghiệm

=> det(A-kI)=0

Liên quan

• tính định thức ma trận
• nghiệm tầm thường và nghiệm không tầm thường

Tìm vector riêng của ma trận

Với mỗi k tìm được, giải hệ (A-kI)x=0 và tìm nghiệm x khác 0 của hệ đó.

Tóm tắt cách tìm trị riêng và vectơ riêng

Bước 1: Viết ma trận A.

Bước 2: Tính đa thức đặc trưng: P (λ) = det(A – λI).

Bước 3: Giải phương trình P(λ) = 0. Ta được các nghiệm. Đó chính là các trị riêng cần tìm.

Bước 4: Lần lượt thay các nghiệm vào để giải hệ phương trình (A – λI)X = 0. Nghiệm của hệ chính là các vector riêng tương ứng cần tìm.

>> đọc thêm: hệ phương trình tuyến tính

elearning.tcu.edu.vn › 51_gi_tr_ring_vector_ring_ca_ma_trn, vi.wikipedia.org › wiki › Giá_trị_riêng_và_vectơ_riêng, ttnguyen.net › gia-tri-rieng, thunhan.wordpress.com › dai-so-tuyen-tinh › tri-rieng-vecto-rieng, matrixcalc.org › vectors, www.youtube.com › watch, www.youtube.com › watch, www.youtube.com › watch, minhng.info › toan-hoc › ma-tran-tri-rieng-vector-rieng, lop12.net › Toán Học Lớp 12 › Giải Tích Lớp 12, Tìm giá trị riêng của ma trận bằng máy tính, Tìm giá trị riêng của ma trận 2×2, tìm giá trị riêng của ma trận 3×3, Tìm giá trị riêng của ma trận online, Tìm trị riêng và vector riêng của ma trận, Bài tập tìm giá trị riêng và vectơ riêng, Tìm trị riêng của ma trận vuông cấp 3, Cách tìm cơ sở của không gian riêng của ma trận