Số Nguyên Là J – Thông tin tuyển sinh đào tạo Đại học Cao đẳng

Ký hiệu[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu tượng có thể được dùng để biểu thị các tập hợp khác nhau, với cách sử dụng khác nhau giữa các tác giả khác nhau: ,^[2] hoặc }}” aria-hidden=”true” src=”/api/rest_v1/media/math/render/svg/b674b889017afcd24e7b7d296f6d1746cefd2d94″> đối với các số nguyên dương, hoặc cho các số nguyên không âm và cho các số nguyên khác 0. Một số tác giả sử dụng ký hiệu cho các số nguyên khác 0, trong khi những người khác sử dụng nó cho các số nguyên không âm hoặc cho {–1, 1}. Ngoài ra, được sử dụng để biểu thị tập các số nguyên modulo p^[2] (tức là tập các lớp đồng dư của các số nguyên) hoặc tập các số nguyên p -adic.^[1][6][7]

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Giống như các số tự nhiên, là tập hợp đóng với các phép toán cộng và nhân, tức là tổng và tích của hai số nguyên bất kỳ là một số nguyên. Tuy nhiên, với việc bao gồm cả các số nguyên âm (và quan trọng là 0), , không giống như các số tự nhiên, cũng là tập hợp đóng với phép trừ.^[8]

Các số nguyên tạo thành một vành đơn vị, vốn là vành cơ bản nhất, theo nghĩa sau: đối với bất kỳ vành đơn vị nào, đều có một phép đồng cấu duy nhất từ các số nguyên vào vành này. Thuộc tính phổ quát này, cụ thể là một đối tượng ban đầu trong loại vành, là đặc trưng cho vành .

không đóng với phép chia, vì thương của hai số nguyên (ví dụ: 1 chia cho 2) có thể không là số nguyên. Mặc dù các số tự nhiên là đóng với phép lũy thừa, nhưng các số nguyên thì không (vì kết quả có thể là một phân số khi số mũ là âm).

Bảng sau liệt kê một số tính chất cơ bản của phép cộng và phép nhân đối với bất kỳ số nguyên a, b và c:

Trong ngôn ngữ của đại số trừu tượng, năm thuộc tính đầu tiên được liệt kê ở trên khẳng định rằng là một nhóm abel với phép cộng. Nó cũng là một nhóm cyclic, vì mọi số nguyên khác 0 đều có thể được viết dưới dạng tổng hữu hạn 1 + 1 +… + 1 hoặc (−1) + (−1) +… + (−1). Trên thực tế, với phép cộng là nhóm tuần hoàn vô hạn duy nhất — theo nghĩa là bất kỳ nhóm tuần hoàn vô hạn nào đều là đẳng cấu với .

Bốn thuộc tính đầu tiên được liệt kê ở trên cho phép nhân nói rằng cùng với phép nhân là một monoid giao hoán. Tuy nhiên, không phải mọi số nguyên đều có nghịch đảo nhân (như trường hợp của số 2), có nghĩa là với phép nhân không phải là một nhóm.

Tất cả các quy tắc từ bảng thuộc tính trên (ngoại trừ quy tắc cuối cùng), khi được kết hợp với nhau, nói rằng cùng với phép cộng và phép nhân là một vành giao hoán có phần tử đơn vị. Nó là nguyên mẫu của tất cả các đối tượng của cấu trúc đại số như vậy. Chỉ những đẳng thức của biểu thức là đúng trong cho tất cả các giá trị của biến, thì cũng là đúng trong bất kỳ vành giao hoán có đơn vị nào. Một số số nguyên khác 0 ánh xạ tới 0 trong một số vành nhất định.

Việc thiếu các ước số của 0 trong các số nguyên (thuộc tính cuối cùng trong bảng) có nghĩa là vành giao hoán là một miền nguyên.

