Số Vô Tỉ Số Thực – Thông tin tuyển sinh đào tạo Đại học Cao đẳng

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Hy Lạp cổ đại[sửa | sửa mã nguồn]

Bằng chứng đầu tiên về sự tồn tại của các số vô tỉ thường được quy cho một người theo trường phái Pythagore (có thể là Hippasus của Metapontum),^[5] người có thể đã phát hiện ra chúng trong khi xác định các cạnh của ngôi sao năm cánh.^[6] Phương pháp Pythagore hiện tại đã tuyên bố rằng phải có một số đơn vị đủ nhỏ, không thể phân chia, có thể vừa khít với một trong những độ dài này cũng như các chiều dài khác. Tuy nhiên, Hippasus, vào thế kỷ thứ 5 TCN, đã có thể suy luận rằng trên thực tế không có đơn vị đo lường chung nào, và việc khẳng định sự tồn tại như vậy trên thực tế là một mâu thuẫn. Ông đã làm điều này bằng cách chứng minh rằng nếu cạnh huyền của tam giác vuông cân thực sự có tỷ lệ đo được khi so với cạnh góc vuông, thì một trong những độ dài được đo theo đơn vị đo đó phải là số lẻ và số chẵn, điều này là không thể. Lý luận của ông là như sau:

• Giả sử chúng ta có một tam giác vuông cân với các số nguyên cạnh a, b và c. Tỷ lệ của cạnh huyền với một chân được biểu thị bằng c:b.
• Giả sử a, b và c là các số hạng nhỏ nhất có thể (nghĩa là chúng không có ước số chung).
• Theo định lý Pythagoras: c² = a² + b² = b² + b² = 2b². (Vì tam giác là cân, nên a = b).
• Vì c² = 2b², c² chia hết cho 2 và do đó chẵn.
• Vì c² là chẵn nên c phải chẵn.
• Vì c là chẵn nên chia c cho 2 có thương là số nguyên. Đặt y là số nguyên này (c = 2y).
• Bình phương cả hai vế của c = 2y thu được c² = (2y)² hoặc c² = 4y ².
• Thay 4y² cho c² theo phương trình thứ nhất (c² = 2b²) cho kết quả 4y² = 2b².
• Chia cho 2 thu được 2y² = b².
• Vì y là một số nguyên và 2y² = b², b² phải chia hết cho 2 và do đó là số chẵn.
• Vì b² là chẵn nên b phải chẵn.
• Chúng ta vừa chỉ ra rằng cả b và c phải là số chẵn. Do đó chúng có ước số chung là 2. Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn với giả định rằng chúng không có ước số chung. Mâu thuẫn này chứng minh rằng cả c và b không thể là số nguyên và do đó, có sự tồn tại của một số không thể biểu thị bằng tỷ lệ của hai số nguyên.^[7]

Các nhà toán học Hy Lạp đã gọi tỉ lệ này là các số không thể đo lường được, hoặc không thể diễn tả được. Tuy nhiên, Hippasus không được ca ngợi vì những nỗ lực của mình: theo một truyền thuyết, ông đã khám phá ra điều này khi đang ở ngoài biển và sau đó bị các nhà toán học cùng trường phái Pythagore của ông ném ra khỏi tàu vì đã tạo ra một yếu tố trong vũ trụ mà phản đối lại học thuyết, rằng tất cả các hiện tượng trong vũ trụ có thể được tối giản thành các số nguyên và tỉ lệ của chúng.” ^[8] Một truyền thuyết nói rằng Hippasus chỉ đơn thuần là phải đi lưu vong vì chứng minh này. Dù hậu quả của Hippasus là gì, khám phá của ông đã đặt ra một vấn đề rất nghiêm trọng đối với toán học Pythagore, vì nó phá vỡ giả định rằng số lượng và hình học không thể tách rời – một nền tảng của lý thuyết này.

