Thể Tích Lăng Trụ – Thông tin tuyển sinh đào tạo Đại học Cao đẳng
Thể Tích Lăng Trụ đang là thông tin được nhiều người quan tâm tìm hiểu để lựa chọn theo học sau nhiều đợt giãn cách kéo dài do dịch. Website BzHome sẽ giới thiệu cho bạn những thông tin mới nhất chính xác nhất về Thể Tích Lăng Trụ trong bài viết này nhé!
Nội dung chính
1. Thể tích khối lăng trụ đứng
Công thức tính thể tích hình lăng trụ đứng:
Thể tích hình lăng trụ đứng bằng tính của diện tích đáy nhân với chiều cao.
Trong đó
Vlà thể tích khối lăng trụ (đơn vị m3)Blà diện tích đáy (đơn vị m2)hlà chiều cao khối lăng trụ (đơn vị m)
3. Phân loại hình lăng trụ
Hình lăng trụ đều
Là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Các mặt bên của lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau. Ví dụ: hình lăng trụ tam giác đều, tứ giác đều… thì ta hiểu là hình lăng trụ đều
Mặt đáy hình tứ giác đều thì gọi là hình lăng trụ tứ giác đều.
Hình lăng trụ đứng
Nếu như hình lăng trụ mà có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy thì người ta gọi là hình lăng trụ đứng.
Lưu ý:
Nếu mặt đáy là hình chữ nhật thì hình trụ đứng của tứ giác có tên gọi khác là hình hộp chữ nhật.
Nếu hình trụ đứng tứ giác có 12 cạnh đều có độ dài là a thì tên gọi của nó là hình lập phương.
So sánh khối lăng trụ đứng và khối lăng trụ đều:
| ĐỊNH NGHĨA: | TÍNH CHẤT |
| + Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy |
+ Các mặt bên hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật + Các mặt bên hình lăng trụ đứng vuông góc với mặt đáy + Chiều cao là cạnh bên |
| + Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều |
+ Các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau + Chiều cao là cạnh bên |
4. Ví dụ về tính thể tích khối lăng trụ đứng
Ví dụ 1:
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a = 2 cm và chiều cao là h = 3 cm. Hãy tính thể tích hình lăng trụ này?
Giải:
Vì đáy là tam giác đều cạnh a nên diện tích:
Khi này, thể tích hình lăng trụ là:
Ví dụ 2:
Bài 1: Cho hình hộp đứng có các cạnh AB = 3a, AD = 2a, AA’= 2a. Tính thể tích của khối A’.ACD’
Hướng dẫn:
Do mặt bên ADD’A’ là hình chữ nhật nên ta có:
Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a√3, góc giữa và đáy là 60º. Gọi M là trung điểm của BB’. Tính thể tích của khối chóp M.A’B’C’.
Giải:
Do nên suy ra
Ta có:
Ví dụ 4:
Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và mặt (DBC’) với đáy ABCD một góc 60º. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D?
Ta có: tại tâm O của hình vuông ABCD.
Mặt khác do đó
Suy ra
Lại có:
Ngoài công thức tính thể tích khối lăng trụ ở trên, các bạn có thể tham khảo thêm bài viết về công thức tính thể tích khối tròn xoay, công thức tính diện tích và chu vi hình tròn…
1. Hình lăng trụ là gì?
Định nghĩa hình lăng trụ là đa giác có mặt bên là hình bình hành và 2 mặt đáy song song bằng nhau.
1.1. Hình lăng trụ tam giác đều
Hình lăng trụ tam giác đều là hình trụ có mặt đáy là tam giác đều.
1.2. Hình lăng trụ tứ giác đều
Là hình trụ có mặt đáy là hình tứ giác đều.
2. Các dạng hình lăng trụ
-
Lăng trụ đứng: là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với phần đáy. Độ dài cạnh bên hay chính là chiều cao của hình lăng trụ. Khi đó các mặt bên của hình lăng trụ đứng chính là các hình chữ nhật.
-
Lăng trụ đều: là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Các mặt bên là các hình chữ nhật bằng nhau.
-
Hình hộp: Là hình lăng trụ có đáy là chính là hình bình hành.
