Cao đẳng Đại học Đào tạo liên thông Thông tin tuyển sinh

Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Oxyz – Thông tin tuyển sinh đào tạo Đại học Cao đẳng

Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Oxyz đang là thông tin được nhiều người quan tâm tìm hiểu để lựa chọn theo học sau nhiều đợt giãn cách kéo dài do dịch. Website BzHome sẽ giới thiệu cho bạn những thông tin mới nhất chính xác nhất về Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Oxyz trong bài viết này nhé!

Nội dung chính

Video: Góc giải trí from YouTube · Duration: 30 seconds · 4.9K views · uploaded on 1 month ago · uploaded by Seven Le Vlog · Click to play.

Bạn đang xem video Góc giải trí from YouTube · Duration: 30 seconds · 4.9K views · uploaded on 1 month ago · uploaded by Seven Le Vlog · Click to play. mới nhất trong danh sách Thông tin tuyển sinh được cập nhật từ kênh Seven Le Vlog từ ngày 1 month ago với mô tả như dưới đây.

Một số thông tin dưới đây về Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Oxyz:

1. Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Oxyz

Đối với 1 đường thẳng và 1 mặt phẳng song song với nhau hay 1 đường thẳng nằm trong một mặt phẳng thì góc giữa chúng là 0.

Đối với 1 đường thẳng d và 1 mặt phẳng (P) cắt nhau tại điểm G: Ta sẽ lấy một điểm M bất kì trên đường thẳng đó, từ m hạ vuông góc xuống mặt phẳng (P). Khi đó góc widehat{MGM’} chính là góc giữa d và (P) (Xem hình bên dưới).

Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Một số lưu ý khi xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn là góc không tù (0 leq alpha leq 90^o.
Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi góc giữa chúng là 90^o.

2. Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Oxyz

Để tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Oxyz, ta sẽ dựa vào VTPT của mặt phẳng và VTCP của đường thẳng đó. Khi đó sin của góc alpha giữa đường thẳng và mặt phẳng sẽ được tính theo công thức sau:

Công thức tình góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Oxyz

sin alpha =frac{|vec u_d . vec n_P|}{|vec u_d|.|vec n_P|}=frac{|Aa+Bb+Cc|}{sqrt{A^2+B^2+C^2}.sqrt{a^2+b^2+c^2}}

Trong đó:
vec u_d=(a,b,c) là VTCP của d.
vec n_P=(A,B,C) là VTPT của (P).
Phương trình đường thẳng d có dạng: frac{x-x_0}{a}=frac{y-y_0}{b}=frac{z-z_0}{c}.
Phương trình (P) có dạng: Ax+By+Cz+D=0.

Khi mà ta đã xác định được sin alpha thì việc tìm alpha không có gì khó nữa. Xem ví dụ dưới đây để hiểu rõ hơn nhé!

Tính góc tạo bởi đường thẳng d có phương trình frac{x-3}{2}=frac{y}{3}=-z và mặt phẳng (P) có phương trình 2x-y+2z-5=0.

Đường thẳng d có VTCP vec u_d=(2,3,-1).
Mặt phẳng (P) có VTPT vec n_d=(2,-1,2)
Góc alpha giữa đường thẳng d và (P) là:
sin alpha =frac{|vec u_d . vec n_P|}{|vec u_d|.|vec n_P|}=frac{|Aa+Bb+Cc|}{sqrt{A^2+B^2+C^2}.sqrt{a^2+b^2+c^2}}=frac{|2.2+3.(-1)+(-1).2|}{sqrt{2^2+3^2+(-1)^2} sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}=frac{sqrt {14}}{42}.

3. Bài tập góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Oxyz

Làm ngay những bài tập dưới đây để ghi nhớ lâu hơn các công thức vừa học ở trên nhé!

Bài 1. Tính góc tạo bởi đường thẳng d có phương trình frac{x-2}{-1}=frac{-y}{2}=z và mặt phẳng (P) có phương trình x-2y+z-2=0.

Bài 2. Tính góc tạo bởi đường thẳng d có phương trình frac{x-1}{2}=frac{2-y}{3}=frac{z}{2} và mặt phẳng (P) có phương trình 2x-2y+3z-1=0.

Bài 3. Tính góc tạo bởi đường thẳng d có phương trình frac{-x+2}{-4}=frac{y-4}{2}=frac{1+z}{3} và mặt phẳng (P) có phương trình 3x-4y+z+1=0.

Bài 4. Tính góc tạo bởi đường thẳng d có phương trình frac{-x-5}{-5}=frac{y}{-2}=z-1 và mặt phẳng (P) có phương trình 2y+z-2=0.

Bài 5. Tính góc tạo bởi đường thẳng d có phương trình frac{x-2}{-3}=frac{-y}{-1}=z-2 và mặt phẳng (P) có phương trình x-3z-5=0.

Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Oxyz – bài tập áp dụng. Nếu các bạn thấy hay và bổ ích, hãy chia sẻ cho bạn bè của mình để cùng nhau học thật giỏi. Đừng quên để lại 1 like, 1 cmt dể tạo động lực cho HocThatGioi và giúp HocThatGioi ngày càng phát triển hơn nhé! Chúc các bạn học thật tốt!