Việc thiếu các phép nghịch đảo của phép nhân, tương đương với thực tế là không phải là đóng với phép chia, có nghĩa là không phải là một trường. Trường nhỏ nhất chứa các số nguyên dưới dạng một vành con là trường các số hữu tỉ. Quá trình xây dựng các số hữu tỉ từ các số nguyên có thể được bắt chước để tạo thành trường phân số của bất kỳ miền nguyên nào. Và ngược lại, bắt đầu từ trường số đại số (phần mở rộng của số hữu tỉ), vành số nguyên của nó có thể được trích xuất, bao gồm như là vành con của nó.

Mặc dù phép chia thông thường không được định nghĩa trên , phép chia “với phần dư” được xác định trên chúng. Nó được gọi là phép chia Euclid, và có tính chất quan trọng sau: cho hai số nguyên a và b với b ≠ 0, tồn tại các số nguyên q và r duy nhất sao cho a = q × b + r và 0 ≤ r < |b|, ở đâu |b| biểu thị giá trị tuyệt đối của b.^[9] Số nguyên q được gọi là thương và r được gọi là phần dư của phép chia a cho b. Thuật toán Euclid để tính ước số chung lớn nhất hoạt động với một chuỗi các phép chia Euclid.

Một lần nữa, trong ngôn ngữ của đại số trừu tượng, phần trên nói rằng là một vành Euclid. Điều này ngụ ý rằng là một vành ideal chính và bất kỳ số nguyên dương nào cũng có thể được viết dưới dạng tích của các số nguyên tố theo một cách cơ bản duy nhất.^[10] Đây là định lý cơ bản của số học.

Số nguyên là gì ví dụ?

Khái niệm số nguyên là một khái niệm rất rộng. Nhiều người thắc mắc rằng số 0 có phải là số nguyên không? Số nguyên là tập hợp bao gồm các số không, số tự nhiên dương và các số đối của chúng còn gọi là số tự nhiên âm. Tập hợp số nguyên là vô hạn nhưng có thể đếm được và kí hiệu là Z. Số nguyên có 4 tính chất cơ bản :

• Không có số nguyên nào là lớn nhất và nhỏ nhất.
• Số nguyên dương nhỏ nhất là 1. Số nguyên âm nhỏ nhất là -1.
• Một tập con hữu hạn bất kỳ của Z luôn có phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất.
• Không có bất kì số nguyên nào nằm giữa hai số nguyên liên tiếp.

Số nguyên chia ra làm 2 loại là số nguyên âm và số nguyên dương. Khái niệm số nguyên dương chính là đáp án của câu hỏi số tự nhiên là gì. Theo lí thuyết, số nguyên dương là những số nguyên lớn hơn 0. Còn số tự nhiên là tập hợp bao gồm số 0 và các số nguyên dương. Như vậy có thể thấy số nguyên dương là một tập con của số tự nhiên.Tập hợp Z+ là gì? Đây là kí hiệu của tập số nguyên dương.

Số nguyên âm là gì? Là một tập hợp các số nguyên nhỏ hơn 0 ( không bao gồm số 0). Tương tự như số nguyên dương, tập hợp số nguyên âm được kí hiệu là Z-.

Số thực là gì? Q là tập hợp số gì?

Khác với số nguyên, số thực là những số không thể đếm được. Số thực được định nghĩa là tập hợp bao gồm số nguyên, số hữu tỉ và số vô tỉ. Như vậy có thể thấy số nguyên chính là một tập con của số thực. Số thực có thể được xem là các điểm nằm trên một trục số dài vô hạn. R là kí hiệu của tập hợp số thực.

Tính chất của số thực được xây dựng dựa trên tính chất của các số tạo nên nó. Bao gồm cả số nguyên, số hữu tỉ, số vô tỉ. Có một số bạn thắc mắc rằng vậy Q là tập hợp số gì trong R. Thực chất Q chính là tập hợp các số hữu tỉ.Sự khác biệt lớn nhất giữa số nguyên và số thực chính ở khái niệm của 2 loại số này. Số nguyên chỉ là một tập con của số thực.

Số nguyên là gì?

