Nhị Thức Newton Công Thức – Thông tin tuyển sinh đào tạo Đại học Cao đẳng

Bạn đang xem video TOÁN 11 – ÔN TẬP NHỊ THỨC NEWTON TỔ HỢP XÁC SUẤT mới nhất trong danh sách Thông tin tuyển sinh được cập nhật từ kênh Thi Antony từ ngày 2021-12-23 với mô tả như dưới đây.

THI CEEPORT – ÔN THI HK 1

I. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON

Với n là số nguyên dương. Hai số a, b là các số thực. Ta có công thức:

Vì vai trò của a và b như nhau nên hoán đổi vị trí a và b ta có công thức tương đương.

Để dễ nhớ thì các bạn để ý trong mỗi số hạng tổng số mũ của a và b luôn bằng n. Và trong mỗi khai triển có n+1 số hạng.

Áp dụng công thứckhai triển nhị thức newton trên ta có thể dễ dàng khai triển 1 số hằng đẳng thức quen thuộc:

II. CÁC BÀI TOÁN VỀ NHỊ THỨC NEWTON

Dạng 1. Tìm hệ số trong khai triển-Tìm số hạng trong khai triển

Với dạng toán này, các bạn hãy sử dụng số hạng tổng quát (số hạng thứ k+1) của khai triển. Sau đó biến đổi để tách riêng phần biến và phần hệ số. Cuối cùng dựa vào đề bài để xác định chỉ số k. Lưu ý số hạng gồm hệ số+phần biến.

Ví dụ 1:

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức

Lời giải:

Ví dụ 2:

Tìm số hạng chứa x³ trong khai triển của nhị thức

Lời giải:

Dạng 2. Một số bài toán liên quan đến khai triển lũy thừa của (1+x)

Đây là một khai triển hay được sử dụng để giải 1 số bài toán liên quan đến nhị thức Νewton.

Ví dụ:

Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng:

Lời giải:

Trên đây là công thức khai triển nhị thức Νewton và một số bài toán liên quan. Kiến thức thì vô hạn. Một bài viết ngắn có xíu này chắc chắn chưa thể hiện hết được kiến thức về nhị thức Νewton. Nhưng đó là những kiến thức cơ bản nhất mà các bạn phải hiểu được. Chúc các bạn học giỏi và thành công!

Xem thêm:

Quy tắc đếm: Quy tắc cộng và quy tắc nhân

Bài tập nhị thức Niu tơn (Newton) tìm số hạng

Tính tổng liên quan đến nhị thức Newton (Niu tơn)

Tổ hợp xác suất –

• Quy tắc đếm: Quy tắc cộng và quy tắc nhân

Định nghĩa về nhị thức newton

Nhị thức Newton

Khai triển ( a + b)ⁿ được cho bởi công thức sau:

Với a, b là các số thức và n là số nguyên dương, ta có:

Quy ước a⁰ = b⁰ = 1

Hệ quả:

Tính chất của công thức nhị thức Newton

Tính chất của công thức nhị thức Newton

• Số các số hạng của công thức là n + 1
• Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị thức:

( n – k) + k = n

• Số hạng tổng quát của nhị thức là:

T_k+1 = C_n^k a^n-k b^k ( Đó là số hạng thứ k + 1 trong khai triển ( a + b)ⁿ )

• Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu, cuối thì bằng nhau

Một số kiến thức liên quan

Công thức khai triển nhị thức newton:

Công thức số tổ hợp

Tính chất lũy thừa

Cách giải bài toán tìm số hạng thứ k trong khai triển nhị thức Newton

Bước 1: Khai triển nhị thức newton để tìm số hạng tổng quát:

Bước 2: Dựa vào đề bài, giải phương trình hai số mũ bằng nhau

Số hạng chứa x^m ứng với giá trị k thỏa: np – pk + qk = m

Từ đó tìm: k = ( m – np) / ( p – q)

Vậy hệ số của số hạng chứa x^m là: C_n^k a^n-k b^k với giá trị k đã tìm được ở trên

Nếu k không gnhuyeen hoặc k > n thì trong khai triển không chứa x^m, hệ số phải tìm bằng 0

Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa x^m trong khai triển

P(x) = ( a + bx^p + cx^q)ⁿ được viết dưới dạng a₀ + a₁x + …+ a_2nx²ⁿ 

Ta làm như sau:

• Viết P (x) = ( a + bx^p + cx^q)ⁿ

• Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng bx^p + cx^q
• Thành một đa thức theo lũy thừa của x
• Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của x^m

Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức newton

Ta làm như sau:

• Tính hệ số a_k theo k và n
• Giải bất phương trình sau với ẩn số k

• Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thỏa mãn bất phương trình trên

Ví dụ 1: Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển ( 2 – 3x)²⁵

Giải

Số hạng thứ 21 trong khai triển là:

C²⁰₂₅. 2⁵ ( -3x)²⁰ = 2⁵. 3²⁰. C²⁰₂₅. X²⁰

Ví dụ 2: Tìm số hạng chính giữa trong khai triển (3x² –y)¹⁰

Giải:

Trong khai triển (3x² –y)¹⁰ có tất cả 11 số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ 6. Vậy hệ số của số hạng thứ 6 là -3⁵ .C⁵₁₀

Ví dụ 3: Tìm hệ số của x³ , (x >0) trong khai triển sau:

Giải:

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là: T_{k + 1} = C^k₆ .x^6-k. 2^k. x^(-k/2)

Yêu cầu bài toán xảy ra khi 6 – k – ( k /2) = 3 => k = 3

Khi đó hệ số của x³ là: C³₆.2³ = 160

Chứng minh định lý[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý này được chứng minh bằng quy nạp.