Bài viết khác liên quan đến Lớp 12 – Toán – Phương trình đường thẳng trong không gian

Phương trình đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu trong không gian Oxyz hay chi tiết nhất
Phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz – Góc và khoảng cách giữa đường thẳng
Cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian Oxyz – bài tập áp dụng
Cách viết phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz – bài tập áp dụng
Hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng lên mặt phẳng trong không gian Oxyz
Quan hệ vuông góc và song song của đường thẳng, mặt phẳng trong không gian
Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian siêu chi tiết.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cực chi tiết và dễ hiểu.
Cách tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian Oxyz-bài tập áp dụng
Cách tính góc giữa 2 đường thẳng trong không gian Oxyz – bài tập áp dụng
Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng với mặt cầu trong không gian Oxyz
Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian siêu dễ.

A. Lý thuyết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, có đường thẳng a và mặt phẳng (Q)

1. Định nghĩa

Gọi a’ là hình chiếu của a xuống mặt phẳng (Q), góc φ được tạo bởi giữa hai đường thẳng a và a’ chính là góc của đường thẳng a và mặt phẳng (Q).

Nếu a ⊥ (Q) thì $widehat {left( {a,left( Q right)} right)}$ = 90⁰.
Góc tạo bởi giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn thỏa mãn: 0⁰ ≤ $widehat {left( {a,left( Q right)} right)}$ ≤ 90⁰.

2. Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong hình học 11

Để xác định được góc giữa mặt phẳng (Q) và đường thẳng a thì ta làm như sau:

Bước 1: Tìm giao điểm O = a ∩ (Q)
Bước 2: Dựng hình chiếu A’ của một điểm A ∈ a xuống (Q)
Bước 3: Góc (widehat {AOA’} = varphi ) chính là góc giữa đường thẳng a và (Q).

Để dựng hình chiếu A’ của điểm A trên (Q) ta chọn một đường thẳng b ⊥ (Q) khi đó AA’ // b.

Để tính góc φ ta sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ΔOAA’

2. Công thức xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong hình học 12

Công thức: $sinvarphi = sin left( {widehat {a,(Q)}} right) = left| {cos left( {overrightarrow n ;overrightarrow u } right)} right| = frac{{left| {vec u.vec n} right|}}{{left| {vec u} right|left| {vec n} right|}}$

Trong đó:

${overrightarrow n }$ là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q).
${overrightarrow u }$ là vecto chỉ phương của đường thẳng a.

Nếu như VTPT của (Q): ${overrightarrow n }$ = ( A; B; C) và VTCP của a: ${overrightarrow u }$ = ( a; b; c) thì góc được xác định theo công thức:

[sinvarphi = frac{{left| {A.a + B.b + C.c} right|}}{{sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} (*)]

B. Bài tập có lời giải chi tiết

Bài tập 1. Cho đường thẳng a: $frac{{x + 1}}{{ – 3}} = frac{{y + 5}}{1} = frac{{z – 1}}{2}$ và mặt phẳng (Q): x – 2y + z + 4 = 0. Hãy tính góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (Q).

Hướng dẫn giải

Theo đề bài:

đường thẳng a có vecto chỉ phương: ${overrightarrow u }$ = ( – 3; 1; 2)
mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến: ${overrightarrow n }$ = ( 1; – 2; 1)

Góc giữa mặt phẳng (Q) và đường thẳng a:

$sinvarphi = frac{{left| {1.left( { – 3} right) + left( { – 2} right).1 + 1.2} right|}}{{sqrt {{1^2} + {{left( { – 2} right)}^2} + {1^2}} .sqrt {{{left( { – 3} right)}^2} + {1^2} + {2^2}} }} = frac{{sqrt {21} }}{{14}}$

Kết luận: φ ≈ 19⁰.

Bài tập 2. Trong không gian Oxyz có đường thẳng d: $left{ {begin{array}{*{20}{l}} {x = 2 – t}\ {y = 1 – 2t}\ {z = – 3 + t} end{array}} right.$ và mặt phẳng (Q): – x + y – 2z + 3 = 0. Tìm m để góc tạo bởi a và (Q) bằng 30⁰.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài:

đường thẳng a có vecto chỉ phương: ${overrightarrow u }$ = ( – 1; – 2; 1)
mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến: ${overrightarrow n }$ = ( – 1; 1; – 2)

Áp dụng công thức (*):

$sinvarphi = frac{{left| {left( { – 1} right).left( { – 1} right) + 1.left( { – 2} right) + left( { – 2} right).1} right|}}{{sqrt {{{left( { – 1} right)}^2} + {{left( 1 right)}^2} + {{left( { – 2} right)}^2}} .sqrt {{{left( { – 1} right)}^2} + {{left( { – 2} right)}^2} + {1^2}} }} = frac{1}{2}$

Kết luận: φ = 30⁰.