-
Hình hộp đứng: là hình lăng trụ đứng với đáy là hình bình hành.
-
Hình hộp chữ nhật: hình hộp đứng với đáy là hình chữ nhật.
-
Hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông, các mặt bên là hình vuông thì được gọi là hình lập phương.
Đăng ký ngay để được các thầy cô hướng dẫn trọn bộ kiến thức và các dạng bài về hình lăng trụ và hình học không gian
3. Công thức tính thể tích khối lăng trụ đứng
Thể tích: thể tích khối lăng trụ bằng diện tích của mặt đáy và khoảng cách giữa hai mặt đáy hoặc là chiều cao.
V = B.h
Trong đó:
- B: là diện tích đáy (đơn vị $m^{2}$)
- H: chiều cao khối lăng trụ (đơn vị m)
- V: thể tích khối lăng trụ (đơn vị $m^{3}$)
>> Xem thêm: Công thức tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều và bài tập
4. Một số bài tập tính thể tích khối lăng trụ và phương pháp giải
Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C có đáy là tam giác đều cạnh a. Biết mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy một góc 60°. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
Giải:
Diện tích đáy của lăng trụ là $S_{ABC}=frac{a^{2}sqrt{3}}{4}$.
Dựng $AHperp BC$, có $BCperp AA’ Rightarrow BCperp (A’HA)$.
Do đó: $widehat{((A’BC)$;$(ABC))} = widehat{A’HA} = 60^{0}$.
Ta có: $AH = frac{asqrt{3}}{2}Rightarrow A’H= AH tan 60^{0}=frac{3a}{2}$.
Thể tích khối lăng trụ là $V=S_{ABC}.AA’=frac{3a^{3}sqrt{3}}{8}$.
Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, đường chéo của mặt bên ABB’A’ là AB’ =$asqrt{2}$. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ đó là:
Giải:
Ta có tam giác ABB’ có BB’=$sqrt{AB’^{2}}-AB^{2}$= a
Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:
V= $S_{ABC}.BB’$=$frac{a^{2} sqrt{3}}{4}.a$=$frac{a^{3} sqrt{3}}{4}$.
Nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán THPT với bộ bí kíp độc quyền của VUIHOC ngay!
Bài 3: (VDC) Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A’ xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp với tam giác ABC biết AA’ hợp với đáy (ABC) một góc 60 độ.
a, Chứng minh BB’C’C là hình chữ nhất
b, Tính thể tích khối lăng trụ
Giải:
a, Ta có BB’C’C là hình bình hành vì là mặt bên của hình lăng trụ.
H là trung điểm BC, vì $triangle ABC$ đều $Oin AH$.
Ta có: $BCperp AH$ và $BCperp A’ORightarrow BCperp (AAH)’ BCperp A’A$.
Mà AA’ song song với $BB’ Rightarrow BC perp BB’ Rightarrow BB’C’C$ là hình chữ nhật.
b, $triangle ABC$ đều $Rightarrow AO=frac{2}{3}AH=frac{2}{3}frac{asqrt{3}}{2}=frac{asqrt{3}}{3}$
$triangle AOA’perp ORightarrow A’O=AO$ tan $60^{0}$ bằng a
V=S_{ABC}.A’O =$frac{a^{3}sqrt{3}}{2}$
Bài 4: (VDC) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB=$sqrt{3}$, AD=$sqrt{7}$. Hai mặt bên (ABB’A’)và (ADD’A’) tạo với đáy lần lượt các góc $45^{0}$, và $60^{0}$. Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.
Giải:
Ta kẻ $A’Hperp (ABCD)$, $HMperp AB$ và $HNperp AD$
$Rightarrow A’Mperp AB$ và $A’Hperp AD$
$Rightarrow widehat{A’MH}= 45^{0}$, $widehat{A’NH}= 60^{0}$
Đặt A’H = x
$Rightarrow triangle A’HNperp N$ nên AH= x:sin$60^{0}$=$frac{2x}{sqrt{3}}$
$triangle A’HNperp N$ nên $AH=sqrt{AA’-A’N}=sqrt{frac{3-4x^{2}}{3}}$
$triangle A’HNperp N$ nên $HM = x.cot45^{0}=x$
$Rightarrow$ Tứ giác AMHN là hình chữ nhật $AN=MHRightarrow frac{sqrt{3-4x^{2}}}{3}=xLeftrightarrow sqrt{frac{3}{7}}$
Vậy $V_{ABCD.A’B’C’D’}$ = AB.AD.A’H= 3
Đặc biệt, thầy Phạm Anh Tài đã có bài giảng cực hay về khối lăng trụ như các công thức tính thể tích khối lăng trụ, phương pháp giải bài tập khối lăng trụ nhanh. Cùng VUIHOC tham gia bài giảng của thầy trong video dưới đây nhé!
