Nguyên Hàm Của Tanx – Thông tin tuyển sinh đào tạo Đại học Cao đẳng
Nguyên Hàm Của Tanx đang là thông tin được nhiều người quan tâm tìm hiểu để lựa chọn theo học sau nhiều đợt giãn cách kéo dài do dịch. Website BzHome sẽ giới thiệu cho bạn những thông tin mới nhất chính xác nhất về Nguyên Hàm Của Tanx trong bài viết này nhé!
Nội dung chính
Công thức tính nguyên hàm của hàm số lượng giác cơ bản
Để tính nguyên hàm tanx, các em cần ghi nhớ bảng công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác cơ bản dưới đây:
Tính nguyên hàm tanx
Hàm tanx sẽ không có công thức tính nguyên hàm cụ thể. Dựa theo bảng công thức nguyên hàm cơ bản bên trên chúng ta sẽ biến đổi để tính nguyên hàm tanx như sau:
int tanxdx=int frac{sinx}{cosx}dx=-intfrac{1}{cosx}d(cosx)=-ln|cosx|+C
Cách giải bài tập nguyên hàm tanx
Đối với dạng bài tập nguyên hàm tanx, các em phải biến đổi đưa về dạng nguyên hàm lượng giác cơ bản. Sau đó, các em sẽ áp dụng công thức sẵn có để tìm ra kết quả. Ngoài ra, các em có thể áp dụng thêm 2 phương pháp biến đổi hàm hợp nâng cao dưới đây để xử lý các dạng bài phức tạp:
Dạng 1: Tính nguyên hàm tanx bằng phương pháp đổi biến t = u(x)
- Bước 1: Đặt t = u(x)
- Bước 2: Tính vi phân 2 vế dt = u'(x)dx.
- Bước 3: Biến đổi hàm số f(x)dx = g(t)dt.
- Bước 4: Tính ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C = G(u(x)) + C.
Dạng 2: Tính nguyên hàm tanx bằng phương pháp đổi biến x = u(t)
- Bước 1: Đặt x = u(t)
- Bước 2: Tính vi phân 2 vế dx = u'(t)dt.
- Bước 3: Biến đổi hàm số f(x)dx = f(u(t)).u'(t).dt = g(t)dt
- Bước 4: Tính ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C
Bài tập áp dụng
Bài tập 1: Tìm nguyên hàm của hàm số
Cách giải: Đây là dạng bài tập biến đổi cơ bản để áp dụng công thức nguyên hàm lượng giác cơ bản.
begin{aligned}
&f(x)=frac{1}{tanx}=cotx\
&int f(x)=int cotxdx=int frac{cosx}{sinx}dx=intfrac{1}{sinx}d(sinx)=ln|sinx|+C
end{aligned}
Như vậy, nguyên hàm của hàm số f(x) sẽ là ln|sinx| + C
Bài tập 2: Tìm nguyên hàm của hàm số:
Cách giải:
Ta tiến hành biến đổi và tính toán như sau:
begin{aligned}
int tan^3xdx&=int frac{sin^3x}{cos^3x}dx\
&=-int frac{sin^2xd(cosx)}{cos^3x}\
&=int frac{(cos^2x-1)^2d(cosx)}{cos^3x}\
&=intfrac{d(cosx)}{cosx}-int frac{d(cosx)}{cos^3x}\
&=ln|cosx|+frac{1}{2cos^2x}+C\
&=ln|cosx|+frac{tan^2x}{2}+C
end{aligned}
Bài tập 3: Tìm nguyên hàm của hàm số:
Cách giải:
Hàm số này được giải theo cách áp dụng phương pháp nâng cao mà Marathon Education đã chia sẻ.