Bài tập 3. Trong không gian Oxyz có 1 đường thẳng a và mặt phẳng (P). Biết phương trình đường thẳng d: $left{ begin{array}{l} x = 2 – mt\ y = 1 – 2t\ z = – 3 + t end{array} right.$ và phương trình mặt phẳng (Q): – x + y – 2z + 3 = 0. Tìm m để góc tạo bởi a và (Q) bằng 30⁰.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài:

đường thẳng a có vecto chỉ phương: ${overrightarrow u }$ = ( – m; – 2; 1)
mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến: ${overrightarrow n }$ = ( – 1; 1; – 2)
$widehat {a,(Q)} = {30^0}$ $ Rightarrow sin left( {widehat {a,(Q)}} right)$$ = sin left( {{{30}^0}} right) = frac{1}{2}$

Áp dụng công thức (*):

$frac{1}{2} = frac{{left| {left( { – 1} right).left( { – m} right) + 1.left( { – 2} right) + left( { – 2} right).1} right|}}{{sqrt {{{left( { – 1} right)}^2} + {{left( 1 right)}^2} + {{left( { – 2} right)}^2}} .sqrt {{{left( { – m} right)}^2} + {{left( { – 2} right)}^2} + {1^2}} }}$
$ Leftrightarrow frac{1}{2} = frac{{left| {m – 4} right|}}{{sqrt 6 .sqrt {{m^2} + 5} }} Rightarrow left[ begin{array}{l} m = 1\ m = – 17 end{array} right.$

Hướng dẫn tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong oxyz đơn giản và chi tiết

1. Lý thuyết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

1.1. Định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Nếu đường thẳng $alpha$ vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói góc giữa đường thẳng $alpha$ và mặt phẳng (P) bằng 90^o.
Nếu đường thẳng $alpha$ không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa $alpha$ và hình chiếu $alpha$’ của nó trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng $alpha$ và mặt phẳng (P).

1.2. Ký hiệu góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Nếu $alpha perp$ (P) thì $(widehat{alpha,(P)})=90^{0}$.

Nếu $alpha$ không vuông góc với (P) thì $(widehat{alpha ,alpha’})$ với $alpha’$ là hình chiếu của trên (P).

Chú ý: $0^{0} leq (widehat{alpha,(P)})leq 90^{0}$.

Nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài toán THPT với bộ bí kíp độc quyền của VUIHOC ngay

2. Hướng dẫn cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

2.1. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng phương pháp vectơ

Gọi vectơ u = (a;b) là vectơ chỉ phương của đường thẳng a.
Gọi = $widehat{a,(P)}$, (P) là vectơ pháp tuyến của (P).

=> sin $alpha$ = sin $(widehat{alpha,(P)})$ = $frac{|vec{u}.vec{n}|}{|vec{u}|.|vec{n}|}$ = $frac{|a.A + b.B|}{sqrt{a^{2}}+b^{2}sqrt{A^{2}+B^{2}}}$

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD bằng nhau và vuông góc với nhau đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Góc giữa AC và (BCD) là góc ACB

B. Góc giữa AD và (ABC) là góc ADB

C. Góc giữa AC và (ABD) là góc CAB

D. Góc giữa CD và (ABD) là góc CBD

Giải:

Từ giả thiết ta có:

AB$perp$ BC hoặc AB$perp$ CD ⇒ AB$perp$ (BCD)

⇒ (AC,(BCD))= ACB

⇒ Chọn đáp án: A

2.2. Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng phương pháp hình học

Tìm I = $dcap$ (P)
Tìm A thuộc d kẻ AH vuông góc với (P)
(d, (P)) = $widehat{AIH}$

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo góc giữa SA và (ABC).

A. $60^{0}$

B. $90^{0}$

C. $45^{0}$

D. $30^{0}$

Lời giải:

Do H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) nên SH$perp$ (ABC)

Vậy AH là hình chiếu của SH lên mp(ABC)

(SA, (ABC)) = (SA, AH) = $widehat{SAH}$

Ta có: SH$perp$ (ABC) => SH$perp$ AH

Mà: ⩟ ABC = ⩟ SBC => SH=AH

Vậy tam giác SAH vuông cân tại H => $widehat{SAH} = 45^{0}$

=> Chọn C

Hãy để hình học không gian không còn là nỗi sợ hãi với giải pháp PAS THPT

3. Bài tập trắc nghiệm minh họa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng từ cơ bản đến nâng cao

Câu 1. Cho hình thoi ABCD có tâm O, AC = 2a; BD = 2AC. Lấy điểm S không thuộc (ABCD) sao cho SOperp (ABCD). Biết tan (SBO) = ½. Tính số đo của góc giữa SC và (ABCD):

A. $30^{0}$

B. $45^{0}$

C. $60^{0}$

D. $90^{0}$

Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm BC. Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC):

A. $30^{0}$

B. $45^{0}$

C. $60^{0}$

D. $75^{0}$

Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có SAperp (ABC) và tam giác ABC không vuông. Gọi H, K lần lượt là trực tâm tam giác ABC và tam giác SBC. Số đo góc tạo bởi SC và (BHK) là:

A. $45^{0}$

B. $120^{0}$

C. $90^{0}$

D. $65^{0}$

Câu 4. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao AH vuông góc với mp (ABCD). Gọi là góc giữa BD và mp (SAD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. $alpha =60^{0}$

B. $alpha =30^{0}$

C. $cos alpha =frac{sqrt{6}}{4}$

D. $sin alpha =frac{sqrt{6}}{4}$

Câu 5. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAperp (ABCD), SA = asqrt{6}. Gọi alpha là góc giữa SC và mp (ABCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. $alpha = 60^{0}$

B. $alpha = 30^{0}$

C. $alpha = 45^{0}$

D. $cos alpha =frac{sqrt{3}}{3}$

Câu 6. Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ cạnh a. Gọi alpha là góc giữa AC và mp ( A’BCD’). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. $alpha = 30^{0}$

B. $alpha = 45^{0}$

C. $tanalpha=frac{2}{sqrt{3}}$

D. $tanalpha =sqrt{2}$

Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), góc giữa cạnh SC và mặt phẳng (ABCD) là?