Ngoài ra các em có thể xem thêm bài giảng về thể tích khối lăng trụ: TẠI ĐÂY
Bài viết trên đây đã cung cấp đầy đủ toàn bộ công thức tính thể tích khối lăng trụ. Để tham khảo thêm các công thức toán hình 12 và nhiều bài tập về hình học không gian, các em có thể truy cập ngay Vuihoc.vn và đăng ký tài khoản tại đây nhé!
PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA
Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:
⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+
⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích
⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô
⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi
⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề
⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập
Đăng ký học thử miễn phí ngay!!
>> Xem thêm:
- 12 Công thức tính thể tích khối chóp kèm ví dụ cụ thể
- Công thức tính thể tích khối cầu nhanh và chính xác nhất
- Công thức tính thể tích khối trụ tròn xoay và bài tập
- Công thức tính thể tích khối chóp tứ giác đều chi tiết và bài tập
- Công thức tính thể tích khối tròn xoay và bài tập vận dụng
- Công thức tính thể tích khối nón và bài tập
I. Lý thuyết của hình lăng trụ đứng:
1. Khái niệm hình lăng trụ đứng:
a. Khái niệm hình lăng trụ:
Theo như định nghĩa, hình lăng trụ là hình đa diện bao gồm 2 đáy nằm trên 2 mặt phẳng song song nhau và là 2 đa giác bằng nhau. Theo đó 2 đáy này có thể là hình vuông, hình bình hành, hình tam giác hoặc hình chữ nhật,… Đồng thời những mặt bên là hình bình hành và có các cạnh bên bằng nhau và song song với nhau.
b. Khái niệm hình lăng trụ đứng:
Theo như định nghĩa về hình lăng trụ, hình lăng trụ đứng chính là hình có:
- Hai đáy của hình lăng trụ này là hai đa giác phẳng và bằng nhau, nằm trên 2 mặt phẳng song song nhau.
- Những mặt bên của hình lăng trụ này vuông góc với những mặt phẳng có chứa những đa giác đáy. Đối với hình lăng trụ này, các mặt bên sẽ là những hình chữ nhật.
Đối với hình lăng trụ dạng đứng, độ dài của cạnh bên chính là chiều cao của hình lăng trụ này, những cạnh bên song song và bằng với nhau. Thông thường người ta sẽ gọi tên những hình lăng trụ đứng theo như tên của đa giác đáy như lăng trụ tứ giác, lăng trụ tam giác,… Hình lăng trụ dạng đứng có đáy là những đa giác đều sẽ gọi là lăng trụ đều.
2. Tính chất hình lăng trụ đứng:
Đối với hình học này, trong chương trình trung học phổ thông các bạn đã được tiếp cận đến lý thuyết cơ bản của chúng. Từ định nghĩa cơ bản có thể dễ dàng đưa ra được những tính chất của hình lăng trụ đứng như sau:
- Đây là loại hình lăng trụ có những cạnh bên nằm vuông góc với đáy.
- Tất cả những mặt bên của hình lăng trụ này sẽ là hình chữ nhật.
- Hình lăng trụ này có những mặt phẳng chứa đáy là những mặt phẳng song song nhau.
- Cạnh bên chính là chiều cao của hình này.
Trên đây là những tính chất quan trọng nhằm phân biệt cũng như nhận biết được hình lăng trụ dạng đứng này với những hình lăng trụ thông thường khác. Đối với những hình lăng trụ dạng đứng mà có đáy là hình bình hành thường được biết đến với một tên gọi khác là hình hộp đứng. Đối với hình lăng trụ đứng có đáy là hình tam giác hoặc tứ giác đều sẽ được gọi là hình lăng trụ tam giác đều, hình lăng trụ tứ giác đều. Như vậy tên gọi của chúng sẽ theo tên của đá giác đáy.