begin{aligned}
&text{Đặt: }tanx=tRightarrowfrac{dx}{cos^2x}=dt\
&Rightarrow(tan^2x+1)dx=dtRightarrow dx=frac{dt}{t^2+1}\
&text{Khi đó: }\
I&=int t^5frac{dt}{t^2+1}\
&=intleft(t^3-t+frac{t}{t^2+1}right)dt\
&=int t^3dt-int tdt+intfrac{t}{t^2+1}dt\
&=frac{1}{4}t^4-frac{1}{2}t^2+frac{1}{2}intfrac{d(t^2+1)}{t^2+1}\
&=frac{1}{4}t^4-frac{1}{2}t^2+frac{1}{2}ln|t^2+1|+C\
&=frac{1}{4}tan^4x-frac{1}{2}tan^2x+frac{1}{2}ln|tan^2x+1|+C\
&=frac{1}{4}tan^4x-frac{1}{2}tan^2x+frac{1}{2}lnleft|frac{1}{cos^2x}right|+C\
&=frac{1}{4}tan^4x-frac{1}{2}tan^2x-ln|cosx|+C
end{aligned}
Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education
Các công thức nguyên hàm lượng giác thực sự không quá khó nếu như các em chăm chỉ luyện tập. Hy vọng với những kiến thức về nguyên hàm tanx và các bài tập vận dụng mà Marathon Education chia sẻ trên đây có thể giúp các em nắm vững kiến thức này đạt được thành tích cao hơn trong những bài kiểm tra toán sắp tới.
Các em đừng quên đăng ký học livestream Marathon Education ngay hôm nay để được nhận ưu đãi và trải nghiệm lớp học trực tuyến online thú vị. Chúc các em học tập hiệu quả và bứt phá điểm số thành công!
1. Nguyên hàm (tanx-cotx)^2
Bài tập 1: Tính nguyên hàm của f(x)= tanx – cotx$frac{1}{2}$
Giải:
Dùng kỹ thuật thêm bớt, ta được:
$int tan^{2}xdx= left [ left ( 1+tan^{2}x right )-1 right ]dx$
=$int left ( 1+tan^{2}x right )dx-int dx$
=$int frac{1}{cos^{2}x}dx-int dx$
=$tanx-x+C$
Bài tập 2: Tìm các nguyên hàm sau
a) I= $int sin5xcos2xdx$.
b) I= $int sin3xsin6xdx$.
c) I= $int sin2xcos3xdx$.
d) I= $int cosxcos3xdx$.
Giải:
Tham khảo thêm bài tập nguyên hàm $left (tanx-cotx right )^{2}$ tại đây
2. Nguyên hàm tanx dx
Bài tập 1: Tính nguyên hàm của f(x)= $int tanxdx$
Giải
Ta có
$int tanxdx=int frac{sinx}{cosx}dx= -int frac{1}{cosx}d(cosx)= -lnleft | cosx right | +C$
Bài tập 2: Tính các nguyên hàm sau:
e) I = $int cosxcos3xcos5xdx$.
f) I = $int sinxsin3xsin5xdx$.
g) I = $int sinxcos3xcos5xdx$.
h) I = $int cosxsin3xsin5xdx$.
Giải:
3. Tìm nguyên hàm của (tanx+cotx)^2
Bài tập 1: Nghiệm của phương trình tanx + cotx = -2 là
Giải:
Bài tập 2: Tính nguyên hàm F(x)= $int sin^{2}2xdx$
Giải:
Ta có
F(x)= $int sin^{2}2xdx= int frac{1-cos4x}{2}dx= frac{1}{2}int 1dx – frac{1}{2}int cos4xdx= frac{1}{2}x – frac{1}{8}sin4x + C$
Bài tập 3: Tính nguyên hàm f(x)= $frac{1}{sin^{2}x.cos^{4}x}$
Giải:
Đặt
t= tanx
$Leftrightarrow dt= frac{dx}{cos^{2}x}$; $1+tan^{2}x= frac{1}{cos^{2}x}$
$Leftrightarrow frac{1}{cos^{2}x}= t^{2}+1$
$Leftrightarrow cos^{2}x= frac{1}{t^{2}+1}$
$Rightarrow sin^{2}x= frac{t^{2}}{t^{2}+1}$
Khi đó:
$int fleft ( x right )dx= int frac{1}{sin^{2}xcos^{2}x}.frac{dx}{cos^{2}x}$
= $int frac{(t^{2}+1)^{2}}{t^{2}}dt= int(t^{2}+frac{1}{t^{2}}+2)dt$
= $frac{t^{3}}{3} – frac{1}{t} + 2t + C$
