Hàm Mật Độ Xác Suất – Thông tin tuyển sinh đào tạo Đại học Cao đẳng

Bạn đang xem video Đề thi xác suất thống kê 29062018ÐHTCKT mới nhất trong danh sách Thông tin tuyển sinh được cập nhật từ kênh TOÁN ĐẠI HỌC từ ngày 2018-07-09 với mô tả như dưới đây.

Giải thích đơn giản[sửa | sửa mã nguồn]

Một hàm mật độ xác suất là một hàm bất kỳ f(x) mô tả mật độ xác suất theo biến đầu vào x theo cách dưới đây.

• f(x) lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi giá trị của x
• Tổng diện dích bên dưới đồ thị là 1:

Khi đó xác suất thực sự của x có thể được tính bằng cách lấy tích phân của hàm f(x) theo khoảng tích phân của biến đầu vào x.

Ví dụ: biến x trong đoạn [4.3,7.8] sẽ có xác suất thực sự là

Biến ngẫu nhiên[sửa | sửa mã nguồn]

Một biến ngẫu nhiên, x, tuân theo hàm mật độ xác suất f(x) có liên hệ với biến ngẫu nhiên đều (có hàm mật độ xác suất là hằng số) y trong khoảng [0,1] thông qua công thức:

x == F^-1(y)

Trong đó F(t) là hàm phân bố tích lũy ứng với f(x):

và F⁻¹(t) là hàm ngược của F(t).

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

• hàm khả năng (likelihood function)
• ước lượng mật độ (density estimation)
• hàm mật độ xác suất điều kiện (conditional probability density function)

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Định nghĩa hàm mật độ xác suất

Hàm mật độ xác suất (PDF) là hàm xác suất được biểu thị cho mật độ của một biến ngẫu nhiên liên tục nằm giữa một phạm vi giá trị nhất định. Nó còn được gọi là hàm phân phối xác suất hay chỉ là hàm xác suất. Tuy nhiên, trong nhiều nguồn khác, hàm này được phát biểu là hàm trên một tập hợp giá trị chung hoặc đôi khi nó được gọi là hàm phân phối tích lũy hoặc đôi khi là hàm khối lượng xác suất (PMF). Nhưng sự thật thực tế là PDF được xác định cho các biến ngẫu nhiên liên tục trong khi PMF được xác định cho các biến ngẫu nhiên rời rạc.

Hàm mật độ xác suất được định nghĩa dưới dạng tích phân của mật độ biến thiên trên một phạm vi nhất định. Nó được ký hiệu là f (x). Hàm này dương hoặc không âm tại bất kỳ điểm nào của đồ thị và tích phân của PDF trên toàn bộ không gian luôn bằng một.

Công thức hàm mật độ xác suất

Trong trường hợp một biến ngẫu nhiên liên tục, xác suất lấy của X trên một giá trị x nào đó luôn là 0. Trong trường hợp này, nếu chúng ta tìm thấy P (X = x), nó không hoạt động. Thay vì điều này, chúng ta yêu cầu tính xác suất X nằm trong khoảng (a, b). Bây giờ, chúng ta phải tính nó cho P (a <X <b). Điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng một tệp PDF. Công thức hàm phân phối xác suất được định nghĩa là,

P( a < X< b ) =∫baf( x )

Tính chất hàm mật độ xác suất

Gọi x là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ f (x), hàm phân phối xác suất cần thỏa mãn các điều kiện sau:

• Đối với một biến ngẫu nhiên liên tục nhận một số giá trị giữa các giới hạn nhất định, chẳng hạn a và b, và được tính bằng cách tìm diện tích dưới đường cong của nó và trục X, trong giới hạn dưới (a) và giới hạn trên (b), thì pdf được cung cấp bởi P( x ) =∫baf( x ) dx
• Hàm mật độ xác suất không âm với tất cả các giá trị có thể có, tức là f (x) ≥ 0 , với mọi x
• Diện tích giữa đường cong mật độ và trục X nằm ngang bằng 1, tức là ∫∞– ∞f( x ) dx = 1
• Do thuộc tính của biến ngẫu nhiên liên tục, đường cong hàm mật độ là liên tục trong tất cả các phạm vi đã cho, nó tự xác định trên một phạm vi giá trị liên tục hoặc miền của biến.

Các ứng dụng của hàm mật độ xác suất

Sau đây là các ứng dụng của hàm mật độ xác suất:

• Hàm mật độ xác suất được sử dụng để lập mô hình dữ liệu hàng năm về nồng độ thời gian NOx trong khí quyển
• Nó được sử dụng để mô hình quá trình đốt cháy động cơ diesel
• Trong Thống kê, nó được sử dụng để tính toán xác suất liên quan đến các biến ngẫu nhiên.

