Vecto A Nhân Vecto B – Thông tin tuyển sinh đào tạo Đại học Cao đẳng

1. Định nghĩa

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 – Xem ngay

Định nghĩa

Cho 2 vectơ và đều khác vectơ . Tích vô hướng (Vecto A Nhân Vecto B) của và có kí hiệu là ,và được xác định bởi công thức sau đây: 

Chú ý: 

Tính chất tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của 2 vectơ có các tính chất sau đây: 

Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra:

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng tọa độ , cho hai vectơ: Khi đó tích vô hướng của .là:

Nhận xét: Hai vectơđều khác vectơ vuông góc với nhau khi và chỉ khi: a₁b₁ + a₂b₂ = 0. 

Ứng dụng tích vô hướng

• Độ dài vectơ

Các em có thể tính độ dài của vectơ = (a₁, a₂) theo công thức như sau:

• Góc giữa 2 vectơ

Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ, chúng ta suy ra được nếu = (a₁, a₂) và = (b₁, b₂) đều khác thì ta có:

• Khoảng cách giữa hai điểm

Khoảng cách giữa hai điểm A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B) được tính theo công thức sau:

Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education

Như vậy các em đã được tìm hiểu tổng hợp lý thuyết tích vô hướng của hai vectơ đầy đủ và rõ ràng qua bài viết trên. Để ứng dụng vào bài tập một cách hiệu quả, các em cần học thuộc các công thức từ tính chất đến cách tính độ dài, góc và khoảng cách. 

Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học trực tuyến nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

Trong đó:

• công thức 1 là định nghĩa và kí hiệu tích vô hướng của 2 vectơ,
• công thức 2 là biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong không gian, 
• công thức 3 là điều kiện vuông góc của hai vectơ,
• công thức 4, 5, 6 là các công thức về độ dài vectơ,
• công thức 7 là khoảng cách giữa 2 điểm A,B,
• công thức 8 giúp tính cosin góc giữa hai vectơ,
• công thức 9 tính sin góc giữa hai vectơ.

TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ TÍNH CHẤT

CÁC CÔNG THỨC DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH CÓ LIÊN QUAN ĐẾN TÍCH VÔ HƯỚNG, TÍCH CÓ HƯỚNG

Nắm được các công thức này sẽ giúp học sinh lớp 12 học tốt chương phương pháp tọa độ trong không gian ở chương trình Hình học 12.

Xem thêm: Biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong mặt phẳng Oxy (Toán Hình học 10)/ Cách bấm máy casio để tính tích vô hướng, tích có hướng

1. Lý thuyết cơ bản về tích vectơ với một số

1.1. Định nghĩa tích vectơ với một số

Tích của vectơ với một số được định nghĩa như sau:

Cho một số thực $kneq 0$, vectơ $vec{a}neq 0$. 

Tích của vectơ $vec{a}$ với một số thực $kneq 0$ là một vectơ, kí hiệu k$vec{a}$, cùng hướng với vectơ $vec{a}$ nếu k>0, ngược hướng với vectơ $vec{a}$ nếu k<0, vecto k$vec{a}$ có độ dài bằng $left | k right |left | vec{a} right |$.

Quy ước: $0vec{a}$=0; k$vec{0}$=$vec{0}$

1.2. Tính chất tích của vectơ với 1 số 

Tích của vectơ với một số có các tính chất:

a, Tính phân phối với phép cộng vectơ:

$k(vec{m}+vec{n})=kvec{m}+kvec{n}$

b, Tính phân phối với phép cộng các số:

$(a+b)vec{x}=avec{x}+bvec{x}$

c, Tính kết hợp:

$a(vec{bc})=(ab)vec{c}$

d, $1vec{a}=vec{a}, (-1)vec{a}=-vec{a}$

e, $kvec{a}=0 Leftrightarrow k=0$ hoặc $vec{a}=0$

Áp dụng: 

• Nếu E là trung điểm của đoạn thẳng MN thì với mọi điểm I, ta có: 

               $vec{IM}+vec{IN}=2vec{IE}$

• Nếu U là trọng tâm tam giác NCT thì mọi điểm I ta có:

               $vec{IN}+vec{IC}+vec{IT}=3vec{IU}$

1.3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

• Điều kiện cần và đủ để vectơ $vec{a}$ và vectơ $vec{b} (vec{b}neq 0)$ cùng phương là tồn tại một số k sao cho $vec{a}=kvec{b}$.