Vậy, $int f(x)dx= frac{tan^{3}x}{3} + 2tanx – frac{1}{tanx} + C$
Công thức tính nguyên hàm của hàm số lượng giác cơ bản
Để tính nguyên hàm tanx, các em cần ghi nhớ bảng công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác cơ bản dưới đây:
Tính nguyên hàm tanx
Hàm tanx sẽ không có công thức tính nguyên hàm cụ thể. Dựa theo bảng công thức nguyên hàm cơ bản bên trên chúng ta sẽ biến đổi để tính nguyên hàm tanx như sau:
int tanxdx=int frac{sinx}{cosx}dx=-intfrac{1}{cosx}d(cosx)=-ln|cosx|+C
Cách giải bài tập nguyên hàm tanx
Đối với dạng bài tập nguyên hàm tanx, các em phải biến đổi đưa về dạng nguyên hàm lượng giác cơ bản. Sau đó, các em sẽ áp dụng công thức sẵn có để tìm ra kết quả. Ngoài ra, các em có thể áp dụng thêm 2 phương pháp biến đổi hàm hợp nâng cao dưới đây để xử lý các dạng bài phức tạp:
Dạng 1: Tính nguyên hàm tanx bằng phương pháp đổi biến t = u(x)
- Bước 1: Đặt t = u(x)
- Bước 2: Tính vi phân 2 vế dt = u'(x)dx.
- Bước 3: Biến đổi hàm số f(x)dx = g(t)dt.
- Bước 4: Tính ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C = G(u(x)) + C.
Dạng 2: Tính nguyên hàm tanx bằng phương pháp đổi biến x = u(t)
- Bước 1: Đặt x = u(t)
- Bước 2: Tính vi phân 2 vế dx = u'(t)dt.
- Bước 3: Biến đổi hàm số f(x)dx = f(u(t)).u'(t).dt = g(t)dt
- Bước 4: Tính ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C
Bài tập áp dụng
Bài tập 1: Tìm nguyên hàm của hàm số
Cách giải: Đây là dạng bài tập biến đổi cơ bản để áp dụng công thức nguyên hàm lượng giác cơ bản.
begin{aligned}
&f(x)=frac{1}{tanx}=cotx\
&int f(x)=int cotxdx=int frac{cosx}{sinx}dx=intfrac{1}{sinx}d(sinx)=ln|sinx|+C
end{aligned}
Như vậy, nguyên hàm của hàm số f(x) sẽ là ln|sinx| + C
Bài tập 2: Tìm nguyên hàm của hàm số:
Cách giải:
Ta tiến hành biến đổi và tính toán như sau:
begin{aligned}
int tan^3xdx&=int frac{sin^3x}{cos^3x}dx\
&=-int frac{sin^2xd(cosx)}{cos^3x}\
&=int frac{(cos^2x-1)^2d(cosx)}{cos^3x}\
&=intfrac{d(cosx)}{cosx}-int frac{d(cosx)}{cos^3x}\
&=ln|cosx|+frac{1}{2cos^2x}+C\
&=ln|cosx|+frac{tan^2x}{2}+C
end{aligned}
Bài tập 3: Tìm nguyên hàm của hàm số:
Cách giải:
Hàm số này được giải theo cách áp dụng phương pháp nâng cao mà Marathon Education đã chia sẻ.
begin{aligned}
&text{Đặt: }tanx=tRightarrowfrac{dx}{cos^2x}=dt\
&Rightarrow(tan^2x+1)dx=dtRightarrow dx=frac{dt}{t^2+1}\
&text{Khi đó: }\
I&=int t^5frac{dt}{t^2+1}\
&=intleft(t^3-t+frac{t}{t^2+1}right)dt\
&=int t^3dt-int tdt+intfrac{t}{t^2+1}dt\
&=frac{1}{4}t^4-frac{1}{2}t^2+frac{1}{2}intfrac{d(t^2+1)}{t^2+1}\
&=frac{1}{4}t^4-frac{1}{2}t^2+frac{1}{2}ln|t^2+1|+C\
&=frac{1}{4}tan^4x-frac{1}{2}tan^2x+frac{1}{2}ln|tan^2x+1|+C\
&=frac{1}{4}tan^4x-frac{1}{2}tan^2x+frac{1}{2}lnleft|frac{1}{cos^2x}right|+C\
&=frac{1}{4}tan^4x-frac{1}{2}tan^2x-ln|cosx|+C
end{aligned}
Nguyên hàm của hàm lượng giác tanx là gì?