Việc phát hiện ra các tỉ lệ không thể tối giản/đo được cho thấy một vấn đề khác mà người Hy Lạp phải đối mặt: mối quan hệ của sự rời rạc với sự liên tục. Điều này đã được Zeno of Elea đưa ra ánh sáng, người đã đặt câu hỏi về quan niệm rằng số lượng là rời rạc và bao gồm một số lượng đơn vị hữu hạn có kích thước nhất định. Các quan niệm của Hy Lạp trong quá khứ cho rằng chúng nhất thiết phải có, vì toàn bộ các số đại diện cho các đối tượng rời rạc và tỉ lệ tương xứng biểu thị mối quan hệ giữa hai bộ sưu tập các đối tượng rời rạc,^[9] nhưng Zeno thấy rằng “trong thực tế số lượng không phải là tổng/tập hợp của các đơn vị; Đây là lý do tại sao các tỉ lệ không thể giải quyết được [số lượng] xuất hiện. Số lượng, nói cách khác là liên tục.” Điều này có nghĩa là, trái với quan niệm phổ biến về thời gian, không thể có một đơn vị không thể chia nhỏ nhất, mà chúng ta có thể dùng nó như đơn vị đo cho bất kỳ số lượng nào. Trong thực tế, các phân chia số lượng này nhất thiết phải là vô hạn. Ví dụ, hãy xem xét một đoạn thẳng: đoạn thẳng này có thể được chia làm đôi, một nửa chia thành một nửa nữa, một nửa mới chia này tiếp tục chia thành một nửa nữa, và như vậy. Quá trình này có thể tiếp tục đến vô tận, vì luôn có một nửa khác bị chia đôi. Càng nhiều lần đoạn thẳng được chia đôi, đơn vị đo càng gần bằng 0, nhưng nó không bao giờ đạt đến số 0 chính xác. Đây chỉ là những gì Zeno tìm cách chứng minh. Ông đã tìm cách chứng minh điều này bằng cách xây dựng bốn nghịch lý, điều này chứng minh những mâu thuẫn vốn có trong tư tưởng toán học thời đó. Mặc dù nghịch lý của Zeno đã chứng minh chính xác những thiếu sót của các quan niệm toán học khi đó, chúng không được coi là bằng chứng của sự thay thế. Trong suy nghĩ của người Hy Lạp, việc bác bỏ tính hợp lệ của một quan điểm không nhất thiết phải chứng minh tính hợp lệ của một quan điểm khác, và do đó phải tiến hành điều tra thêm.

Bước tiếp theo được Eudoxus của Cnidus thực hiện, người đã chính thức nêu ra một lý thuyết mới về tỷ lệ có tính đến số lượng tương xứng cũng như không thể so sánh được. Trung tâm của ý tưởng của ông là sự phân biệt giữa cường độ và số lượng. Một cường độ… không phải là một con số mà là viết tắt của các thực thể như đoạn thẳng, góc, diện tích, khối lượng và thời gian có thể thay đổi, như chúng ta sẽ nói, liên tục. Độ lớn trái ngược với các con số, nhảy từ giá trị này sang giá trị khác, chẳng hạn từ 4 đến 5.”^[10] Các số được tạo thành từ một số đơn vị nhỏ nhất, không thể chia, trong khi cường độ có thể giảm vô hạn. Do không có giá trị định lượng nào được gán cho độ lớn, Eudoxus sau đó có thể tính cả hai tỷ lệ tương xứng và không thể đo được bằng cách xác định tỉ lệ theo độ lớn của nó và tỷ lệ là một đẳng thức giữa hai tỉ lệ. Bằng cách lấy các giá trị định lượng (số) ra khỏi phương trình, ông tránh được cái bẫy phải biểu thị một số vô ỉỷ dưới dạng số. Lý thuyết của Eoxoxus cho phép các nhà toán học Hy Lạp đạt được tiến bộ to lớn về hình học bằng cách cung cấp nền tảng logic cần thiết cho các tỷ lệ vô tỷ.^[11] Tính không tương thích này được giải quyết trong Tác phẩm Cơ bản của Euclid, Quyển X, Proposition 9.