Số nguyên là một trong những khái niệm cơ bản của toán học, tập hợp số nguyên bao gồm các số nguyên dương, các số nguyên âm ( là các số đối của chúng) và cả số 0.

Tập hợp số nguyên được ký hiệu là Z. Ký hiệu này là viết tắt của từ Zahl có nghĩa là chữ số trong tiếng Đức. Đây cũng là tập hợp con của hai tập hợp lớn hơn là tập hợp số hữu tỉ Q và số thực R. Đồng thời cũng là tập hợp mẹ của tập hợp số tự nhiên N. Và với tính chất giống như tập hợp số tự nhiên, tập hợp số Z là vô hạn nhưng đếm được. Tập hợp số nguyên Z có thể được chia thành 2 tập hợp con là Z+ (số nguyên dương) và Z- (số nguyên âm).

Tính chất của số nguyên

Các số nguyên thuộc tập Z sẽ có những tính chất cơ bản sau đây:

– Không có khái niệm số nguyên lớn nhất và số nguyên nhỏ nhất. Khái niệm lớn nhất và nhỏ nhất chỉ mang tính chất tương đối và phụ thuộc vào điều kiện trong từng trường hợp.

– Số nguyên dương nhỏ nhất là 1. Số nguyên âm lớn nhất là -1.

– Số nguyên Z bao gồm vô số tập con hữu hạn. Những tập con đó sẽ có số nguyên nhỏ nhất và lớn nhất xác định.

– Không tồn tại một số nguyên nào nằm giữa hai số nguyên liên tiếp.

Phân biệt số nguyên và số thực

Số thực là tập hợp số bao gồm các số dương (1, 2, 3, -4…), số 0, số âm (-1, -2, -3, -4…), số hữu tỉ Q (3/2, -8/3), số vô tỉ I (π, số √5). Số thực có thể được coi là các điểm nằm trên trục dài vô hạn của dãy số. Số thực ( kí hiệu là R)  bao gồm tập hợp các số hữu tỉ và vô tỉ: R = Q ∪ I.

1. Số nguyên là gì?

Trong Toán học, số nguyên bao gồm tập hợp các số không, số tự nhiên (số nguyên dương) và nghịch đảo của chúng (số nguyên âm).

Tập hợp các số nguyên là vô hạn và đếm được. Kí hiệu tập hợp các số nguyên là Z.

2. Phân loại số nguyên:

Số nguyên được phân thành hai loại bao gồm: số nguyên dương và số nguyên âm. Bên trong:

Số nguyên dương: là số nguyên lớn hơn 0 và được ký hiệu là Z+.

Số nguyên âm: là số nguyên nhỏ hơn 0 và được ký hiệu là Z-.

Tập hợp các số nguyên dương hoặc âm ở trên không bao gồm số không.

Ví dụ:

Các số nguyên dương bao gồm: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8…

Số nguyên âm bao gồm: -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8…

Các số 1; 5; 67; – 94; – 978 là số nguyên – 26 ∈ Z ; 0Z

3. Số 0 có phải số nguyên không?

Như đã nói, số 0 là một số đặc biệt trong tập hợp các số nguyên vì nó nằm giữa tập hợp các số nguyên âm và tập hợp các số nguyên dương nhưng không phải là giao của hai tập hợp này và cũng không thuộc tập hợp nào trong hai tập hợp này.

Khi biểu diễn trên trục số nằm ngang, tập hợp các số nguyên dương sẽ nằm bên phải điểm 0, tập hợp các số nguyên âm sẽ bao gồm các số nằm bên trái điểm 0. Các tập hợp số này là vô hạn, được biểu diễn bởi một đoạn thẳng. có một điểm cuối với hướng mũi tên từ trái sang phải được xác định là dương. Khi đó, điểm 0 là gốc của trục số, ở giữa trục số, ngăn cách các số nguyên âm và số nguyên dương.