3. Công thức tính thể tích và diện tích xung quanh:
Công thức tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng bằng chiều cao của hình lăng trụ nhân với chu vi đáy.
- Sxq = 2.p.h (Trong đó: p là nửa chu vi đáy và h là chiều cao của hình)
Công thức tính diện tích hình lăng trụ đứng toàn phần bằng tổng của diện tích hai đáy và diện tích xung quanh.
- Stp = Sxq + 2Sđáy
Công thức tính thể tích hình lăng trụ đứng bằng tính của diện tích đáy nhân với chiều cao.
- V = S . h (Trong đó S là diện tích đáy của hình và h là chiều cao)
Thể tích khối lăng trụ: Công thức và bài tập
1. Hình lăng trụ là gì?
Một đa giác có hai mặt đáy song song và bằng nhau, mặt bên là hình bình hành thì đa giác đó gọi là hình lăng trụ.
Tên gọi hình lăng trụ
Tên của hình lăng trụ người ta đặt tên theo mặt đáy.
Ví dụ:
– Mặt đáy hình tam giác đều thì gọi là hình lăng trụ tam giác đều.
– Mặt đáy hình tứ giác đều thì gọi là hình lăng trụ tứ giác đều.
Hình lăng trụ đứng
Nếu như hình lăng trụ mà có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy thì người ta gọi là hình lăng trụ đứng.
Lưu ý:
– Nếu mặt đáy là hình chữ nhật thì hình trụ đứng của tứ giác có tên gọi khác là hình hộp chữ nhật.
– Nếu hình trụ đứng tứ giác có 12 cạnh đều có độ dài là a thì tên gọi của nó là hình lập phương.
2. Một số dạng lăng trụ
a) Hình lăng trụ đứng: là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy. Độ dài cạnh bên được gọi là chiều cao của hình lăng trụ. Lúc đó các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật
b) Hình lăng trụ đều: là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Các mặt bên của lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau. Ví dụ: hình lăng trụ tam giác đều, tứ giác đều… thì ta hiểu là hình lăng trụ đều
c) Hình hộp: Là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành
d) Hình hộp đứng: là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành
e) Hình hộp chữ nhật: là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật
f) Hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông và các mặt bên đều là hình vuông được gọi là hình lập phương (hay hình chữ nhật có ba kích thước bằng nhau được gọi là hình lập phương)
Nhận xét:
- Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng (Có tất cả các mặt là hình chữ nhật
- Hình lập phương là hình lăng trụ đều (tất cả các cạnh bằng nhau)
- Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng (mặt bên là hình chữ nhật, mặt đáy là hình bình hành)
3. Thể tích khối lăng trụ đứng
Công thức tính thể tích hình lăng trụ đứng:
V=S.h
Trong đó:
- S là diện tích đáy
- h là chiều cao của khối lăng trụ.
Chú ý: Lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
4. Ví dụ tính thể tích khối lăng trụ
Ví dụ 1:
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a = 2 cm và chiều cao là h = 3 cm. Hãy tính thể tích hình lăng trụ này?
Giải:
Vì đáy là tam giác đều cạnh a nên diện tích:
Khi này, thể tích hình lăng trụ là:
Ví dụ 2:
Cho hình hộp đứng có các cạnh AB = 3a, AD = 2a, AA’= 2a. Tính thể tích của khối A’.ACD’
Hướng dẫn:
Do mặt bên ADD’A’ là hình chữ nhật nên ta có:
Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a√3, góc giữa và đáy là 60º. Gọi M là trung điểm của BB’. Tính thể tích của khối chóp M.A’B’C’.
Giải:
Do nên suy ra
Ta có:
Ví dụ 4:
Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và mặt (DBC’) với đáy ABCD một góc 60º. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D?
Ta có: tại tâm O của hình vuông ABCD.