Do sự phân biệt giữa số lượng và cường độ, hình học trở thành phương pháp duy nhất có thể biểu diễn được các tỉ lệ là số vô tỉ. Bởi vì các nền tảng số học trước đây vẫn chưa tương thích với khái niệm về số vô tỉ, trọng tâm của toán học Hy Lạp đã ngừng tập trung nghiên cứu các khái niệm về số như đại số và hầu như chỉ tập trung vào hình học. Trong thực tế, trong nhiều trường hợp, các khái niệm đại số đã được cải tổ thành các thuật ngữ hình học. Điều này có thể giải thích cho lý do tại sao chúng ta vẫn quan niệm x² và x³ là x bình phương và x lập phương thay vì x mũ hai và x mũ ba. Cũng rất quan trọng đối với tác phẩm của Zeno với cường độ (số vô tỉ) không thể đo lường được là trọng tâm cơ bản trong lý luận suy diễn xuất phát từ sự tan vỡ nền tảng của toán học Hy Lạp trước đó. Việc nhận ra rằng một số quan niệm cơ bản trong lý thuyết hiện tại là mâu thuẫn với thực tế cần phải có một cuộc điều tra đầy đủ và kỹ lưỡng về các tiên đề và giả định làm nền tảng cho lý thuyết đó. Xuất phát từ sự cần thiết này, Eudoxus đã phát triển phương pháp cạn kiệt của mình, một loại chứng minh phản chứng mà “đã thành lập cách thức suy diễn trên cơ sở các tiên đề rõ ràng, cũng như khẳng định và củng cố cho cách thức chứng minh trước đó. Phương pháp cạn kiệt này là bước đầu tiên trong việc tạo ra môn vi tích phân.

Theodorus của Cyrene chứng minh tính vô tỷ của khai căn của các số nguyên lên đến khai căn của các số nhỏ hơn 17, nhưng dừng lại ở đó có lẽ vì đại số ông sử dụng không thể được áp dụng cho căn bậc n của 17.^[12]

Chỉ đến khi mà Eudoxus phát triển một lý thuyết về tỷ lệ có tính đến các tỷ lệ là số vô tỉ cũng như tỉ lệ là số hữu tỉ, một nền tảng toán học mạnh mẽ của các số vô tỉ mới được tạo ra.^[13]

Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Số hữu tỉ là gì?

Số hữu tỉ là tập hợp các số có thể viết được dưới dạng phân số (thương số). Tức là một số hữu tỉ có thể được biểu diễn bằng một số thập phân vô hạn tuần hoàn. Số hữu tỉ được viết là a/b, trong đó a và b là các số nguyên nhưng b phải khác 0

Q là tập hợp các số hữu tỉ. Vậy ta có: Q={ a/b; a, b∈Z, b≠0}

Tính chất

• Tập hợp số hữu tỉ là tập hợp đếm được.
• Phép nhân số hữu tỉ có dạng

• Phép chia số hữu tỉ có dạng

• Nếu số hữu tỉ là số hữu tỉ dương thì số đối của nó là số hữu tỉ âm và ngược lại. Tức tống số hữu tỉ và số đối của nó bằng 0.

Ví dụ:

Nhân số hữu tỉ:

Chia số hữu tỉ:

Số hữu tỉ 3/2 có số đối là (-3/2). Tổng hai số đối 3/2+(-3/2) =0

Các loại số hữu tỉ phổ biến

Số hữu tỉ được phân thành 2 loại gồm số hữu tỉ âm và số hữu tỉ dương. Cụ thể:

• Số hữu tỉ âm: Bao gồm những số hữu tỉ nhỏ hơn 0
• Số hữu tỉ dương: Bao gồm những sổ hữu tỉ lớn hơn 0

Lưu ý: số 0 không phải là số hữu tỉ âm và cũng không phải là số hữu tỉ dương.

Công thức tính lũy thừa của 1 số hữu tỉ

Các công thức tính lũy thừa của 1 số hữu tỉ mà bạn cần phải ghi nhớ

Tích của hai lũy thừa cùng cơ số:

Lũy thừa của lũy thừa

Lũy thừa của một tích

Lũy thừa của một thương

Số vô tỉ là gì?

Khái niệm

Số vô tỉ là các số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.Số vô tỉ kí hiệu là I.

Các bạn cần ghi nhớ các số thực không phải là số hữu tỉ có nghĩa là các bạn không thể biểu diễn được dưới dạng tỉ số như a/ b (trong đó a, b là các số nguyên).

Tính chất

Tập hợp số vô tỉ là tập hợp không đếm được.

Ví dụ:

Số vô tỉ: 0,1010010001000010000010000001… (đây là số thập phân vô hạn không tuần hoàn)

Số căn bậc 2: √2 (căn 2)

Số pi (π): 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50 288…..

Sự khác nhau giữa số hữu tỉ và số vô tỉ?