Ngoài ra, trục số có thể được vẽ thẳng đứng theo chiều dọc. Sau đó:

– Chiều dương từ dưới lên trên (được đánh dấu bằng mũi tên)

– Điểm gốc của trục số là điểm 0 ở giữa trục số (biểu diễn số 0)

– Đơn vị đo độ dài trên trục số là độ dài đoạn thẳng nối điểm 0 với điểm 1 (biểu diễn số 1 và nằm trên điểm 0).

Từ gốc tọa độ 0 ta sinh ra khái niệm các mặt đối nhau. Hai số được gọi là đối nhau khi chúng nằm về hai phía của điểm 0 và cách đều 0 trên trục số (tính theo đơn vị).

Tự nhiên:

– Số nghịch đảo của số nguyên dương là số nguyên âm

Số đối của số nguyên âm là số nguyên dương.

Số đối của 0 là 0.

Để viết số đối của một số nguyên dương, ta chỉ cần đặt dấu “-” trước số đó. Ngược lại, khi viết số đối của số nguyên âm, bạn chỉ cần bỏ dấu “-” trước số đó. Ví dụ cụ thể:

– Số nghịch đảo của 1 là -1

– Số nghịch đảo của 2 là -2

– Số nghịch đảo của 3 là -3

– Số nghịch đảo của -4 là 4

– Nghịch đảo của -5 là 5

– Số nghịch đảo của -6 là 6

– Số đối của 0 là 0 (trường hợp đặc biệt).

Khi đó ta có thể nói, tập hợp các số tự nhiên (N) và các số đối của nó lập thành tập hợp các số nguyên.

1. Số nguyên là gì? 

Số nguyên là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong toán học, được tạo thành bởi tập hợp các số nguyên dương, số nguyên âm (là các số đối của số nguyên dương), và số 0. Được ký hiệu là Z, tên gọi này xuất phát từ tiếng Đức với ý nghĩa “chữ số”. Tập hợp số nguyên là một phần trong hai tập hợp lớn hơn: tập hợp số hữu tỉ Q và tập hợp số thực R. Nó cũng bao gồm tập hợp số tự nhiên N.

Tập hợp số nguyên Z là vô hạn nhưng đếm được, điều này có nghĩa là không có giới hạn về số lượng số nguyên và chúng có thể được liệt kê theo thứ tự. Tập hợp Z có thể được chia thành hai tập con riêng biệt: tập hợp Z+ chứa các số nguyên dương, và tập hợp Z- chứa các số nguyên âm.

Ví dụ, tập hợp số nguyên Z bao gồm các số: {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}. Trong đó, -3, -2, -1 là các số nguyên âm, 0 là số không, và 1, 2, 3 là các số nguyên dương.

Các số nguyên có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học và ứng dụng trong thực tế. Chúng được sử dụng để biểu thị các khái niệm về đếm, đo lường, thứ tự và phép tính. Đồng thời, các phép toán trên số nguyên đóng vai trò cơ bản trong tính toán và công nghệ thông tin.

2. Tính chất của số nguyên:

Số nguyên, là một tập hợp quan trọng trong toán học, có nhiều tính chất cơ bản và thú vị. Dưới đây là một số tính chất quan trọng của tập hợp số nguyên Z:

– Không có số nguyên lớn nhất và số nguyên nhỏ nhất: Tập hợp số nguyên không có phần tử nào được coi là số nguyên lớn nhất hay nhỏ nhất. Khái niệm này chỉ có tính chất tương đối và phụ thuộc vào điều kiện cụ thể trong từng trường hợp. Ví dụ, trong một tập hợp các số nguyên dương hữu hạn, số nguyên lớn nhất là số có giá trị lớn nhất trong tập hợp đó, và tương tự, số nguyên nhỏ nhất là số có giá trị nhỏ nhất trong tập hợp.