Mặt khác do đó
Suy ra
Lại có:
5. Bài tập thể tích khối lăng trụ
Bài 1. Một bể nước hình trụ có diện tích mặt đáy B = 2 m2 và đường cao h = 1 m. Thể tích của bể nước này bằng bao nhiêu?
Lời giải
Áp dụng công thức V = B.h = 2.1 = 2 m3.
Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại B, . Mặt phẳng qua A vuông góc với lần lượt cắt các đoạn thẳng và tại M và N. Diện tích tam giác là
Câu 3: Cho hình lăng trụ tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Thể tích khối lăng trụ này:
Câu 4 Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính thể tích của khối lăng trụ này là:
Câu 5: Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B. AB = 2a, BC = a, . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Câu 6: Cho hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a, diện tích một mặt bên là . Thể tích của khối lăng trụ đó là:
Câu 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = , SA = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Thể tích khối tứ diện ANIB tính theo a là:
Ngoài ra để vận dụng tốt công thức tính thể tính khối lăng trụ, các bạn xem thêm bài tập thể tích khối lăng trụ nhé.
1. Công thức tính thể tích khối chóp
$V=frac{1}{3}B.h$
Trong đó: $B$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao của khối chóp (khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy).
2. Công thức tính thể tích khối lăng trụ
$V=B.h$
Trong đó: $B$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao của khối lăng trụ.
Đặc biệt:
a) Thể tích khối hộp chữ nhật: $V=a.b.c$
với $a, b, c$ là 3 kích thước của nó.
b) Thể tích khối lập phương: $V=a^3$
với $a$ là độ dài cạnh của khối lập phương.
3. Khối cầu (hình cầu)
a) Công thức tính thể tích khối cầu: $V=frac{4}{3} pi R^3$
b) Diện tích mặt cầu: $S=4pi R^2$
Trong đó $R$ là bán kính khối cầu (mặt cầu, hình cầu).
4. Khối trụ (hình trụ)
a) Công thức tính thể tích khối trụ (hình trụ): $V=Bh=pi r^2 h$
b) Diện tích xung quanh hình trụ: $S_{xq}=2pi.rh$
c) Diện tích toàn phần của hình trụ: $S_{tp}=2pi.rh+2pi.r^2$
Trong đó: $B$ – diện tích đáy, $h$ – chiều cao, $r$ – bán kính đáy.
Lưu ý rằng, đối với hình trụ thì chiều cao bằng độ dài đường sinh ($h=l$) nên ở các công thức diện tích xung quanh và diện tích toàn phần dùng $h$ cho tiện.
5. Khối nón (hình nón)
a) Công thức tính thể tích khối nón (hình nón): $V=frac{1}{3}Bh=frac{1}{3} pi r^2 h$
b) Diện tích xung quanh hình nón: $S_{xq}=pi.rl$
c) Diện tích toàn phần của hình nón: $S_{tp}=pi.rl+pi.r^2$
Trong đó: $B$ – diện tích đáy, $h$ – chiều cao, $r$ – bán kính đáy, $l$ – độ dài đường sinh.
Xem thêm: Công thức tính thể tích hình chóp CỤT, hình nón CỤT
1. Hình lăng trụ là gì?
Một đa giác có hai mặt đáy song song và bằng nhau, mặt bên là hình bình hành thì đa giác đó gọi là hình lăng trụ.
1.1 Tên gọi hình lăng trụ
Tên của hình lăng trụ người ta đặt tên theo mặt đáy. Ví dụ:
- Mặt đáy hình tam giác đều thì gọi là hình lăng trụ tam giác đều
- Mặt đáy hình tứ giác đều thì gọi là hình lăng trụ tứ giác đều
1.2 Hình lăng trụ đứng
Nếu như hình lăng trụ mà có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy thì người ta gọi là hình lăng trụ đứng.
Lưu ý:
- Nếu mặt đáy là hình chữ nhật thì hình trụ đứng của tứ giác có tên gọi khác là hình hộp chữ nhật.
- Nếu hình trụ đứng tứ giác có 12 cạnh đều có độ dài là a thì tên gọi của nó là hình lập phương.