Số hữu tỉ bao gồm số thập phân vô hạn tuần hoàn, còn số vô tỉ là các số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Số hữu tỉ chỉ là phân số, còn số vô tỉ có rất nhiều loại số khác nhau

Số hữu tỉ là số đếm được, còn số vô tỉ là số không đếm được

Mối quan hệ các tập hợp số

Ký hiệu các tập hợp số:

N: Tập hợp số tự nhiên

N*: Tập hợp số tự nhiên khác 0

Z: Tập hợp số nguyên

Q: Tập hợp số hữu tỉ

I: Tập hợp số vô tỉ

Ta có : R = Q ∪ I.

Tập N ; Z ; Q ; R.

Khi đó quan hệ bao hàm giữa các tập hợp số là : N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Hy vọng bài viết trên đã giúp bạn nắm được số hữu tỉ là gì, số vô tỉ là gì, các loại số hữu tỉ, số hữu tỉ kí hiệu là gì, cách nhận biết số hữu tỉ để giải quyết các bài toán dễ dàng nhé.

Số hữu tỉ là gì?

Trong toán học, cụ thể là đại số, số hữu tỉ là các số x có thể biểu diễn dưới dạng phân số a/b, trong đó a và b là các số nguyên với b khác 0. Tập hợp các số hữu tỉ, hay còn gọi là trường số hữu tỉ, có ký hiệu là Q.

Số hữu tỉ là số có thể viết dưới dạng a/b với a, b ∈ Z,b ≠ 0 và được kí hiệu là Q

Ví dụ: Các số 3; -1/2; 2/3;… là các số hữu tỉ

Tập hợp số hữu tỉ gồm:

• Số thập phân hữu hạn: 0.5 (½), 0.2 (⅕),…

• Số thập phân vô hạn tuần hoàn: 0.16666… (⅙), 0.3333… (⅓),…

• Tập hợp số nguyên (Z): -2, -1, 0, 1, 2,…

• Tập hợp số tự nhiên (N): 1, 2, 3, 4, 5, 6,…

Tính chất của số hữu tỉ:

• Tập hợp số hữu tỉ là tập hợp đếm được.

• Phép nhân số hữu tỉ có dạng

• Phép chia số hữu tỉ có dạng:

• Nếu số hữu tỉ là số hữu tỉ dương thì số đối của nó là số hữu tỉ âm và ngược lại. Tức tống số hữu tỉ và số đối của nó bằng 0.

Xem thêm: Nguyên hàm từng phần là gì? Công thức tính nguyên hàm từng phần cơ bản và nâng cao đầy đủ nhất

Số vô tỉ là gì?

Trong toán học, các số vô tỉ là tất cả các số thực không phải là số hữu tỉ, mà là các số được xây dựng từ các tỷ số (hoặc phân số) của các số nguyên.

Số vô tỉ kí hiệu là gì? Số vô tỉ là các số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Và kí hiệu của số vô tỉ là I.

Các bạn cần ghi nhớ các số thực không phải là số hữu tỉ có nghĩa là các bạn không thể biểu diễn được dưới dạng tỉ số như a/ b (trong đó a, b là các số nguyên).

Tính chất của số vô tỉ: Tập hợp số vô tỉ là tập hợp không đếm được.

Ví dụ:

• Số vô tỉ: 0,1010010001000010000010000001… (đây là số thập phân vô hạn không tuần hoàn)

• Số căn bậc 2: √2 (căn 2)

• Số pi (π): 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50 288…..

1. Nguồn gốc của số vô tỉ và số hữu tỉ: 

Điều này liên quan đến một câu chuyện cũ thú vị. Vào thế kỷ thứ 6 TCN nhà toán học Hy Lạp cổ đại Pythagoras đã sống, người tin rằng trên thế giới chỉ có các số nguyên và tỷ lệ của hai số nguyên (phân số). Ví dụ, một số nguyên hoặc tỷ số của hai số nguyên có thể được sử dụng để chọn các dây có độ dài bằng tỷ lệ của các số nguyên, chẳng hạn như 2:3 hoặc 3:4, thì các hài âm (thang âm: âm phẳng) sẽ được tạo ra. Tóm lại, theo Pythagoras, “mọi thứ trong vũ trụ đều ở dạng số nguyên”.