• Ba điểm phân biệt M, N, O thẳng hàng khi và chỉ khi có số $kneq 0$ để $vec{MN}=kvec{MO}$.

1.4. Cách phân tích một vectơ thành hai vectơ không cùng phương

Cho vectơ $vec{a}$ và vectơ $vec{b}$ là hai vectơ không cùng phương. Khi đó mọi vectơ kđều được biểu diễn một cách duy nhất theo hai vecto $vec{a},vec{b}$: $vec{k}=mvec{a}+nvec{b}$, trong đó m, n là các số thực duy nhất.

Nắm trọn kiến thức Toán ôn thi tốt nghiệp THPT ngay!

2. Một số bài tập tích của vectơ với một số

2.1. Tính độ dài vectơ

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa và các quy tắc cộng, trừ các vectơ để dựng vectơ chứa tích của vectơ với một số, kết hợp với các định lý Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài vectơ.

Ví dụ 1: Tam giác ABC đều, cạnh a, lấy M là trung điểm cạnh BC. Dựng các vectơ dưới đây và tính độ dài của chúng:

a, $vec{MA}+frac{1}{2} vec{CB}$

b, $vec{BA}-frac{1}{2} vec{BC}$

c, $2vec{AC}+frac{11}{2} vec{AB}$

d, $frac{5}{2}vec{MB}+frac{3}{4}vec{MA}$

Lời giải: 

a, Ta có: $frac{1}{2}vec{CB}=vec{CM}$

Theo quy tắc 3 điểm ta được: 

$frac{1}{2}vec{CB}+vec{MA}=vec{CM}+vec{MA}=vec{CA}$

Vậy: $left | frac{1}{2} vec{CB+vec{MA}}right |=left | vec{CA} right |=a$

b, Vì $vec{BM}=frac{1}{2}vec{BC}$ nên theo quy tắc trừ ta có:

$vec{BA}-frac{1}{2}vec{BC}=vec{BA}-vec{BM}=vec{MA}$

Theo định lý Pytago ta có: $MA=sqrt{AB^{2}-BM^{2}}=sqrt{a^{2}-left ( frac{a}{2} right )^{2}}=frac{asqrt{3}}{2}$

Vậy, $left | vec{BA}-frac{1}{2}BC right |=vec{MA}=frac{asqrt{3}}{2}$

c, Lấy điểm N là trung điểm của đoạn AB, Q đối xứng C qua A, P là đỉnh của hình bình hành APQN

d, Lấy điểm K thuộc đoạn AM sao cho $MK=frac{3}{4}MA$, điểm H thuộc tia $vec{BM}$ sao cho $vec{MH}=frac{5}{2}vec{MB}$.

Ví dụ 2: Hình vuông ABCD có cạnh a

a, Chứng tỏ rằng $vec{u}=avec{MA}-3vec{MB}+vec{MC}-2vec{MD}$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

b, Tính $left | vec{u} right |$.

Lời giải:  

a, Giả sử O là tâm hình vuông ABCD. Áp dụng quy tắc 3 điểm ta có: 

$vec{u}=4vec{MO}+vec{OA}-3vec{MO}+vec{OB}+vec{MO}+vec{OC}-2vec{MO}+vec{OD}=4vec{OA}-3vec{OB}+vec{OC}-2vec{OD}$

Mà: $vec{OD}=-vec{OB}, vec{OC}=-vec{OA}$ nên $vec{u}=3vec{OA}-vec{OB}$

=> Vecto $vec{u}$ không phụ thuộc vị trí của điểm M.

b, Lấy A’ trên $vec{OA}$ sao cho OA’=3OA

Khi đó: $vec{OA’}=3vec{OA}Rightarrow vec{u}=vec{OA’}-vec{OB}=vec{BA’}$

Mặt khác:

$vec{BA’}=sqrt{OB^{2}+(OA’)^{2}}=sqrt{OB^{2}+9OA^{2}}=asqrt{5}Rightarrow vec{u}=asqrt{5}$

2.2. Tìm một điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước

Phương pháp giải: 

• Biến đổi đẳng thức vectơ thành dạng $vec{AN}=vec{a}$, điểm A và $vec{a}$ đã biết. Khi đó tồn tại duy nhất một điểm N sao cho $vec{AN}=vec{a}$. Để dựng điểm N, ta lấy điểm A làm gốc, dựng một vectơ bằng vectơ $vec{a}$, từ đó suy ra được điểm ngọn là điểm N.