Ví dụ về hàm mật độ xác suất

Câu hỏi:
Bản pdf của một bản phân phối được cung cấp dưới dạngf( x ) =⎧⎩⎨⎪⎪x ; fo r 0 < x < 1 2 – x ; fo r 1 < x < 2 0 ;fo r x > 2 .

Tính mật độ trong khoảng (0,5 <x <1,5)

Lời giải:
P (0,5 <x <1,5) =∫1,50,5f( x )dx

=∫10,5f( x )dx +∫1,51f( x )dx

=∫10,5x dx +∫1,51( 2 – x ) dx

=(x22)10,5+( ( 2 x –x22) )1,51

= 3/4

Xem thêm :

Toàn bộ công thức Toán lớp 12

Khái niệm và các loại phản ứng xà phòng hóa

5 mẫu Mở bài Chí Phèo hay nhất

5 mẫu Phân tích Chiếc thuyền ngoài xa

Hàm mật độ xác suất

Khái niệm

Hàm mật độ xác suất trong tiếng Anh là Probability Density Function, viết tắt là PDF.

Hàm mật độ xác suất (PDF) là một đường biểu diễn trong thống kê xác định phân phối xác suất (khả năng xảy ra một kết quả) cho một biến ngẫu nhiên rời rạc (ví dụ: cổ phiếu hoặc các quĩ ETF). 

Biến ngẫu nhiên rời rạc trái ngược với biến ngẫu nhiên liên tục. 

Sự khác biệt của biến ngẫu nhiên rời rạc là nó có thể xác định giá trị chính xác. Ví dụ các giá trị của giá cổ phiếu chỉ lên đến số thập phân thứ hai (ví dụ: 52,55 đô la) trong khi biến liên tục có số lượng số thập phân kéo dài vô hạn (ví dụ: 52,5572389658).       

Khi PDF được vẽ trên biểu đồ, khu vực dưới đường cong PDF sẽ vùng mà giá trị của biến giảm. Diện tích vùng phía trong đường PDF bằng với xác suất một biến ngẫu nhiên rời rạc xảy ra. 

Cụ thể hơn, khả năng xác định giá trị tuyệt đối của một biến ngẫu nhiên liên tục là 0 do nó là tập hợp vô hạn các giá trị có thể có, nên chức năng của đường PDF là xác định một phạm vi cụ thể các giá trị của một biến ngẫu nhiên có thể có. 

Hàm mật độ xác suất trong đầu tư

Đường PDF được sử dụng để đánh giá rủi ro của một chứng khoán cụ thể, chẳng hạn như một cổ phiếu riêng lẻ hoặc quĩ hoán đổi danh mục (ETF).

Đường PDF thường được biểu diễn trên biểu đồ theo dạng đường cong hình chuông. Đỉnh chuông biểu thị thị trường đang trung lập với rủi ro, hai đuôi của chuông cho biết rủi ro hay phần thưởng tăng lên hoặc giảm xuống. 

– Nếu như hình chuông lệch qua phía bên phải của đường cong PDF, cho thấy thị trường đang có phần thưởng và rủi ro lớn hơn. 

– Ngược lại, hình chuông lệch qua phía bên trái của đường cong biểu thị phần thưởng và rủi ro thấp hơn.

Các nhà đầu tư nên sử dụng đường PDF kết hợp với các công cụ khác để tính toán rủi ro và phần thưởng tổng thể của danh mục đầu tư của họ.   

Hàm mật độ xác suất và Mức chịu rủi ro của các nhà đầu tư 

Hàm mật độ xác suất (PDF) là một công cụ trực quan được biểu diễn trên biểu đồ dựa trên dữ liệu trong lịch sử.

Trong đầu tư chứng khoán, đường PDF trung lập là dạng phổ biến nhất, có rủi ro tương đương với phần lợi nhuận.

– Một nhà đầu tư chỉ sẵn sàng chấp nhận một mức rủi ro hạn chế sẽ yêu cầu khả năng sinh lợi ít hơn và sẽ nằm ở phía bên trái đường cong hình chuông PDF. 

– Một nhà đầu tư sẵn sàng chấp nhận rủi ro cao hơn để thu được phần lợi nhuận cao hơn sẽ nằm ở phía bên phải của đường cong hình chuông. 

Hầu hết các nhà đầu tư tìm kiếm mức lợi nhuận trung bình và duy trì mức rủi ro trung bình ở ngay chính giữa đường cong hình chuông.   