2. Thể tích khối lăng trụ
Công thức tính thể tích hình lăng trụ: V = B.h
Trong đó
- V là thể tích khối lăng trụ ( đơn vị m3)
- B là diện tích khối lăng trụ ( đơn vị m2)
- h là chiều cao khối lăng trụ ( đơn vị m)
3. Bài tập
Bài tập 1. Một bể nước hình trụ có diện tích mặt đáy B = 2 m2 và đường cao h = 1 m. Thể tích của bể nước này bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức V = B.h = 2.1 = 2 m3.
Bài tập 2. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a = 2 cm và chiều cao là h = 3 cm. Hãy tính thể tích hình lăng trụ này
Hướng dẫn giải
Vì đáy là tam giác đều cạnh a nên diện tích: ${S_{ABC}} = {a^2}.frac{{sqrt 3 }}{4}$ $ = {2^2}.frac{{sqrt 3 }}{4}$ $ = sqrt 3 left( {{m^2}} right)$
Khi này, thể tích là $V = {S_{ABC}}.h = sqrt 3 .3 = 3sqrt 3 left( {{m^3}} right)$
Bài tập 3. ( Trích câu 4 đề thi tham khảo lần 2 của BGD&ĐT 2020)
Bài tập 4.
Bài tập 5.
Bài tập 6.
Bài tập 7.
Trên đây là các đặc điểm cũng như công thức thể tích khối hình trụ mà Toán Học đã giới thiệu với bạn. Hy vọng bài viết này hữu ích với bạn.
Mục lục bài viết
1. Thể tích khối lăng trụ đứng
Công thức tính thể tích hình lăng trụ đứng:
Thể tích hình lăng trụ đứng bằng tính của diện tích đáy nhân với chiều cao.
Trong đó
Vlà thể tích khối lăng trụ (đơn vị m3)Blà diện tích đáy (đơn vị m2)hlà chiều cao khối lăng trụ (đơn vị m)
3. Phân loại hình lăng trụ
Hình lăng trụ đều
Là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Các mặt bên của lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau. Ví dụ: hình lăng trụ tam giác đều, tứ giác đều… thì ta hiểu là hình lăng trụ đều
Mặt đáy hình tứ giác đều thì gọi là hình lăng trụ tứ giác đều.
Hình lăng trụ đứng
Nếu như hình lăng trụ mà có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy thì người ta gọi là hình lăng trụ đứng.
Lưu ý:
Nếu mặt đáy là hình chữ nhật thì hình trụ đứng của tứ giác có tên gọi khác là hình hộp chữ nhật.
Nếu hình trụ đứng tứ giác có 12 cạnh đều có độ dài là a thì tên gọi của nó là hình lập phương.
So sánh khối lăng trụ đứng và khối lăng trụ đều:
| ĐỊNH NGHĨA: | TÍNH CHẤT |
| + Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy |
+ Các mặt bên hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật + Các mặt bên hình lăng trụ đứng vuông góc với mặt đáy + Chiều cao là cạnh bên |
| + Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều |
+ Các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau + Chiều cao là cạnh bên |
4. Ví dụ về tính thể tích khối lăng trụ đứng
Ví dụ 1:
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a = 2 cm và chiều cao là h = 3 cm. Hãy tính thể tích hình lăng trụ này?
Giải:
Vì đáy là tam giác đều cạnh a nên diện tích:
Khi này, thể tích hình lăng trụ là:
Ví dụ 2:
Bài 1: Cho hình hộp đứng có các cạnh AB = 3a, AD = 2a, AA’= 2a. Tính thể tích của khối A’.ACD’
Hướng dẫn:
Do mặt bên ADD’A’ là hình chữ nhật nên ta có:
Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a√3, góc giữa và đáy là 60º. Gọi M là trung điểm của BB’. Tính thể tích của khối chóp M.A’B’C’.
Giải:
Do nên suy ra
Ta có:
Ví dụ 4:
Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và mặt (DBC’) với đáy ABCD một góc 60º. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D?
Ta có: tại tâm O của hình vuông ABCD.