Ta có biểu thức (1) với mọi số tự nhiên n.

Đầu tiên tại P(1) đúng.

Giả sử P(n) đúng, ta phải chứng minh và

Áp dụng hằng đẳng thức Pascal ta có:

Do đó công thức (1) đúng.

Giờ đặt và do đó

Ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Các trường hợp đặc biệt của định lý này nằm trong danh sách các hằng đẳng thức đáng nhớ.

Ví dụ: điển hình nhất là nhị thức là công thức bình phương của :

Hệ số nhị thức xuất hiện ở phép triển khai này tương ứng với hàng thứ ba của tam giác Pascal. Các hệ số có lũy thừa cao hơn của tương ứng với các hàng sau:

Chú ý rằng:

1. Lũy thừa của giảm dần cho tới khi đạt đến 0 (), giá trị bắt đầu là (n trong .)
2. Lũy thừa của tăng lên bắt đầu từ 0 () cho tới khi đạt đến ( trong .)
3. Hàng nhị thức của tam giác Pascal sẽ là các hệ số của nhị thức mở rộng (chú ý rằng đỉnh là hàng 0)
4. Với mỗi hàng, tích số (tổng của các hệ số) bằng .
5. Với mỗi hàng, nhóm tích số bằng .

Định lý nhị thức có thể áp dụng với lũy thừa của bất cứ nhị thức nào. Ví dụ:

Với một nhị thức có phép trừ, định lý có thể được áp dụng khi sử dụng phép nghịch đảo số hạng thứ hai.

1. Công thức Nhị thức Newton

Với mọi số tự nhiên ngeq 0 và với mọi cặp số (a,b) bất kì, ta có biểu thức khai triển nhị thức Newton như sau:

Từ công thức nhị thức Newton trên, ta có thể suy ra các hằng đẳng thức

• (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
• (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
• (a+b)^4=a^4+5a^3b+10a^2b^2+5ab^3+b^4

2. Tính chất nhị thức Newton cần lưu ý

Cho khai triển nhị thức Newton của (a+b)^n, khi đó khai triển này sẽ có các tính chất cần lưu ý sau:

• Số các số hạng của khai triển là n+1
• Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng của khai triển là n
• Số hạng tổng quát thứ k+1 sẽ có dạng T_{k+1}=C_n^ka^{n-k}b^k (k=0,1,2,…n)
• Các số hạng của nhị thức cách đều 2 số hạng đầu và cuối bằng nhau (hay đối xứng nhau) do C_n^k=C_n^{n-k}
• Tổng các hệ số trong khai triển của nhị thức bằng 2^n

3. Bài tập rèn luyện nhị thức Newton

Các bạn hãy làm những bài tập dưới đây để khắc sâu công thức nhị thức Newton này vào đầu nhé!

Câu 1. Dùng nhị thức Newton khai triển biểu thức (x-2)^6

Câu 2. Dùng nhị thức Newton khai triển biểu thức (x^2-x)^5

Câu 3. Dùng nhị thức Newton khai triển biểu thức (x^2+y^3)^8

Câu 4. Dùng nhị thức Newton khai triển biểu thức (sqrt x+y)^{10}

Câu 5. Dùng nhị thức Newton khai triển biểu thức (sqrt x – sqrt[3]{y})^9

Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Nhị thức Newton – Công thức và các tính chất cần lưu ý. Nếu các bạn thấy hay và bổ ích, hãy chia sẻ cho bạn bè của mình để cùng nhau học thật giỏi. Đừng quên để lại 1 like, 1 cmt dể tạo động lực cho HocThatGioi và giúp HocThatGioi ngày càng phát triển hơn nhé! Chúc các bạn học thật tốt!

Bài viết khác liên quan đến Tổ hợp và xác suất

• Công thức hoán vị hoán vị lặp và hoán vị vòng quanh – ví dụ minh họa
• Công thức tổ hợp chỉnh hợp lặp và không lặp cực chi tiết
• Các biến cố đặc biệt – Quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất
• Bài tập tổ hợp xác suất cực hay có lời giải chi tiết
• 2 quy tắc đếm quan trọng – công thức và bài tập áp dụng
• Phép thử, biến cố, không gian mẫu, xác suất của biến cố
• Cách giải phương trình, bất phương trình hoán vị chỉnh hợp tổ hợp cực chi tiết
• Bài tập trắc nghiệm nhị thức Newton có lời giải chi tiết
• Bài tập phương trình, bất phương trình tổ hợp chỉnh hợp có lời giải chi tiết