– Số nguyên dương nhỏ nhất và số nguyên âm lớn nhất: Trong tập hợp số nguyên, số nguyên dương nhỏ nhất là 1, và số nguyên âm lớn nhất là -1. Số 1 là số nguyên dương nhỏ nhất vì nó không có số nguyên dương nào nhỏ hơn trong tập hợp Z. Tương tự, số -1 là số nguyên âm lớn nhất vì không có số nguyên âm nào lớn hơn nó trong tập hợp Z.

– Tập con hữu hạn của số nguyên: Tập hợp số nguyên Z chứa vô số tập con hữu hạn, có nghĩa là có rất nhiều tập con của Z có số lượng phần tử hữu hạn. Mỗi tập con như vậy sẽ có số nguyên nhỏ nhất và số nguyên lớn nhất xác định trong phạm vi của nó. Ví dụ, nếu ta xét tập hợp các số nguyên từ -5 đến 5, thì số nguyên nhỏ nhất trong tập con này là -5 và số nguyên lớn nhất là 5.

– Không tồn tại số nguyên nằm giữa hai số nguyên liên tiếp: Trong tập hợp số nguyên, không tồn tại số nguyên nào nằm giữa hai số nguyên liên tiếp. Nghĩa là giữa hai số nguyên liên tiếp như a và a+1, không có số nguyên nào cách đều đặn về khoảng cách từ a và a+1. Ví dụ, giữa hai số nguyên liên tiếp 3 và 4, không có số nguyên nào nằm giữa chúng.

Số nguyên là gì?

Số nguyên là tập hợp gồm các số nguyên âm, số 0 và các số nguyên dương. Tập hợp các số nguyên được kí hiệu là Z.

• Các số tự nhiên khác 0 còn được gọi là các số nguyên dương (đôi khi còn viết +1, +2, +3,…nhưng dấu “+” thường được bỏ đi).
• Các số -1, -2, -3,…là các số nguyên âm.
• Tập hợp các số nguyên gồm: {…; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3;…}

Lưu ý:

• Số 0 không phải là số nguyên âm và cũng không phải là số nguyên dương.
• Điểm biểu diễn số nguyên a trên trục số gọi là điểm a.

Tính chất của tập số nguyên

Các số nguyên thuộc tập Z sẽ có những tính chất cơ bản sau đây:

• Không có khái niệm số nguyên lớn nhất và số nguyên nhỏ nhất. Khái niệm lớn nhất và nhỏ nhất chỉ mang tính chất tương đối và phụ thuộc vào điều kiện trong từng trường hợp.
• Số nguyên dương nhỏ nhất là 1. Số nguyên âm lớn nhất là -1.
• Số nguyên Z bao gồm vô số tập con hữu hạn. Những tập con đó sẽ có số nguyên nhỏ nhất và lớn nhất xác định.
• Không tồn tại một số nguyên nào nằm giữa hai số nguyên liên tiếp.

Số đối

Trên trục số các điểm 1 và -1, 2 và -2, 3 và -3,… cách đều điểm 0 và nằm ở hai phía của điểm 0. Ta nói các số 1 và -1, 2 và -2, 3 và -3,… là các số đối nhau.

Số đối của số 0 là 0.

Ví dụ:

• Số 10 và số -10 là hai số đối nhau.
• Số 110 với số -110 là hai số đối nhau.

Hy vọng bài viết trên đã giúp bạn giải đáp số nguyên là gì, z là ký hiệu tập số gì.

Số nguyên là gì?

Số nguyên là một trong những khái niệm cơ bản nhất của toán học. Số nguyên bao gồm các số nguyên dương và các số đối của chúng là số nguyên âm. Ngoài ra số nguyên còn bao gồm số 0. Đây là số duy nhất nằm giữa và là ranh giới phân biệt giữa hai đầu âm và dương.

Nếu phát biểu theo đúng khái niệm toán học: Các số nguyên là miền nguyên bao gồm các số được sắp xếp theo một thứ tự duy nhất. Các phần tử dương của nó được sắp xếp theo một thứ tự logic với quy luật được bảo toàn bởi phép cộng. Phát biểu đơn giản và dễ hiểu hơn thì số nguyên chính là những số có thể biểu thị mà không cần sử dụng tới thành phần phân số.

