Trực Tâm Là Gì – Thông tin tuyển sinh đào tạo Đại học Cao đẳng

Khái niệm trực tâm

Trực tâm là giao điểm 3 đường cao tương ứng với 3 đỉnh của một tam giác. Mỗi tam giác chỉ có 1 trực tâm duy nhất. Trực tâm có thể nằm trong hoặc ngoài miền của tam giác.

Đường cao tương ứng với một đỉnh của tam giác là đường thẳng nối từ đỉnh đó đến cạnh đối diện và vuông góc với cạnh đối diện tại điểm cắt. Cạnh đối diện này còn được gọi là cạnh đáy tương ứng với đường cao đó. Độ dài đường cao theo định nghĩa chính là khoảng cách giữa đỉnh và đáy tương ứng với nó.

Giả sử cho tam giác LMN có ba đường cao lần lượt là LP, MQ, NI. Gọi S là là giao điểm của ba đường cao trên thì S là trực tâm của tam giác LMN.

Tính chất của trực tâm trong tam giác

Trực tâm tam giác có nhiều định lý, tính chất quan trọng. Muốn làm tốt các dạng bài tập toán hình học, bạn cần nắm rõ các định lý, tính chất này để vận dụng làm bài tập nhanh chóng, hiệu quả.

Nếu ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm thì điểm đó được gọi là trực tâm của tam giác.  Khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đến trung điểm của một cạnh bằng ½  khoảng cách từ trực tâm tới đỉnh còn lại của tam giác đó.

Trong tam giác cân, đường trung trực tương ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường cao và đường trung tuyến của tam giác đó.

Trong một tam giác, nếu đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.

Trong một tam giác, nếu đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác cân.

Trực tâm của tam giác nhọn ABC trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác được tạo bởi 3 đỉnh là 3 chân đường cao tương ứng với 3 đỉnh của tam giác ABC.

Định lý Carnot: Đường cao tương ứng với một đỉnh của tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ở đâu thì điểm đó là điểm đối xứng với trực tâm của tam giác đó qua cạnh đáy đối xứng với đỉnh.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có đường cao AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D, trực tâm là điểm P.

Theo định lý Carnot, D sẽ đối xứng với P qua BC, Hệ quả: Trong tam giác đều ABC, trọng tâm, trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp trùng nhau. Ví dụ: Tam giác đều ABC có đường cao đồng thời là đường trung tuyến và đường phân giác. Trực tâm O đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp.

Từ những tính chất trên ta rút ra hệ quả như sau: Trong một tam giác đều, trực tâm, trọng tâm, điểm nằm trong tam giác, điểm cách đều ba đỉnh, và cách đều ba cạnh là bốn điểm này đều trùng nhau, là một điểm.

1. Khái niệm về trực tâm của một tam giác là gì?

Trực tâm của một tam giác là điểm trùng với giao điểm của ba đường cao trong tam giác đó. Đường cao trong tam giác là đoạn thẳng kết nối một đỉnh của tam giác với đối diện của nó sao cho tạo thành một góc vuông. Cạnh đối diện với đường cao được gọi là đáy của đường cao. Độ dài của đường cao là khoảng cách giữa đỉnh và đáy của đường cao đó. Trực tâm của tam giác là điểm giao nhau của ba đường cao trong tam giác. Tuy nhiên, để xác định trực tâm, ta không nhất thiết phải vẽ đủ ba đường cao, mà chỉ cần kẻ hai đường cao của tam giác đến hai cạnh đối diện. Hai đường cao này sẽ giao nhau tại trực tâm của tam giác.

Với các loại tam giác thông thường như tam giác nhọn, tam giác tù, tam giác cân và tam giác đều, ta đều có cách xác định trực tâm giống nhau. Từ hai đỉnh của tam giác, ta kẻ hai đường cao đến hai cạnh đối diện. Điểm giao nhau của hai đường cao này chính là trực tâm của tam giác, và đường cao còn lại sẽ chắc chắn đi qua trực tâm dù ta không cần kẻ.

Việc xác định trực tâm của tam giác không phải dựa vào mắt thường, mà dựa vào tính chất toán học của tam giác. Nếu trong một tam giác, có ba đường cao giao nhau tại một điểm, thì điểm đó chắc chắn là trực tâm của tam giác.

Ví dụ trực tâm hình tam giác dưới đây:

Ta có: H là trực tâm của Tam giác ABC.

2. Cách xác định trực tâm của tam giác:

Để xác định trực tâm của một tam giác, ta có thể tìm giao điểm của ba đường cao của tam giác đó. Tuy nhiên, chỉ cần vẽ hai đường cao của tam giác, ta đã có thể xác định được trực tâm. Trong trường hợp của các dạng tam giác như tam giác nhọn, tam giác tù, tam giác cân, tam giác đều, ta có thể kẻ hai đường cao từ hai đỉnh của tam giác về hai cạnh đối diện. Trực tâm của tam giác được xác định tại điểm cắt của hai đường cao này. Đường cao còn lại cũng phải đi qua trực tâm của tam giác, mặc dù không cần vẽ. Tuy nhiên, đối với tam giác vuông, trực tâm trùng với đỉnh của góc vuông, vì hai cạnh tạo thành góc vuông cũng chính là đường cao của tam giác.