A. $tanbeta =sqrt{2}$

B. $tanbeta =sqrt{5}$

C. $tanbeta =3$

D. $tanalpha =2$

Câu 8. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD=2a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa SC và đáy ABCD bằng 60^{0}. Tính độ dài SA?

A. SA = $asqrt{5}$

B. SA = $asqrt{3}$

C. SA = $asqrt{15}$

D. SA = $asqrt{13}$

Câu 9. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B biết AB=BC=a, AD=2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Tính độ dài SA để góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45^{0}.

A. SA = $asqrt{5}$

B. SA = $asqrt{3}$

C. SA = $asqrt{6}$

D. SA = $asqrt{2}$

Câu 10. Cho hình chóp SABC có SA = a, SA vuông góc với đáy, ABC là tam giác vuông cân tại B, góc widehat{ACB}=30^{0}, AC = 2a. Tính tanalpha góc giữa SC và mặt phẳng (SAB).

A. $tanalpha =frac{sqrt{5}}{2}$

B. $tanalpha =frac{sqrt{6}}{2}$

C. $tanalpha =frac{1}{2}$

D. $tanalpha =frac{3}{2}$

Trên đây là toàn bộ kiến thức cơ bản và tổng hợp đầy đủ về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong hình học không gian. Hy vọng rằng sau bài viết này, các em học sinh có thể giải các bài tập từ cơ bản đến nâng cao thật thành thục. Để học và ôn tập nhiều hơn những phần kiến thức và công thức toán hình 12 phục vụ ôn thi THPT QG, truy cập Vuihoc.vn và đăng ký khóa học ngay từ hôm nay nhé!

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

>> Xem thêm:

Lý thuyết phương trình mặt phẳng trong không gian và bài tập
Cách viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
Góc giữa 2 mặt phẳng: Định nghĩa, cách xác định và bài tập
Lý thuyết phương trình mặt cầu và các dạng bài tập

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng oxyz

Cho đường thẳng có 1 VTCP

(P) có 1 VTPT

không vuông góc với (P)

Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Để xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng αta thực hiện theo các bước sau:

Tìm giao điểm
Dựng hình chiếu A’ của một điểm xuống α
Góc chính là góc giữa đường thẳng a và α.

Lưu ý:

Để dựng hình chiếu A’ của điểm A trên α ta chọn một đường thẳng khi đó .

Để tính góc ta sử dung hệ thức lượng trong tam giác vuông . Ngoài ra nếu không xác định góc thì ta có thể tính góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng α theo công thức trong đó là VTCP của a còn là vec tơ có giá vuông góc với α.

Ví dụ bài tập tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC = a. Trên đường thẳng qua A vuông góc với (ABC) lấy điểm S sao cho SA=a6√2. Tính số đo góc giữa đường thẳng SA và (ABC).

Lời giải:

Ví dụ 2: Cho và . Tính góc giữa và (P)
Lời giải:
có 1 VTCP
(P) có 1 VTCP

Ví dụ 3: Cho . Tìm m để
Lời giải:
có 1 VTCP
(P) có 1 VTCP

Ví dụ 4: Cho đường thẳng d1 là giao tuyến của hai mặt phẳng . Viết phương trình (P) chứ d1 và tạo một góc 600
Lời giải:
(P) chứa giao tuyến 2 mặt phẳng nên có phương trình

(P) có 1 VTCP
d2 có 1 VTCP

TH1:

TH2:
m = -n chọn m = 1, n = -1
pt (P): x – z = 0
KL:
x +y – 2 = 0
x – z = 0
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!