Tập hợp số nguyên Z

Khái niệm

Tập hợp số nguyên được ký hiệu là Z. Ký hiệu này là viết tắt của từ Zahl có nghĩa là chữ số trong tiếng Đức. Đây cũng là tập hợp con của hai tập hợp lớn hơn là tập hợp số hữu tỉ Q và số thực R. Đồng thời cũng là tập hợp mẹ của tập hợp số tự nhiên N. Và với tính chất giống như tập hợp số tự nhiên, tập hợp số Z là vô hạn nhưng đếm được. Tập hợp số nguyên Z có thể được chia thành 2 tập hợp con là Z+ và Z-. Trong đó:

Z+ là tập hợp các nguyên dương lớn hơn 0

Z- là tập hợp các số nguyên âm nhỏ hơn 0

Một lưu ý là số 0 chỉ nằm trong tập hợp Z, không nằm trong hai tập con Z+ và Z-.

Tính chất của tập Z

Các số nguyên thuộc tập Z sẽ có những tính chất cơ bản sau đây:

– Không có khái niệm số nguyên lớn nhất và số nguyên nhỏ nhất. Khái niệm lớn nhất và nhỏ nhất chỉ mang tính chất tương đối và phụ thuộc vào điều kiện trong từng trường hợp.

– Số nguyên dương nhỏ nhất là 1. Số nguyên âm lớn nhất là -1.

– Số nguyên Z bao gồm vô số tập con hữu hạn. Những tập con đó sẽ có số nguyên nhỏ nhất và lớn nhất xác định.

– Không tồn tại một số nguyên nào nằm giữa hai số nguyên liên tiếp.

Các tập hợp số cơ bản khác

Tập hợp số tự nhiên N

N là ký hiệu của tập hợp các số tự nhiên và là tập hợp số cơ bản nhỏ nhất trong hệ thống các tập hợp số. Số tự nhiên bao gồm những số 0, 1, 2, 3, …. Những số này được tìm ra và được sử dụng trong quá trình đếm, ghi chép và lưu trữ thông tin. Đây là tập hợp số đầu tiên được hình thành trong lịch sử loài người.

Khái niệm các con số đã xuất hiện rất lâu trên thế giới, từ thời các nền văn hóa cổ đại như Babylon hay Ai Cập. Tuy nhiên khái niệm tập hợp số tự nhiên mới chỉ xuất hiện trong thời gian hiện đại vào thế kỉ 19. N chính là tập hợp đầu tiên tạo nên nền tảng của lĩnh vực lý thuyết tập hợp và khoa học máy tính.

Ví dụ:

Tập hợp số hữu tỉ Q

Q là tập hợp của các số hữu tỉ – những số có thể được biểu diễn ở dạng phân số a/b với điều kiện cả hai số a và b đều là số nguyên và b0. Q cũng giống như N hay Z đều là những tập hợp số vô hạn nhưng đếm được. Một số hữu tỉ có thể biểu diễn bằng nhiều phân số khác nhau và biểu diễn dưới dạng số thập phân. Số hữu tỉ khi ở dạng thập phân có thể trở thành số thập phân tuần hoàn hoặc số thập phân không tuần hoàn.

Ví dụ:

Tập hợp số vô tỉ I

I là tập hợp các số vô tỉ – Những số không thể biểu diễn được ở dạng phân số. Số vô tỉ thường được diễn ra một cách dễ hiểu là những số thực không phải số hữu tỉ. Người đầu tiên đặt ra vấn đề về sự tồn tại của số vô tỉ là một nhà toán học theo trường phái Pythagore. Ông đã tìm ra vấn đề khi cố gắng xác định độ dài các cạnh của một ngôi sao năm cánh bằng phương pháp Pythagore. Rằng phải có một đơn vị có độ nhỏ phù hợp để thể hiện được độ dài của các cạnh ngôi sao và số đó không thể biểu thị bằng tỉ số của hai số nguyên.