Nhưng thực tế không phải như vậy. Một hôm, một học sinh hỏi Pythagoras: đường chéo của một hình vuông có cạnh bằng 1 có thể được mô tả bằng một số nguyên hoặc bằng tỷ số của hai số nguyên không? Để trả lời câu hỏi này cần phải có bằng chứng. Pythagoras tiếp tục với bằng chứng sau:

Trên hình vẽ trình bày hình vuông cạnh bằng 1 và đường chéo giả sử được biểu diễn bằng số nguyên hay tỉ số của hai số nguyên p/q.

Theo định lí Pithagore ta có:

(p/q)2 = 12 + 12 = 2

hay p2 = 2q2

Theo kết quả trên vì 2q2 là số chẵn nên p2 là số chẵn (p không thể là số lẻ vì một số lẻ bất kì, ví dụ 2n + 1 khi nâng lên bình phương phải là số lẻ: (2n+1)2 = 4n2 + 2n2+1.

Vả lại p và q không có ước số chung nên p đã là số chẵn thì q phải là số lẻ.

Nếu p là số chẵn, ta có thể đặt p = 2a do vậy

– p2 = 4a2 = 2q2 hay

– q2 = 2a2

Chứng tỏ q2 là số chẵn nên q cũng phải là số chẵn; Vì vậy, nó mâu thuẫn với giả thiết được đưa ra ngay từ đầu, và  mâu thuẫn là q vừa là số lẻ vừa là số chẵn. Mâu thuẫn này khiến Pythagoras gặp rắc rối, nhưng nó cũng đưa sự hiểu biết của mọi người về các con số tiến thêm một bước.

Chỉ vì bạn không thể sử dụng một số nguyên hoặc một phân số để đo độ dài đường chéo của hình vuông ở cạnh 1 không có nghĩa là độ dài không tồn tại. Thật vậy, áp dụng định lý Pitago, dễ dàng nhận thấy độ dài đường chéo là căn bậc hai của 2, tức là √2. Do đó, ngoài các số nguyên và phân số (tỷ số của hai số nguyên), một loại số mới đã được phát hiện mà lúc bấy giờ chưa được biết đến. Vì √2 không thể biểu diễn dưới dạng tỉ số của hai số nguyên nên người xưa gọi nó là số vô tỉ (không thể biểu diễn dưới dạng tỉ số của hai số nguyên).

Số hữu tỉ là gì?

Số hữu tỉ là tập hợp các số có thể viết được dưới dạng phân số (thương số), tức là một số hữu tỉ có thể được biểu diễn bằng một số thập phân vô hạn tuần hoàn.

– Số hữu tỉ được viết là a/b, trong đó a và b là các số nguyên nhưng b phải khác 0.

Q là tập hợp các số hữu tỉ. Vậy ta có: Q={ a/b; a, b∈Z, b≠0}

– Tính chất của số hữu tỉ:

+ Tập hợp số hữu tỉ là tập hợp đếm được.

+ Nhân số hữu tỉ có dạng a/b x c/d = a.c/ b.d

+ Chia số hữu tỉ có dạng a/ b : c/d = a.d/ b.c

+ Nếu số hữu tỉ là số hữu tỉ dương thì số đối của nó là số hữu tỉ âm và ngược lại. Tức tống số hữu tỉ và số đối của nó bằng 0.

Cộng trừ số hữu tỉ

Quy tắc cộng trừ số hữu tỉ: Khi cộng, trừ số hữu tỉ chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của cùng một đẳng thức thì ta phải đổi dấu số hạng đó.

– Tính chất cộng trừ số hữu tỉ: Phép cộng số hữu tỉ có đầy đủ các tính chất của phép cộng phân số:

+ Tính chất giao hoán: x+y=y+x

+ Tính chất kết hợp: (x+y)+z=x+(y+z)

+ Cộng với số 0: x+0=x

+ Mỗi số hữu tỉ bất kỳ đều có một số đối.

+ Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ

Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ x được kí hiệu là |x|, được tính bằng khoảng cách từ điểm x tới điểm O trên trục số.

Nếu x > 0 thì |x| = x.

Nếu x = 0 thì |x| = 0.

Nếu x < 0 thì |x| = -x.

Số vô tỉ là gì?