GIỚI THIỆU BÀI HỌC

NỘI DUNG BÀI HỌC

I. Lý thuyết
Cho đường thẳng (Delta) có 1 VTCP (overrightarrow{u}=(a;b;c))

(P) có 1 VTPT (overrightarrow{n}=(A;B;C))
(Delta perp (P)rightarrow (widehat{Delta ;(P)})=90^0)
(Delta) không vuông góc với (P)
(sin(widehat{Delta ;(P)})=left | cos(overrightarrow{n};overrightarrow{u}) right |= frac{left | Aa+Bb+Cc right |}{sqrt{A^2+B^2+C^2}.sqrt{a^2+b^2+c^2}})
II. Bài tập
VD1: Cho (Delta :frac{x-3}{1}=frac{y-4}{2}=frac{z+3}{-1}) và ((P): 2x+y+z-1=0). Tính góc giữa (Delta) và (P)
Giải
(Delta) có 1 VTCP (overrightarrow{u}=(1;2;-1))
(P) có 1 VTCP (overrightarrow{n}=(2;1;1))
(sinwidehat{(Delta ;(P)})=left | cos(overrightarrow{u};overrightarrow{n}) right |=frac{left | 1.2+2.1+(-1).1 right |}{sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}.sqrt{2^2+1^2+1^2}})
(=frac{3}{6}=frac{1}{2})
(Rightarrow (widehat{Delta ;(P)})=30^0)
VD2: Cho (Delta left{begin{matrix} x=1+mt\ y=-1+2t\ z=3+3t end{matrix}right. (P): 2x-y+2z+1=0). Tìm m để ((widehat{Delta ;(P)})=45^0)
Giải
(Delta) có 1 VTCP (overrightarrow{u}=(m;2;3))
(P) có 1 VTCP (overrightarrow{n}=(2;-1;2))
((widehat{Delta ;(P)})=45^0Leftrightarrow sin(widehat{Delta ;(P)})=frac{sqrt{2}}{2})
(Leftrightarrow left | cos(overrightarrow{u};overrightarrow{n}) right |=frac{sqrt{2}}{2})
(Leftrightarrow frac{left | 2m-2+6 right |}{sqrt{m^2+2^2+3^2}.sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}} =frac{sqrt{2}}{2})
(Leftrightarrow sqrt{2}left | 2m+4 right |=3sqrt{m^2+13})
(Leftrightarrow 2(4m^2+16m+16)=9(m^2+13))
(Leftrightarrow m^2-32m+85=0)
(Delta ‘=256-85=171)
(Leftrightarrow bigg lbrackbegin{matrix} 16-sqrt{171}\ 16+sqrt{171} end{matrix})
VD3: Cho đường thẳng d₁ là giao tuyến của hai mặt phẳng (x+y-2=0, y+z-2=0). Viết phương trình (P) chứ d₁ và tạo (d_2:frac{x-2}{2}=frac{y-3}{1}=frac{z+5}{-1}) một góc 60⁰
Giải
(P) chứa giao tuyến 2 mặt phẳng (x+y-2=0, y+z-2=0) nên có phương trình
(m(x+y-2)+n(y+z-2)=0 (m^2+n^2neq 0))
(Leftrightarrow mx+(m+n)y+nz-2m-2n=0)
(P) có 1 VTCP (overrightarrow{n}=(m;m+n;n))
d₂ có 1 VTCP (overrightarrow{u}=(2;1;-1))
((d_2;(P))=60^0Leftrightarrow sin(d_2;(P))=frac{sqrt{3}}{2})
(Leftrightarrow left | cos(overrightarrow{n};overrightarrow{u}) right |= frac{sqrt{3}}{2})
(Leftrightarrow frac{left | 2m+m+n-n right |}{sqrt{m^2+(m+n)^2+n^2}.sqrt{2^2+1^2+(-1)^2 }}=frac{sqrt{3}}{2})
(Leftrightarrow frac{3left | m right |}{sqrt{2m^2+2n^2+2mn}.sqrt{6}}=frac{sqrt{3}}{2})
(Leftrightarrow sqrt{2}left | m right |=sqrt{2m^2+2n^2+2mn})
(Leftrightarrow m^2=m^2+n^2+mn)
(Leftrightarrow n(m+n)=0)
TH1:
(n=0 pt (P): x+y-2=0)
TH2:
m = -n chọn m = 1, n = -1
pt (P): x – z = 0
KL:
x +y – 2 = 0
x – z = 0

ĐĂNG KÝ NHẬN EMAIL

ĐĂNG KÝ EMAIL nhận thông tin bài giảng video, đề thi và ưu đãi đặc biệt từ HỌC247

Hotline: 0973 686 401
/Email: support@hoc247.vn

Chịu trách nhiệm nội dung: Nguyễn Công Hà – Giám đốc Công ty CP Giáo Dục Học 247

I. CÁCH GIẢI GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG OXYZ

Góc giữa đường thẳng $d$ có véctơ chỉ phương ${{vec{u}}_{d}}=(a;b;c)$ và mặt phẳng $(P)$ có véctơ pháp tuyến ${{vec{n}}_{(P)}}=(A;B;C)$ được xác định bởi công thức:

với $0{}^circ <alpha <90{}^circ .$

II. BÀI TẬP MẪU GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG OXYZ

Bài tập 1: Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $left( P right)$

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$,cho đường thẳng $d:left{ begin{align}& x=0 \& y=3-t \& z=t \end{align} right.$.Gọi $left( P right)$là mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ và tạo với mặt phẳng $left( Oxy right)$ một góc $45{}^circ $.Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $left( P right)$?

A. $Mleft( 3,;,2,;,1 right)$. B. $Nleft( 3,;,2,;,-1 right)$. C. $Pleft( 3,;,-1,;,2 right)$. D. $Mleft( 3,;,-,1;,-2 right)$.

Lời giải

Chọn A

Ta viết phương trình đường thẳng $d$:$left{ begin{align} & x=0 \ & y+z-3=0 \end{align} right.$.

Mặt phẳng $left( P right)$chứa đường thẳng $d$nên có dạng: $mx+nleft( y+z-3 right)=0,{{m}^{2}}+{{n}^{2}}ne 0$

$Leftrightarrow mx+ny+nz-3n=0Rightarrow left( P right)$ có một véc tơ pháp tuyến là $overrightarrow{{{n}_{P}}}=left( m,;,n,;,n right)$.

Mặt phẳng $left( Oxy right)$có một véc tơ pháp tuyến là $overrightarrow{k}=left( 0,;,0,;,1 right)$.

Ta có: $cos left( left( P right);left( Oxy right) right)=left| cos left( overrightarrow{{{n}_{P}}};overrightarrow{k} right) right|Leftrightarrow cos 45{}^circ =frac{left| overrightarrow{{{n}_{P}}}.overrightarrow{k} right|}{left| overrightarrow{{{n}_{P}}} right|.left| overrightarrow{k} right|}Leftrightarrow frac{1}{sqrt{2}}=frac{left| n right|}{sqrt{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{n}^{2}}}}$

$Leftrightarrow sqrt{{{m}^{2}}+2{{n}^{2}}}=sqrt{2}left| n right|Leftrightarrow {{m}^{2}}=0Leftrightarrow m=0$.