Trực tâm của các dạng tam giác khác nhau:

+ Trực tâm của tam giác nhọn – trực tâm nằm trong miền của tam giác nhọn.

+ Trực tâm của tam giác vuông – Trực tâm chính là đỉnh góc vuông.

+ Trực tâm của tam giác tù – Trực tâm của tam giác tù nằm ở miền ngoài tam giác đó.

Trực tâm là gì? 

Trước khi tìm hiểu trực tâm là gì, bạn cần phải biết đến khái niệm đường cao trong tam giác. Đây là đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến cạnh đối diện của tam giác. Cạnh đối diện gọi là đáy, ứng với đường cao. 

Theo đó, trực tâm của tam giác chính là điểm giao nhau giữa ba đường cao trong tam giác. Trực tâm cũng có những tính chất đặc biệt, mời bạn theo dõi một số tính chất của trực tâm trong tam giác trong phần thông tin tiếp theo. 

Tính chất trực tâm tam giác là gì ?

Như bạn cũng đã biết về trực tâm là gì, đây là giao điểm của ba đường cao trong tam giác. Hình ảnh minh họa bên dưới S là trực tâm của tam giác LMN. 

Trong một tam giác, trực tâm sẽ có các tính chất sau đây. 

Tính chất 1: Khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó đến trung điểm của cạnh nối hai đỉnh còn lại sẽ bằng một nửa khoảng cách từ 1 đỉnh đến trực tâm tam giác. 

Tính chất 2: Trong một tam giác cân, đường cao đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác và đường trung trực của đỉnh tam giác đó. 

Tính chất 3: Trong tam giác đều, trực tâm đồng thời là trọng tâm, là tâm đường tròn ngoại tiếp và ngoại tiếp tam giác. 

Tính chất 3: Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ 2 đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng (Định lý Carnot). 

Hệ quả của trực tâm: Trong một tam giác đều, trực tâm, trọng tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong trong tam giác và cách đều ba cạnh là trùng nhau. 

Công thức tính trực tâm 

Sau khi đã biết trực tâm là gì, các học sinh sẽ có xu hướng tìm kiếm công thức tính trực tâm để giải bài tập nhanh hơn. Tuy nhiên đối với một số trường hợp đặc biệt, bạn có thể áp dụng công thức tính đường cao trong tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông để suy ra kết quả tương ứng. 

Cách xác định trực tâm của tam giác

Trực tâm của tam giác nhọn

Tam giác nhọn ABC có trực tâm H nằm ở miền trong tam giác.

Trực tâm của tam giác vuông

Trực tâm của tam giác tù

Tính chất của trực tâm tam giác

• Khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó đến trung điểm cạnh nối hai đỉnh còn lại bằng 1/2 khoảng cách từ một đỉnh tới TT.
• Nếu tam giác đã cho là tam giác cân thì đường cao cũng đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác và đường trung trực của đỉnh tam giác cân đó.
• Trong tam giác đều, trực tâm cũng đồng thời là trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác đó.
• Định lý Carnot: Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai là đối xứng của TT qua cạnh tương ứng.

Bài tập về đường trực tâm tam giác

Bài 1:

Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó.

Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ra trực tâm của tam giác đó.

Giải:

Gọi D, E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B, C của ΔABC.

⇒ AD ⟘ BC, BE ⟘ AC, CF ⟘ AB.

ΔHBC có :

AD ⊥ BC nên AD là đường cao từ H đến BC.

BA ⊥ HC tại F nên BA là đường cao từ B đến HC

CA ⊥ BH tại E nên CA là đường cao từ C đến HB.

AD, BA, CA cắt nhau tại A nên A là trực tâm của ΔHCB.

Bài tập 2:

Cho △ABC có các đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H. I; J lần lượt là trung điểm của AH và BC.

a) Chứng minh: JT⊥EFJT⊥EF

b) Chứng minh: IE⊥JEIE⊥JE

c) Chứng minh: DA là tia phân giác của góc EDF.

d) Gọi P; Q là hai điểm đối xứng của D qua AB và AC

Chứng minh: P; F; E; Q thẳng hàng.

Lời giải:

a) Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác vuông ta có:

FI = 12AH = EIFJ = 12BC = EJFI = 12AH = EIFJ = 12BC = EJ

Vậy IJ là đường trung trực của EF

b)

c)Tứ giác BFHD và ABDE nội tiếp (đpcm)

d) H là giao điểm 3 phân giác của tam giác EFD

Góc PFB = BFD

Góc DFH = EFH

4 góc này cộng lại = 2.90 =180 => P,E,F thẳng hàng

Tương tự ta có F, E, Q thẳng hàng.

Định nghĩa trực tâm là gì?

Trực tâm hay trực tâm tam giác là gì? Trong một tam giác bất kì có ba đường cao. Ba đường này cùng đi qua một điểm, thì điểm này chính là trực tâm của tam  giác.

Đường cao của tam giác là gì? Đường cao của một tam giác chính là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện. Cạnh đối diện này thường được gọi là đáy tương ứng với mỗi đường cao.