Số vô tỉ là tập hợp các số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn, trong toán học thì các số thực không phải là số hữu tỉ mà được gọi là các số vô tỉ, nghĩa là không thể biểu diễn được dưới dạng tỉ số a/ b (a, b là các số nguyên).
Tập hợp số vô tỉ là tập hợp không đếm được. Tập hợp số vô tỉ kí hiệu là I

Ví dụ:

Số √ 2 (căn 2)

Số thập phân vô hạn có chu kỳ thay đổi như:  

0.1010010001000010000010000001…

Số = 1,41421 35623 04880 73095 16887 24209 7…

Số pi = 3,14159 26535 89793 26433 83279 50288 23846 41971 69399 37510 58209 74944…

Số logarit tự nhiên e = 2,71828 18284 59045 23536…

Số thực là gì?

Số thực, tiếng Anh là Real numbers là tập hợp bao gồm số dương (1,2,3), số 0, số âm (-1,-2,-3), số hữu tỉ (5/2, -23/45), số vô tỉ (số pi, số √ 2).

Số thực có thể được xem là các điểm nằm trên trục số dài vô hạn.

Hiểu một cách đơn giản hơn thì số thực là tập hợp các số hữu tỉ và vô tỉ.

Tập hợp số thực kí hiệu là R (R = Q U I).

Một số thực có thể là số đại số hoặc số siêu việt. Ta cũng có số thực âm (-1, -3/4…) và số thực dương (5, 7, √ 2…).

Số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ và số vô tỷ đều thuộc tập hợp số thực. Đây là tập hợp số lớn nhất và được coi là một hệ thống đại số đồ sộ. Ngoại trừ số 0 nằm ở vị trí trung tâm của trục số, bất kì số thực khác sẽ đều có thể là số âm hoặc số dương. Bản chất của R cũng như các tập con khác, đều là các tập hợp số vô hạn. Tuy nhiên quy mô của tập hợp này quá lớn khiến số lượng số thực là không đếm được.

Khái niệm số thực lần đầu tiên được sử dụng vào thế kỷ 17 bởi nhà toán học người Pháp René Descartes để biểu thị các giá trị nghiệm của đa thức và phân biệt với các nghiệm ảo. Tuy nhiên, đến tận năm 1871 khái niệm chính xác nhất và được sử dụng cho tới tận ngày nay về số thực mới được công bố bởi nhà toán học Georg Cantor.

Số thực là những số nào?

Số thực bao gồm:

+ Số tự nhiên N: N = {0, 1, 2, 3,…}

+ Số nguyên Z: Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}

+ Số hữu tỉ Q: Q = {x = a/b; trong đó a,b ϵ Z, và b ≠0}

+ Số vô tỉ I: I ={số thập phân vô hạn không tuần hoàn, ví dụ √2, số pi}

Trục số thực là gì?

Trục số thực là một trục số nằm ngang để biểu diễn tập hợp các số thực. Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số. Ngược lại, mỗi điểm trên trục số sẽ biểu diễn một số thực. Chỉ có tập hợp số thực mới có thể lấp đầy trục số.

Chú ý: Trong tập hợp số thực, ta cũng định nghĩa các phép toán cộng trừ, nhân, chia, lũy thừa, căn bậc,…Và trong các phép toán, các số thực cũng có các tính chất như các phép toán trong tập hợp các số hữu tỉ.

Khái niệm số vô tỉ là gì?

Số vô tỉ là tập hợp tất cả các số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Trong toán học thì các số thực không phải là các số hữu tỉ mà được gọi là các số vô tỉ, nghĩa là chúng ta không thể biểu diễn được dưới dạng tỉ số a/ b (a, b là các số nguyên). Tập hợp số vô tỉ là tập hợp những số không đếm được.

Tập hợp số vô tỉ được kí hiệu là chữ I. Người ta đã chứng minh được rằng, tập hợp các số vô tỉ có số lượng lớn hơn tập hợp các số hữu tỉ.

Số vô tỉ trong tiếng Anh là: irrational number hoặc surf (chuẩn UK).

Ví dụ về số Vô tỉ như:

-Căn bậc 2 của 2: Số √2 

-Số thập phân vô hạn có chu kỳ thay đổi (nghĩa là không tuần hoàn) : 0.101001000100001…

-Số pi sẽ bằng: 3,14159 26535 89793 23846

-Số lôgarit tự nhiên của e = 2,71828 18284 59045…

Sự khác nhau giữa số hữu tỉ và số vô tỉ

Về cơ bản, số vô tỉ và số hữu tỉ khác nhau như sau:

• Số hữu tỉ sẽ bao gồm số thập phân vô hạn tuần hoàn, còn số vô tỉ là các số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
• Số hữu tỉ chỉ là phân số, còn số vô tỉ bao gồm rất nhiều loại số
• Số hữu tỉ là số đếm được, còn số vô tỉ là những số không đếm được.