Ví dụ:

Các nhà toán học Hy Lạp đã gọi đó là những số không thể đo lường hoặc diễn tả được. Một thời gian sau, nhà toán học Hy Lạp Theodorus của Cyrene đã thành công chứng minh được tính vô tỉ khi tiến hành khai căn những số nguyên nhỏ hơn 17. Từ đó, nhà toán học Hy Lạp Eudoxus của Cnidus đã xây dựng một nền tảng vững chãi về nghiên cứu các số vô tỉ.

Tập hợp số thực R

R là tập hợp các số thực được xác định là một khái niệm lớn bao hàm các khái niệm số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ và vô tỉ. Đây là tập hợp số lớn nhất và được coi là một hệ thống đại số đồ sộ. Ngoại trừ số 0 nằm ở vị trí trung tâm của trục số, bất kì số thực khác sẽ đều có thể là số âm hoặc số dương. Bản chất của R cũng như các tập con khác, đều là các tập hợp số vô hạn. Tuy nhiên quy mô của tập hợp này quá lớn khiến số lượng số thực là không đếm được.

Khái niệm số thực lần đầu tiên được sử dụng vào thế kỷ 17 bởi nhà toán học người Pháp René Descartes để biểu thị các giá trị nghiệm của đa thức và phân biệt với các nghiệm ảo. Tuy nhiên, đến tận năm 1871 khái niệm chính xác nhất và được sử dụng cho tới tận ngày nay về số thực mới được công bố bởi nhà toán học Georg Cantor.

Ví dụ:

Tập hợp số phức C

C là tập hợp các số phức có dạng a + bi, với a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo. Chính vì dạng biểu diễn này mà số phức sẽ bao gồm hai phần là phần thực và phần ảo.

Cha đẻ của khái niệm số học này là nhà toán học người Ý Gerolamo Cardano vào thế kỉ XIV với ứng dụng đầu tiên được sử dụng để giải các phương trình bậc ba. Và từ đó số phức được sử dụng để có thể giải được những bài toán không tìm được nghiệm là những số thực. Đây là một khái niệm được sử dụng trong rất nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau như khoa học kỹ thuật, điện từ học, cơ học, vật lý lượng tử và lý thuật hỗn loạn trong toán học ứng dụng.

Trên đây là bài viết giới thiệu về số nguyên là gì? cùng các tập hợp số cơ bản khác của lĩnh vực đại số. Hy vọng bài viết này đã cung cấp tới bạn những thông tin về những con số. Đừng quên theo dõi website của chúng tôi để tiếp thu thêm những kiến thức vật lý vô cùng thú vị mỗi ngày nhé!

1. Số nguyên là gì? Tập hợp các số nguyên

– Tập hợp số gồm các số nguyên âm, số 0, và các số nguyên dương được gọi là tập hợp các số nguyên.

– Tập hợp các số nguyên được ký hiệu là

= {…-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4;…}

Số nguyên có số 0 không ?

*Chú ý: Số 0 không phải là số nguyên âm, cũng không phải là số nguyên dương.

Ví dụ:

+) Các số 1; 5; 67; – 94; – 978 là các số nguyên.

+) – 26 ∈ ; 0 ∈  ; 87 ∈

» Xem thêm: Quy tắc cộng hai số nguyên cùng dấu và các dạng toán thường gặp

1. Số nguyên là gì?

Số nguyên là một tập hợp bao gồm các số: số 0, số nguyên dương (số tự nhiên) và số nguyên âm (số đối của số tự nhiên).

Tập số nguyên được ký hiệu là Z trong toán học, và tập hợp này vô hạn, có đếm được.