Chọn $n=1Rightarrow left( P right):y+z-3=0$.

Do đó: $Mleft( 3 ;,2,;1 right)in left( P right)$.

Bình luận: Đối với những bài toán viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng cho trước ta nên sử dụng khái niệm chùm mặt phẳng như sau: Mặt phẳng $left( alpha right)$ qua giao tuyến của hai mặt phẳng $left( P right):{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}z+{{d}_{1}}=0$và $left( Q right):{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}z+{{d}_{2}}=0$ có phương trình dạng

$mleft( {{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}z+{{d}_{1}} right)+nleft( {{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}z+{{d}_{2}} right)=0,{{m}^{2}}+{{n}^{2}}ne 0$.

Bài tập 2: Tìm Côsin của góc giữa $d$ và trục tung

Trong không gian $Oxyz,$ gọi $d$ là đường thẳng đi qua $O,$ thuộc mặt phẳng $left( Oyz right)$ và cách điểm $Mleft( 1;-2;1 right)$ một khoảng nhỏ nhất. Côsin của góc giữa $d$ và trục tung bằng

A. $frac{2}{5}$. B. $frac{1}{5}$. C. $frac{1}{sqrt{5}}$. D. $frac{2}{sqrt{5}}$.

Lời giải

Chọn D

Gọi $H,,K$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên mặt phẳng $left( Oyz right)$ và trên đường thẳng $d$.

Ta có: $dleft( M,d right)=MKge MH=1$, $Hleft( 0;,-2;,1 right)$.

Suy ra $dleft( M,d right)$ nhỏ nhất khi $Kequiv H$. Khi đó $d$ có một vecto chỉ phương là $overrightarrow{OH}=left( 0;,-2;,1 right)$.

$cos left( d,Oy right)=frac{left| overrightarrow{OH}.vec{j} right|}{left| overrightarrow{OH} right|left| {vec{j}} right|}=frac{2}{sqrt{5}}$.

Xem thêm: Lý thuyết và bài tập của phương trình đường thẳng trong không gian

Bài tập 3: Xác định tích $b.c$

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:frac{x-1}{2}=frac{y-2}{-2}=frac{z+1}{-1}$ và ${{d}_{2}}:left{ begin{align}& x=t \& y=0 \& z=-t \end{align} right.$. Mặt phẳng $left( P right)$ qua ${{d}_{1}}$, tạo với ${{d}_{2}}$ một góc $45{}^circ $ và nhận vectơ $overrightarrow{n}left( 1;,b;,c right)$ làm một vec tơ pháp tuyến. Xác định tích $b.c$.

A. $-4$. B. $4$. C. $4$ hoặc $0$. D. $-4$ hoặc $0$.

Lời giải.

$overrightarrow{{{u}_{1}}}=left( 2;,-2;,-1 right),,,overrightarrow{{{u}_{2}}}=left( 1;,0;,-1 right)$ lần lượt là vectơ chỉ phương của ${{d}_{1}},,,{{d}_{2}}$. Theo bài ra ta có

$left{ begin{align}& overrightarrow{n}.overrightarrow{{{u}_{1}}}=0 \& left| cos left( overrightarrow{n};,overrightarrow{{{u}_{2}}} right) right|=sin left( {{d}_{2}};,left( P right) right) \end{align} right.$$Leftrightarrow left{ begin{align} & 2.1+left( -2 right)b+left( -1 right)c=0 \ & frac{left| 1.1+0.b+left( -1 right)c right|}{sqrt{1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.sqrt{2}}=frac{1}{sqrt{2}} \end{align} right.$$Leftrightarrow left{ begin{align} & c=2-2b \ & {{left( c-1 right)}^{2}}=1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \end{align} right.$

$Leftrightarrow left{ begin{align} & b=2 \ & c=-2 \end{align} right.$.

Bài tập 4: Xác định tích $bc.$

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:frac{x-1}{2}=frac{y-2}{-2}=frac{z+1}{-1},$ ${{d}_{2}}:left{ begin{align}& x=t \& y=0 \& z=-t \end{align} right..$ Mặt phẳng $left( P right)$ qua ${{d}_{1}}$ tạo với ${{d}_{2}}$ một góc ${{45}^{0}}$ và nhận vectơ $vec{n}=left( 1;b;c right)$ làm một vectơ pháp tuyến. Xác định tích $bc.$

A. $-4$hoặc $0.$ B. $4$ hoặc $0.$ C. $-4$. D. $4$.

Lời giải

Ta có vectơ chỉ phương của ${{d}_{1}},text{ }{{d}_{2}}$ lần lượt là ${{vec{u}}_{1}}=left( 2;-2;-1 right)$ và ${{vec{u}}_{2}}=left( 1;0;-1 right)$.