(Theo Investopedia)

1.1. Không gian mẫu¶

Các xác suất chính là một độ đo được xác định trên một không gian mẫu. Không gian mẫu được ký hiệu là (S) cho biết tất cả các khả năng có thể xảy ra của một sự kiện. Ví dụ khi chúng ta gieo một xúc sắc 6 mặt thì các mặt ({1, 2, 3, 4, 5, 6}) chính là một không gian mẫu. Khi chúng ta tung đồng xu 2 mặt đồng chất thì các mặt ({S, N}) chính là một không gian mẫu.

Xác suất của một sự kiện (i) bất kỳ nằm trong không gian mẫu được ký hiệu bằng (P(X=i)) hoặc chúng ta có thể viết tắt (P(i)).

Chúng ta cũng có thể sử dụng ký hiệu (P(1 leq X leq 4)) để chỉ ra xác suất rơi vào các khả năng ({1, 2, 3, 4}). Ký hiệu (X) ở trên được gọi là biến ngẫu nhiên.

2.1. Hàm khối xác suất của biến rời rạc

Với các biến ngẫu nhiên ta còn quan tâm xem xác suất tại mỗi tại 1 giá trị $x$ nào đó trong miền giá trị của nó là bao nhiêu, hàm xác suất như vậy đối với biến ngẫu nhiên rời rạc được gọi là hàm khối xác suất (PMF – Probability Mass Function). Giả sử miền xác định của $X$ là $D$, tức $X: Omega mapsto mathsf D$ thì hàm khối xác suất được xác định như sau:
$$p(x)=p_X(x)=
begin{cases}
P(X=x) &text{if } x in mathsf D cr
0 &text{if } x notin mathsf D
end{cases}
$$

Như vậy ta có thể thấy rằng hàm khối xác suất thực chất cũng là một xác suất nên nó mang đầy đủ tất cả các tính chất của xác suất như:

• $0 le p(x) le 1 $
• $displaystylesum_{x_i in mathsf D}p(x_i)=1$

Ví dụ, ta có hàm phân phối xác suất như sau:
$$p(x)=
begin{cases}
frac{x}{36} &text{if } x in mathbb R, 0 le x le 6 cr
frac{12-x}{36} &text{if } x in mathbb R, x ge 7 cr
0 &text{else}
end{cases}
$$
thì ta có thể biểu diễn bằng biểu đồ phân phối như sau:

Hàm phân phối tích luỹ $F$ của biến ngẫu nhiên rời rạc có thể được biểu diễn qua hàm khối xác suất bằng cách lấy tổng:
$$F_X(x) = sum_{text{all }x_i le x}p(x_i) ~~~, x in mathbb{R}$$
Lúc này, hàm phân phối tích luỹ sẽ có dạng bậc thang ứng với mỗi bậc là khoảng $(x_i, x_{i+1})$.
Ví dụ hàm phân phối tích luỹ của ví dụ trên sẽ có dạng như sau:
$$F(x)=begin{cases}
0 &text{if } x < 1 cr
{1}/{36} &text{if } 1 le x < 2 cr
{3}/{36} &text{if } 2 le x < 3 cr
{6}/{36} &text{if } 3 le x < 4 cr
{10}/{36} &text{if } 4 le x < 5 cr
{15}/{36} &text{if } 5 le x < 6 cr
{21}/{36} &text{if } 6 le x < 7 cr
text{so on… }
end{cases}
$$
và biểu đồ tương ứng là:

2.2. Hàm mật độ xác suất của biến liên tục

Với các biến ngẫu nhiên liên tục ta có khái niệm hàm mật độ xác suất (PDF – Probability Density Function) để ước lượng độ tập trung xác suất tại lân cận điểm nào đó. Hàm mật độ xác suất $f(x)$ tại điểm $x$ được xác định bằng cách lấy đạo hàm của hàm phân phối tích luỹ $F(x)$ tại điểm đó:
$$f(x) = F^{prime}(x)$$

Như vậy thì nơi nào $f(x)$ càng lớn thì ở đó mức độ tập xác suất càng cao. Từ đây ta cũng có thể biểu diễn hàm phân phối tích luỹ như sau:
$$F(x)=int_{-infty}^xf(t)dt$$

Xác suất trong 1 khoảng $(alpha,beta)$ cũng có thể được tính bằng hàm mật độ xác suất:
$$P(alpha le X le beta)=int_alpha^beta f(x)dx$$

Hàm mật độ xác suất cũng có 2 tính chất như xác suất như sau:

• Không âm: $f(x) ge 0 ~~~, forall x in mathbb{R}$
• Tổng toàn miền bằng 1: $int_{-infty}^infty f(x)dx = 1$

Ví dụ, thời gian tính bằng đơn vị giờ mà một máy tính hoạt động trước khi xảy ra lỗi được coi như một biến ngẫu nhiên liên tục và được xác định với hàm mật độ xác suất sau:
$$f(x)=begin{cases}
lambda e^{{-x}/{100}} &text{if } x ge 0 cr
0 &text{else}
end{cases}$$
Hãy tính xác suất của:

• (a) Một máy tính hoạt động từ 50 giờ tới 150 giờ trước khi xảy ra lỗi?
• (b) Một máy tính hoạt động dưới 100 giờ trước khi xảy ra lỗi?