Một số đặc điểm về số nguyên:

• Không có số nguyên nhỏ nhất và lớn nhất
• Số nguyên âm nhỏ nhất là -1, số nguyên dương nhỏ nhất là 1
• Trong tập hợp Z, một tập con hữu hạn bất kỳ luôn có phần từ nhỏ nhất và phần tử lớn nhất
• Không có số nguyên nào ở giữa 2 số nguyên liên tiếp
• Số nguyên âm luôn luôn nhỏ hơn số 0 và các số nguyên dương
• Các số nguyên dương đều lớn hơn 0

2. Phân loại số nguyên: Số nguyên âm và số nguyên dương

Số nguyên được chia thành 2 loại bao gồm số nguyên dương và số nguyên âm.

Như đã đề cập, số nguyên dương chính là số tự nhiên. Đây là những số nguyên lớn hơn 0. Trong khi số tự nhiên là tập hợp các số nguyên dương và cả số 0. Theo đó, có thể nhận thấy số nguyên dương là một tập hợp con của số tự nhiên. Ký hiệu tập hợp số nguyên dương là Z+.

Ngược lại, số nguyên âm là các số nguyên nhỏ hơn 0. Tập hợp các số nguyên âm được ký hiệu là Z-.

Điểm chung duy nhất của tập hợp số nguyên âm và số nguyên dương là đều không bao gồm số 0.

Ví dụ: 

• Số nguyên âm: -1, -2, -3…
• Số nguyên dương: 1, 2, 3, 4,…
• Số nguyên: 1, 3, -30…

3. Những kiến thức quan trọng khác về số nguyên

Số đối của một số nguyên

Hai số nguyên phân biệt có điểm biểu diễn nằm về 2 phía của số 0 và cách đều 0 được gọi là hai số đối của nhau. Ví dụ, số đối của số -3 là 3, số đối của số 2 là -2.

Lưu ý:

• Số đối của số 0 là chính nó (số 0)
• Số đối của một số nguyên âm sẽ một số nguyên dương
• Số đối của một số nguyên dương sẽ là một số nguyên âm

Số 0 là số nguyên dương hay là số nguyên âm?

Trong tập số nguyên, số 0 là một số đặc biệt. Và nó không thuộc tập hợp số nguyên dương hay nguyên âm. 

Khi biểu diễn trên trục số nằm ngang, tập số nguyên dương ở bên phải số 0 và số nguyên âm nằm bên trái. Điểm số 0 là gốc của trục số, chính giữa của trục, để phân cách số nguyên dương và số nguyên âm.

Số nguyên khác biệt với số thực như thế nào?

Sau khi tìm hiểu về định nghĩa, đặc điểm và tính chất của số thực và số nguyên, có thể thấy được hai loại số này có một số điểm phân biệt như:

• Số nguyên là một tập con của số thực
• Số nguyên là tập hợp các số đếm được, trong khi số thực thì không đếm được bởi tập hợp số thực bao gồm cả số nguyên, số hữu tỉ và số vô tỉ

Qua bài viết này, chắc chắn bạn đã có thể hiểu được số nguyên là gì. Hy vọng những kiến thức này sẽ có ích cho bạn khi học Toán.

vi.wikipedia.org › wiki › Số_nguyên, luatminhkhue.vn › Giáo dục, www.pdiam.com › KIẾN THỨC XÃ HỘI, luathoangphi.vn › Giáo dục, luatduonggia.vn › so-nguyen-la-gi-ky-hieu-so-nguyen-0-co-phai-so-nguye…, luatduonggia.vn › so-nguyen-la-gi-cho-vi-du-phan-so-co-phai-la-so-nguyen, quantrimang.com › Cuộc sống › Kỹ năng › Giáo dục, học tập, sentayho.com.vn › so-nguyen-la-gi, voh.com.vn › chuyen-de-sgk-cd-toan-6-so-nguyen-la-gi.2731.639.283, dinhnghia.vn › so-nguyen-la-gi, số nguyên là gì? – lớp 6, Số nguyên kí hiệu là gì, 1/2 có phải là số nguyên không, 3/2 có phải là số nguyên không, Tập hợp số nguyên, Ví dụ số không nguyên, Số không nguyên la gì, Số nguyên to la gì