Giả sử cho tam giác LMN có ba đường cao lần lượt là LP, MQ, NI. Gọi S là là giao điểm của ba đường cao trên thì S là trực tâm của tam giác LMN.

Cách xác định trực tâm của một tam giác

Trực tâm của tam giác là điểm giao nhau của ba đường cao trong tam giác. Tuy nhiên để xác định trực tâm trong tam giác chúng ta không nhất thiết phải vẽ ba đường cao. Khi vẽ hai đường cao của tam giác ta đã có thể xác định được trực tâm của tam giác rồi.

Đối với các loại tam giác thông thường như tam giác nhọn tam giác tù hay tam giác cân tam giác đều thì ta đều có cách xác định trực tâm giống nhau. Từ hai đỉnh của tam giác ta kẻ hai đường cao của tam giác đến hai cạnh đối diện. Hai cạnh đó giao nhau tại điểm nào thì điểm đó chính là trực tâm của tam giác. Và đường cao còn lại chắc chắn cũng đi qua trực tâm của tam giác dù ta không cần kẻ.

Tuy nhiên đối với tam giác vuông thì việc xác định đường cao có khác một chút. Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông chính là hai đường cao của tam giác vì hai cạnh vuông góc với nhau. Chính vì vậy trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh của góc vuông.

Những tính chất của trực tâm trong tam giác.

• Tính chất 1: Trong một tam giác cân thì đường trung trực tương ứng với cạnh đáy sẽ đồng thời là đường phân giác, đường cao và đường trung tuyến của tam giác đó.
• Tính chất 2: Trong một tam giác, nếu như một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó sẽ là tam giác cân.
• Tính chất 3: Trong một tam giác, nếu như một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó sẽ là tam giác cân.
• Tính chất 4: Trực tâm của tam giác nhọn ABC sẽ trùng với tâm của đường tròn nội tiếp tam giác có ba đỉnh là chân của ba đường cao từ các đỉnh A, B, C đến các cạnh đối diện  BC, AC, AB tương ứng.
• Tính chất 5: Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại  một điểm thứ hai sẽ là đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng.

Từ những tính chất trên ta rút ra hệ quả như sau: Trong một tam giác đều, trực tâm, trọng tâm, điểm nằm trong tam giác, điểm cách đều ba đỉnh, và cách đều ba cạnh là bốn điểm này đều trùng nhau, là một điểm.

Bài tập áp dụng.

Trực tâm của tam giác xuất hiện rất nhiều trong hình học không gian như tìm trực tâm trong không gian. Chúng ta có bài tập sau.

Tìm tọa độ trực tâm H biết tam giác ABC tọa độ có A(-2;6), B (-2;9); C (9;8). Hãy tìm trực tâm của tam giác trong không gian xyz.

Lời giải:

Bài viết trên là tổng hợp những kiến thức liên quan đến trực tâm, hy vọng qua những chia sẻ trên bạn đã nắm được kiến thức trực tâm là gì? Định nghĩa, tính chất và cách xác định trực tâm của tam giác chính xác nhất, bổ sung cho bạn những thông tin hữu ích cho quá trình học tập và nghiên cứu của bạn, chúc bạn thành công.

Trực tâm là giao điểm của ba đường gì? Trực tâm của tam giác là gì? 

Trực tâm là gì?

• Trực tâm của tam giác là giao điểm của ba đường cao trong tam giác đó. Hay nói cách khác, ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm gọi là trực tâm của tam giác. Đường cao trong tam giác là đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến cạnh đối diện. Cạnh đối diện này được gọi là đáy ứng với đường cao.

Trực tâm là giao điểm của ba đường gì?

Trực tâm là giao điểm của ba đường cao trong một tam giác. 

Ví dụ 1: H là trực tâm của tam giác ABC. (Tam giác ABC là tam giác nhọn)

Tính chất đường trực tâm trong tam giác

• Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến; đường phân giác, đường cao xuất phát từ đỉnh đối diện của cạnh đó.
• Trong một tam giác, nếu như có một đường trung tuyến đồng thời là trung trực thì tam giác đó là tam giác cân.
• Trong một tam giác, nếu như có một đường trung tuyến đồng thời là phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.
• Trực tâm của tam giác nhọn ABC trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi ba đỉnh là chân ba đường cao từ các đỉnh A, B, C đến các cạnh tương ứng.
• Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ 2 sẽ là đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng.
• Hệ quả: Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba cạnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau. 

Cách xác định trực tâm của một tam giác

Tam giác nhọn: Xem lại ví dụ 1

Tam giác vuông: Trực tâm chính là đỉnh của góc vuông

Ví dụ 2: Tam giác EFG có trực tâm là đỉnh E

Tam giác tù: Trực tâm nằm ở ngoài tam giác đó.

Ví dụ 3: Tam giác tù BCD có trực tâm H nằm ở miền ngoài tam giác

Hi vọng bài viết mang lại nhiều thông tin hữu ích đến bạn đọc.!H là trực tâm của tam giác ABC. (Tam giác ABC là tam giác nhọn)