Mặt phẳng $left( P right)$ qua ${{d}_{1}}Rightarrow vec{n}.{{vec{u}}_{1}}=0Leftrightarrow 2-2b-c=0.text{ }left( 1 right)$

$sin left( {{d}_{2}},left( P right) right)=frac{left| {{{vec{u}}}_{2}}.vec{n} right|}{left| {{{vec{u}}}_{2}} right|.left| {vec{n}} right|}=sin 45{}^circ Leftrightarrow frac{left| 1-c right|}{sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1}.sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2}Leftrightarrow left| 1-c right|=sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1}Leftrightarrow {{b}^{2}}+2c=0.left( 2 right)$ Từ $left( 1 right)$ và $left( 2 right)Rightarrow left{ begin{align} & b=2 \ & c=-2 \end{align} right.Rightarrow b.c=-4.$

Bài tập 5: Tìm phương trình đường thẳng ${Delta}$

Trong không gian tọa độ $text{O}xyz$ cho đường thẳng ${d : frac { x – 3 } { 2 } = frac { y + 2 } { 1 } = frac { z + 1 } { – 1 }}$, mặt phẳng ${( P ) : x + y + z + 2 = 0}$. Gọi ${M}$ là giao điểm của${d}$ và ${( P )}$. Gọi ${Delta}$ là đường thẳng nằm trong${( P )}$ vuông góc với ${d}$ và cách ${M}$một khoảng ${sqrt { 42 }}$. Phương trình đường thẳng ${Delta}$ là

A. ${frac { x – 5 } { 2 } = frac { y + 2 } { – 3 } = frac { z + 4 } { 1 }}$. B. ${frac { x – 1 } { – 2 } = frac { y + 1 } { – 3 } = frac { z + 1 } { 1 }}$.

C. ${frac { x – 3 } { 2 } = frac { y + 4 } { – 3 } = frac { z + 5 } { 1 }}$. D. Đáp án khác.

Lời giải

Chọn D

Gọi ${M = d cap ( P )}$. Suy ra ${M in d Rightarrow M ( 3 + 2 t ; – 2 + t ; – 1 – t ) ; M in ( P ) Rightarrow t = – 1 Rightarrow M ( 1 ; – 3 ; 0 )}$

${( P )}$ có véc tơ pháp tuyến là ${{vec{n}}_{P}}=(1;1;1)$. $d$có véc tơ chỉ phương ${{vec{a}}_{d}}=(2;1;-1)$. ${Delta}$có véc tơ chỉ phương [{{vec{a}}_{Delta }}=left[ {{{vec{a}}}_{d}},{{{vec{n}}}_{P}} right]=(2;-3;1)]. Gọi ${N ( x ; y ; z )}$ là hình chiếu vuông góc của ${M}$ trên ${Delta}$, khi đó ${M N = ( x – 1 ; y + 3 ; z )}$.

Ta có ${left{ begin{array} { l } { vec { M N } perp vec { a _ { Delta } } } \ { N in ( P ) } \ { M N = sqrt { 42 } } end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array} { l } { 2 x – 3 y + z – 11 = 0 } \ { x + y + z + 2 = 0 } \ { ( x – 1 ) ^ { 2 } + ( y + 3 ) ^ { 2 } + z ^ { 2 } = 42 } end{array} right.}$.

Giải hệ ta tìm được ${N ( 5 ; – 2 ; – 5 )}$và ${N ( – 3 ; – 4 ; 5 )}$.

Với ${N ( 5 ; – 2 ; – 5 )}$, ta có ${Delta : frac { x – 5 } { 2 } = frac { y + 2 } { – 3 } = frac { z + 5 } { 1 }}$.

Với ${N ( – 3 ; – 4 ; 5 )}$, ta có ${Delta : frac { x + 3 } { 2 } = frac { y + 4 } { – 3 } = frac { z – 5 } { 1 }}$.

Bài tập 6: Tính hoành độ đỉnh

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$,[widehat{ABC}={{30}^{0}}],$BC=3sqrt{2}$, đường thẳng $BC$ có phương trình $frac{x-4}{1}=frac{y-5}{1}=frac{z+7}{-4}$, đường thẳng $AB$ nằm trong mặt phẳng $left( alpha right):x+z-3=0$. Biết đỉnh $C$ có cao độ âm. Tính hoành độ đỉnh

A. $frac{3}{2}$. B. $3$. C. $frac{9}{2}$. D. $frac{5}{2}$.

Lời giải

Chọn C

Vì $Cin BC$ nên $Cleft( 4+t,;,5+t,;,-7-4t right)$.

$BC$ có véc tơ chỉ phương $overrightarrow{u}=left( 1,;,1,;,-4 right)$. Mặt phẳng $left( alpha right)$ có véc tơ pháp tuyến $overrightarrow{n}=left( 1,;,0,;,1 right)$.

Gọi $varphi $ là góc giữa $BC$ và $left( alpha right)$. Ta có $sin varphi =left| cos left( overrightarrow{u},;,overrightarrow{n} right) right|=frac{1}{2}Rightarrow varphi ={{30}^{0}}$. Tức là $A$ là hình chiếu của $C$ lên $left( alpha right)$.

Vậy $frac{3sqrt{2}}{2}=CA=dleft( C;left( alpha right) right)=frac{left| 4+t-7-4t-3 right|}{sqrt{2}}Leftrightarrow left[ begin{align} & t=-1 \ & t=-3 \end{align} right.$$Leftrightarrow left[ begin{align} & Cleft( 3,;,4,;-3 right) \ & Cleft( 1,;,2,;,5 right) \end{align} right.$

Mà $C$ có cao độ âm, suy ra $Cleft( 1,;,2,;,5 right)$.

Lúc này $AC$ qua $Cleft( 1,;,2,;,5 right)$ và có véc tơ chỉ phương $overrightarrow{n}=left( 1,;,0,;,1 right)$. Nên $Aleft( 3+t,;,4,;,-3+t right)$.