Nguyên hàm của hàm lượng giác tanx là -ln|cosx|+C, trong đó C là hằng số tùy ý. Để tính được công thức này, ta sử dụng phương pháp phân rã thành tích để tích phân hàm lượng giác sinx và cosx. Đầu tiên, chúng ta sẽ chia hàm tanx thành thương của sinx và cosx, sau đó sử dụng phương pháp thay thế để tích phân thành tích của hai hàm lượng giác riêng lẻ. Sau đó, tích phân được chuyển thành tích phân của hàm lôgarit tự nhiên của cosx và một hằng số. Cuối cùng, ta có kết quả là -ln|cosx|+C, trong đó C là hằng số tùy ý.
Phương pháp tính nguyên hàm của tanx là gì?
Phương pháp tính nguyên hàm của tanx là sử dụng công thức nguyên hàm của hàm lượng giác. Đầu tiên, ta biết rằng nguyên hàm của hàm sinx là -cosx. Vì vậy, từ đó ta có thể tính được nguyên hàm của hàm cosx bằng cách lấy đạo hàm của -cosx, kết quả sẽ là sinx. Ve do, nguyên hàm của hàm tanx có thể tính được bằng cách sử dụng đạo hàm của nguyên hàm của sinnx và cosnx, theo công thức ∫tanxdx = ∫sinxdx/ cosxdx =-ln|cosx|.
Làm thế nào để tính được nguyên hàm của hàm tanx?
Để tính được nguyên hàm của hàm tanx, ta sử dụng công thức nguyên hàm của hàm lượng giác căn bản.
Công thức nguyên hàm của hàm tanx là:
∫tanx dx = ln|secx| + C
Trong đó, secx là hàm secant của x và C là hằng số.
Cách tính chi tiết như sau:
1. Ta sử dụng công thức nguyên hàm của hàm lượng giác căn bản:
∫sinx dx = -cosx + C1
∫cosx dx = sinx + C2
∫1 dx = x + C3
2. Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm tanx:
∫tanx dx = ∫sinx/cosx dx = -∫(cosx)’/cosx dx
= -ln|cosx| + C
Với C là hằng số, lưu ý rằng ta có dấu trừ trước ln|cosx| trong công thức.
Như vậy, nguyên hàm của hàm tanx là -ln|cosx| + C, với C là hằng số bất kỳ.
Tại sao nguyên hàm của tanx được tính bằng cách lấy nguyên hàm của sinx và cosx?
Nguyên hàm của `tan(x)` được tính bằng cách lấy nguyên hàm của `sin(x)` và `cos(x)` vì `tan(x)` có thể biểu diễn dưới dạng `sin(x)/cos(x)`.
Khi tính nguyên hàm của `sin(x)/cos(x)`, chúng ta có thể áp dụng công thức nguyên hàm tích phân của phân số bậc nhất:
∫sin(x)/cos(x)dx = ∫(sin(x)dx/cos(x))
Để tính nguyên hàm này, ta thực hiện phép thay thế `u = cos(x)` và tính đạo hàm của `u` theo `x` như sau:
du/dx = -sin(x)
Từ đó, ta có `dx = -du/sin(x)`.
Thay thế kết quả trên vào công thức tích phân ban đầu:
∫(sin(x)dx/cos(x)) = ∫(-du/u)
Kết quả cuối cùng là:
-∫du/u = -ln|u| + C
Thay thế lại `u = cos(x)`:
-∫du/u = -ln|cos(x)| + C
Vậy nguyên hàm của `tan(x)` là -ln|cos(x)| + C.