Mặt khác do đó
Suy ra
Lại có:
Ngoài công thức tính thể tích khối lăng trụ ở trên, các bạn có thể tham khảo thêm bài viết về công thức tính thể tích khối tròn xoay, công thức tính diện tích và chu vi hình tròn…
1. Khái niệm hình trụ, thể tích hình trụ
Có rất nhiều loại hình trụ trong không gian, một số hình trụ cơ bản thường gặp trong các bài toán như hình trụ tròn, hình lăng trụ đứng, hình trụ tam giác. Hình trụ là một hình khối, được tạo thành bởi hai mặt đáy song song và bao quanh bởi vỏ mặt bên. Cụ thể:
- Hình trụ tròn là hình được tạo bởi hai mặt đáy là hai hình tròn song song với nhau.
- Hình trụ tam giác được tạo bởi hai mặt đáy là hai hình tam giác song song, bao quanh là các hình bình hành.
- Hình lăng trụ được tạo từ hai mặt đáy là các đa giác song song và các mặt bên là các tứ giác.
- Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cách cạnh bên và các mặt đáy vuông góc với nhau.
- Các hình trụ thường thấy trong cuộc sống như là hộp sữa bột cho trẻ, các lon nước ngọt, hộp sữa đặc ông thọ, hay ly uống nước…
Tất cả các vật đều chiếm một khoảng không gian nhất định, khoảng không gian mà vật đó chiếm giữ chính là thể tích của vật đó. Thể tích hình trụ là khoảng không gian cụ thể mà hình trụ chiếm giữ. Để tính được thể tích của nó, ta cần áp dụng các công thức dưới đây.
2. Công thức tính thể tích các loại hình trụ
Thứ nhất, công thức tính thể tích hình trụ tròn:
Thể tích của hình trụ tròn được tính theo công thức: V = π x r2 x h. Trong đó: V là thể tích; r là bán kính của hình trụ; h là chiều cao hình trụ; π=3.14.
Công thức tính thể tích của hình trụ tròn (Nguồn: Internet)
Thứ hai, công thức tính thể tích khối lăng trụ:
Thể tích khối lăng trụ được tính theo công thức sau: V = B x h. Trong đó: V là thể tích của hình trụ; B là diện tích mặt đáy; h là chiều cao giữa hai mặt đáy.
Thể tích của hình trụ tam giác (Nguồn: Internet)
3. Một số bài toán mẫu tính thể tích hình trụ
Bài số 1: Cho một cái ca hình trụ tròn không nắp, có đường kính đáy bằng độ cao của cái ca là 10 cm. Hỏi cái ca đó đựng được bao nhiêu lít nước?
ĐÁP ÁN
Số lít nước mà cái ca đựng được chính là thể tích của cái ca.
Cái ca là một hình trụ tròn, vì vậy để tính số nước mà cái ca đựng được, chúng ta áp dụng công thức tính thể tích đối với hình trụ tròn: V = π x r2 x h
Hình trụ có đường kính bằng 10cm, như vậy bán kính của hình trụ là:
Áp dụng công thức, ta được:
- V = π x r2 x h = 3.14 x 25 x 10 = 785 cm3cm3
Đổi từ cm3 ra lít ta được: 785 cm3cm3 = 0.785 dm3dm3 = 0.785 lít
Như vậy, cái ca có thể đựng được 0.785 lít nước.
Bài số 2: Hãy tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có các cạnh AA′=BC=a. AA′=BC=a. Hãy chọn đáp án đúng:
A. V=a33√12V=a3312
B. V=a33√4V=a334
C. V=a32√6V=a326
D. V=a33
Theo đề bài, ta có hình vẽ:
Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ (Nguồn: Internet)
ĐÁP ÁN
Vì tam giác ABC là tam giác đều nên diện tích của tam giác ABC là:
- S(ABC)= a23√4 => S(ABC)=a234.
Áp dụng công thức tính thể tích đối với hình trụ tam giác là V = B x h, ta có:
- V(ABC.A′B′C′)=SABC.AA′=a33√4.VABC.A′B′C′=SABC.AA′=a334.
Như vậy, đáp án đúng là đáp án D.
Trên đây là các kiến thức cơ bản về khái niệm các loại hình trụ, các công thức cơ bản tính thể tích các loại hình trụ và các bài toán hướng dẫn chi tiết cách tính thể tích để các bạn tham khảo. Chúc các bạn học tốt!