Khái niệm về căn bậc hai

Trong toán học, căn bậc hai của một số a không âm là một số x sao cho x2 = a. Hay nói một cách khác là số x mà bình phương lên thì = a. Ví dụ, 5 và −5 là căn bậc hai của 25 vì52= (-5)2 = 25.

Chú ý: Mọi số dương a đều có hai căn bậc hai: √a là căn bậc hai dương và −√a là căn bậc hai âm. Chúng được viết ngắn gọn hơn là ±√a.

Mọi số thực a không âm đều sẽ có một căn bậc hai không âm duy nhất, gọi là căn bậc hai chính, ký hiệu √a, ở đây √ được gọi là dấu căn. Ví dụ, căn bậc hai chính của √9 là 3, ký hiệu 9 = 3, vì 32 = 3 × 3 = 9 và 3 là số không âm.

Mọi số dương a (a khác 0) đều có hai căn bậc hai: √a là căn bậc hai dương và −√a là căn bậc hai âm. Chúng được ký hiệu ngắn gọn là ± √a.

Số thực là gì?

Số thực là số được định nghĩa bởi thành phần của chính nó. Nghĩa là, tập hợp số thực được xem như là hợp của tập hợp số vô tỉ với tập hợp của các số hữu tỉ. Số thực này có thể là đại số hoặc là những số siêu việt. Tập hợp của số thực được đặt làm đối trọng với tập hợp của các số phức. Số thực được mô tả một cách không chính thức theo nhiều cách khác nhau. Số thực thường sẽ bao gồm số dương, số 0 và cả số âm.

Trong toán học thì số thực là giá trị của một đại lượng liên tục, được biểu thị bằng một khoảng cách dọc theo một đường thẳng. Tính từ thực này được giới thiệu vào khoảng thế kỷ 17 bởi một nhà toán học người Pháp tên là Rene Descartes, ông là người phân biệt giữa nghiệm thực và nghiệm ảo của đa thức.  

Tập hợp các số thực được ký hiệu là chữ R.

Số thực bao gồm những số nào?

Các số thực sẽ bao gồm tất cả những số hữu tỉ, bao gồm các số nguyên và số thập phân. Ví dụ như số nguyên -5, phân số 4/3 và tất cả cả những số vô tỉ như: √2(1.41421356…, căn bậc 2 của số 2, số đại số vô tỉ). Nằm trong các số vô tỉ là số siêu việt, ví dụ như π(3.14159256…). Ngoài việc đo khoảng cách thì số thực còn được dùng để đo các đại lượng khác như thời gian, vận tốc, năng lượng, khối lượng và rất nhiều đại lượng khác.

Tính chất của số thực

Các tính chất cơ bản của số thực như sau:

• Bất kỳ số thực khác không đều là số âm hoặc số dương.
• Tổng, tích của hai số thực không âm cũng chính là một số thực không âm. Điều này có nghĩa là chúng được đóng trong các phép toán này và tạo thành một vành số dương. Từ đó tạo nên một thứ tự tuyến tính của các số thực dọc theo một trục số.
• Những số thực tạo nên một tập hợp vô hạn các số mà không thể đơn ánh tới tập hợp vô hạn của các số tự nhiên. Nghĩa là có vô cùng nhiều không đếm được các số thực. Trong khi đó, các số tự nhiên được gọi là tập hợp vô hạn đếm được. Điều này đã chứng tỏ rằng trong một số ý nghĩa, có nhiều số thực hơn so với phần tử trong bất kỳ tập hợp đếm được nào.
• Có một hệ thống các tập hợp con vô hạn có thể đếm được các số thực. Ví dụ như: số nguyên, số hữu tỷ, số đại số và số tính được,… Mỗi tập hợp là một tập hợp con thực sự của các tập hợp tiếp theo. Những phần bù của tất cả các tập hợp này (số thực vô tỷ, số siêu việt và cả số không tính toán được) đối với các số thực, đều là những tập hợp vô hạn không đếm được.