Mặt khác $A$ nằm trong mặt phẳng $left( alpha right):x+z-3=0Rightarrow t=frac{3}{2}Rightarrow {{x}_{A}}=frac{9}{2}$.

Như vậy, bên trên là tất cả những thông tin cần thiết về cách giải cũng như bài tập mẫu về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng oxyz mà các bạn không nên bỏ qua. Nếu như bạn có thắc mắc hay cần hỗ trợ thì đừng ngần ngại mà không liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được sự trợ giúp sớm nhất nhé!

Xem thêm:

Lý thuyết và bài tập của phương trình đường thẳng trong không gian

Định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong hệ tọa độ oxyz là gì?

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong hệ tọa độ oxyz được định nghĩa là góc phi (φ) được hình thành bởi đường thẳng và đường vuông góc của mặt phẳng với trục Oz. Công thức tính góc phi là cos(φ) = |N ⋅ d| / (|N| ⋅ |d|), trong đó N là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, d là vectơ hướng của đường thẳng.

Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong oxyz là gì?

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian tọa độ Oxyz được tính bằng công thức sau:
– Cho đường thẳng d có vector chỉ phương là u(x1, y1, z1) và mặt phẳng (P) có phương trình ax + by + cz + d = 0 (với a, b, c, d là hằng số).
– Tìm vector pháp t của mặt phẳng (P) bằng cách lấy vector a(xa, ya, za) trùng với phương trình mặt phẳng và đơn vị hóa nó: t = (xa, ya, za) / ||(xa, ya, za)||.
– Tính cosin của góc giữa đường thẳng d và vector pháp t bằng công thức: cos φ = |u·t|/||u|| ||t||. Với u·t là tích vô hướng của u và t, ||u|| và ||t|| lần lượt là độ dài của u và t.
– Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng công thức: φ = arccos(cos φ). Góc này được tính theo đơn vị radian hoặc độ tùy theo yêu cầu đề bài.
Ví dụ:
Cho đường thẳng d đi qua điểm A(1, 2, -1) và có vector chỉ phương u(2, -1, 3). Tìm góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) có phương trình x + 2y – z + 1 = 0 trong hệ tọa độ Oxyz.
– Vector pháp t của mặt phẳng (P) là t(1, 2, -1) (vì phương trình mặt phẳng có tích vô hướng với t là 1 + 4 – 1 = 4).
– Tính độ dài của u và t: ||u|| = sqrt(2^2 + (-1)^2 + 3^2) = sqrt(14), ||t|| = sqrt(1^2 + 2^2 + (-1)^2) = sqrt(6).
– Tính cos φ: cos φ = |u·t|/||u|| ||t|| = |2 – 2 – 3|/(sqrt(14) sqrt(6)) = 7/(2sqrt(21)). Do đó, φ = arccos(7/(2sqrt(21))) khoảng 17.7 độ (theo đơn vị độ).

Làm thế nào để xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian ba chiều?

Để tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian ba chiều, chúng ta sử dụng công thức sau đây:
cos φ = |(AB ⃗ .n⃗)| / |AB ⃗|
Trong đó:
– AB ⃗ là vector hướng của đường thẳng
– n⃗ là vector pháp tuyến của mặt phẳng
– |.| là độ dài vector
Bước 1: Tìm vector hướng AB ⃗ của đường thẳng. Để làm điều này, ta chọn hai điểm A và B trên đường thẳng và tính vector AB ⃗ bằng cách lấy hiệu giữa hai vector tọa độ với nhau: AB ⃗ = (x₂ – x₁) i + (y₂ – y₁) j + (z₂ – z₁) k
Bước 2: Tìm vector pháp tuyến n⃗ của mặt phẳng. Để làm điều này, ta cần biết phương trình của mặt phẳng. Ví dụ, nếu mặt phẳng có phương trình ax + by + cz + d = 0, thì vector pháp tuyến của mặt phẳng là n⃗ = ai + bj + ck.
Bước 3: Tính tích vô hướng AB ⃗ . n⃗ để tìm cos φ: AB ⃗ . n⃗ = |AB ⃗ | . |n⃗ | . cos φ
Bước 4: Tính độ dài vector AB ⃗ để tìm giá trị của cos φ: |AB ⃗ | = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² + (z₂ – z₁)²)
Bước 5: Tính cos φ bằng cách thay vào công thức phía trên.
Bước 6: Tính góc φ bằng cách lấy acos của cos φ: φ = acos(cos φ)
Lưu ý: Khi tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, kết quả phải là góc nhỏ hơn hoặc bằng 90°. Nếu kết quả là góc lớn hơn 90°, ta phải tính góc bù (180° – góc đó) để được góc nhỏ hơn 90°.

Ngoài những thông tin về chủ đề Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Oxyz này bạn có thể xem thêm nhiều bài viết liên quan đến Thông tin học phí khác tại đây nhé.

Vậy là chúng tôi đã cập nhật những thông tin hot nhất, được đánh giá cao nhất về Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Oxyz trong thời gian qua, hy vọng những thông tin này hữu ích cho bạn.

Cảm ơn bạn đã ghé thăm. Hãy thường xuyên truy cập chuyên mục Thông tin sự kiện để update thêm nhé! Hãy like, share, comment bên dưới để chúng tôi biết được bạn đang cần gì nhé!