Vì tổng xác suất toàn miền là 1 nên:
$$
begin{aligned}
& int_{-infty}^infty f(x)dx = 1
cr
iff & int_{-infty}^infty lambda e^{{-x}/{100}} dx = 1
cr
iff & lambdaint_{-infty}^infty e^{{-x}/{100}} dx = 1
cr
iff & lambdaint_0^infty e^{{-x}/{100}} dx = 1
cr
iff & -lambda(100)e^{{-x}/{100}} Big|_0^infty = 1
cr
iff & 100lambda = 1
cr
iff & lambda = frac{1}{100}
end{aligned}
$$

(a) Xác suất để 1 máy tính hoạt động được trong khoảng (50, 150) giờ là:
$$
begin{aligned}
P(50<X<150) &= int_{50}^{150}frac{1}{100}e^{{-x}/{100}}dx
cr
& = -e^{{-x}/{100}} Big|_{50}^{150}
cr
& = e^{{-1}/{2}} -e^{{-3}/{2}}
cr
& approx 0.384
cr
end{aligned}
$$
Như vậy, xấp xỉ 38.4 phần trăm thời gian một máy tính sẽ hoạt động trước khi lỗi trong khoảng 50 tới 150 giờ.

(b) Xác suất để 1 máy tính hoạt động được trong vòng 100 trước khi lỗi là:
$$
begin{aligned}
P(X<100) &= int_0^{100}frac{1}{100}e^{{-x}/{100}}dx
cr
& = -e^{{-x}/{100}} Big|_0^{100}
cr
& = 1 -e^{-1}
cr
& approx 0.633
cr
end{aligned}
$$
Nên xấp xỉ 63.3 phần trăm thời gian một máy tính sẽ lỗi sau 100 giờ sử dụng.

Ta có thể biểu diễn bằng đồ thị như sau:

Nhìn vào biểu đồ trên ta có thấy xác suất (a) là phần diện tích của hình thang cong phủ từ $50 < x < 150$, còn xác suất (b) là phần diện tích hình thang cong phủ tới $x <100$. $x$ càng lớn thì $f(x)$ cũng càng bé đi nên phần phần diện tích của nó càng hẹp dần đồng nghĩa với mật độ xác suất cũng giảm dần nên xác suất để máy tính hoạt động được ngày càng thấp đi.

Lưu ý rằng khác với hàm xác suất, hàm mật độ xác suất tại 1 điểm bất kì luôn bằng 0.
$$P(X=x)=int_x^xf(t)dt=0$$

Ngoài ra, giá trị của hàm mật độ xác suất $f(x)$ có thể lớn hơn 1, miễn sao đảm bảo được rằng tổng xác suất toàn miền là 1: $int_{-infty}^infty f(x)dx = 1$.

Qua các hàm phân phối xác suất ở phần 3 phía trên ta có thể xác định được xác suất của một biến ngẫu nhiên và dựng được đồ thị biểu diễn nó, nhưng trong thực tế ta còn phải quan tâm tới các đặc trưng của nó như vị trí trung bình và độ phân tán ra sao. Trong thực tế khi tìm xác suất ta thường chỉ xác định các đặc trưng này vì rất khó xác định được hàm phân phối xác suất như trên.

tintuctuyensinh.vn › Học tập – Thi, www.studocu.com › … › hàm mật độ phân phối – xác suất thống kê, www.youtube.com › watch, vietnambiz.vn › ham-mat-do-xac-suat-probability-density-function-pdf-la-…, cuuduongthancong.com › atc › xac-suat-thong-ke-chuong-2-bien-ngau-nh…, vimentor.com › lesson › ham-mat-do-xac-suat, vi.strephonsays.com › probability-distribution-function-and-vs-probability-…, phamdinhkhanh.github.io › ch_probability › nb_appendix_probability, dominhhai.github.io › 2017/10 › prob-rand-var, Bài tập về hàm mật độ xác suất có lời giải, Tìm hàm mật độ xác suất, Giải bài toán về hàm mật độ xác suất, Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên, Công thức hàm mật độ xác suất, Hàm mật độ xác suất biến, Cách vẽ đồ thị hàm mật độ xác suất, chứng minh f x là hàm mật độ xác suất