• Biến đổi về đẳng thức vectơ đã biết của trọng tâm tam giác và trung điểm đoạn thẳng.

Ví du 1: Cho tứ giác ABCD. Tìm các điểm M,N,P sao cho:

a, $2vec{MA}+vec{MB}+vec{MC}=vec{0}$
b, $vec{NA}+vec{NB}+vec{NC}+vec{ND}=vec{0}$
c, $3vec{PA}+vec{PB}+vec{PC}+vec{PD}=vec{0}$

Lời giải:

a, Giả sử điểm I là trung điểm đoạn BC

=> $vec{MB}+vec{MC}=2vec{MI}$

Do đó: $2vec{MA}+vec{MB}+vec{MC}=vec{0}$

$2vec{MA}+2vec{MI}=vec{0}Leftrightarrow vec{MA}+vec{MI}=vec{0}$

=> Điểm M là trung điểm đoạn thẳng AI

b, Giả sử K,H là trung điểm của AB, CD ta có:

$vec{NA}+vec{NB}+vec{NC}+vec{ND}=vec{0}Leftrightarrow 2vec{NK}+2vec{NH}=vec{0}$

=> Điểm N là trung điểm đoạn thẳng KH

c, Giả sử G là trọng tâm của tam giác BCD ta có:

$vec{PB}+vec{PC}+vec{PD}=3vec{PG}$

=> $3vec{PA}+vec{PB}+vec{PC}+vec{PD}=vec{0}$

Điểm P là trung điểm đoạn thẳng AG.

Ví dụ 2: A, B là hai điểm cho trước, hai số thực $alpha ,beta $ thỏa mãn $alpha+betaneq 0$. Chứng tỏ rằng: tồn tại duy nhất một điểm I sao cho $alphavec{IA}+beta vec{IB}=vec{0}$. Từ đó suy ra được $alphavec{MA}+beta vec{MB}=(alpha +beta )vec{MI}$ (M là điểm bất kì).

Lời giải: 

2.3. Chứng minh đẳng thức vectơ

Phương pháp giải: Áp dụng các kiến thức: tính chất vectơ, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc phép trừ, tính chất trung điểm, tính chất trọng tâm tam giác để biến đổi.

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD. Hai điểm I,J là trung điểm của AB, CD. Điểm O là trung điểm của IJ. Chứng minh:

1. $vec{BD}+vec{AC}=2vec{IJ}$

2. $vec{OA}+vec{OB}+vec{OC}+vec{OD}=vec{0}$

3. Với điểm M bất kì: $vec{MA}+vec{MB}+vec{MC}+vec{MD}=4vec{MO}$

Lời giải: 

Ví dụ 2: Tam giác ABC có AB=c, CA=b, BC=a, G là trọng tâm. Giả sử D,E,F lần lượt là hình chiếu của trọng tâm G lên các cạnh AB, AC,BC. Chứng minh:

$a^{2}vec{GD}+b^{2}vec{GE}+c^{2}vec{GF}=vec{0}$

Lời giải: 

Đăng ký ngay để được các thầy cô tổng hợp kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi sớm từ bây giờ

Hy vọng bài viết trên đây đã giúp các em nắm được kiến thức về tích của vectơ với một số. Bên cạnh việc học lý thuyết các em cần luyện tập thêm những dạng bài tập hay gặp để có được bài kiểm tra môn Toán đạt kết quả cao. Ngoài ra các em hãy truy cập và đăng ký khóa học ngay từ hôm nay để học tập tốt hơn nhé!

1. Định nghĩa vecto

Vectơ là đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối.

Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B ta kí hiệu là $vec{AB} $

Vectơ còn được kí hiệu là:

Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối. Kí hiệu là 

Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vecto gọi là giá của vecto

Hai vecto có giá song song hoặc trùng nhau gọi là hai vecto cùng phương

Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng.

Ví dụ: Ở hình vẽ trên trên thì hai vectơ  và  cùng hướng còn 2 vector  và  ngược hướng.

Đặc biệt: vecto – không cùng hướng với mọi vecto.

2. Hai vecto bằng nhau khi nào?

2.1. Định nghĩa

Độ dài đoạn thẳng AB gọi là độ dài vecto  $vec{AB} $, kí hiệu |$vec{AB} $|. Vậy |$vec{AB} $|=AB

• Hai vecto bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.
• Hai vecto đối nhau nếu chúng ngược hướng và cùng độ dài.

2.2. Ví dụ hai vecto bằng nhau

Ví dụ: Cho hình bình hành ABDC khi đó:

vì chúng cùng hướng và cùng độ dài

 và  là hai vecto đối nhau vì chúng ngược hướng và cùng độ dài.

Chứng minh:

Phản chứng:

Giả sử có điểm M sao cho

Khi đó cùng hướng và cùng độ dài.

Vì 2 véc tơ  và  cùng hướng nên M chỉ nằm trên đường thẳng AB và nằm ngoài hai điểm A, B

Như vậy thì chỉ xảy ra MA<MB hoặc MA>MB nên mâu thuẫn với giả thiết cùng độ dài.

Do đó không tồn tại điểm  M thỏa mãn  

Tuy nhiên, nếu A, B trùng nhau thì ta lại có vô số điểm M thỏa mãn 

Tham khảo ngay bộ tài liện ôn tập kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập trong đề thi Lý THPT Quốc gia

3. Bài tập luyện tập hai vecto bằng nhau

Để vận dụng tốt hơn các bài tập vecto dạng hai vecto bằng nhau, các em học sinh cùng VUIHOC luyện tập với bộ 20 câu hỏi trắc nghiệm (có đáp án) sau đây. Các em lưu ý nên tự làm các câu hỏi rồi sau đó mới kiểm tra lại với đáp án để đạt được hiệu quả ôn tập tốt nhất nhé!

Câu 1: Cho ngũ giác đều ABCDE, tâm O. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Có 5 vectơ mà điểm đầu là O, điểm cuối là các đỉnh của ngũ giác.

B. Có 5 vectơ gốc O có độ dài bằng nhau.

C. Có 4 vectơ mà điểm đầu là A, điểm cuối là các đỉnh của ngũ giác.

D. Các vectơ khác $vec{0}$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh, giá là các cạnh của ngũ giác có độ dài bằng nhau.

Câu 2: Khẳng định nào sau đây sai?

A. Vectơ – không là vectơ có phương tùy ý.

B. Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba thì cùng phương với nhau.

C. Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba khác $vec{0}$ thì cùng phương với nhau.

D. Điều kiện cần để hai vectơ bằng nhau là chúng có độ dài bằng nhau.

Câu 3: Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa mãn điều kiện $vec{AB}=vec{DC}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. ABCD là hình bình hành

B. $vec{AD}=vec{CB}$

C. $vec{ACB}=vec{DB}$

D. ABCD là hình bình hành nếu trong 4 điểm A, B, C, D không có ba điểm nào thẳng hàng.

Câu 4: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ khác vectơ OC→ và có độ dài bằng nó là:

A. 24

B. 11

C. 12

D. 23

Câu 5: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ khác $vec{OA}$ và cùng phương với nó là

A. 5

B. 6

C. 9

D. 10

Câu 6: Cho tam giác ABC, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Số vectơ bằng vectơ $vec{MN}$  có điểm đầu và điểm cuối trùng với một trong các điểm A, B, C, M, N, P bằng:

A. 1 

B. 2  

C. 3  

D. 6

Câu 7: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Ba vectơ bằng vectơ $vec{AB}$ là:

Câu 8: Khẳng định nào đây là đúng?

A. Hai vectơ có giá vuông góc thì cùng phương với nhau

B. Hai vectơ cùng phương thì giá của chúng song song với nhau

C. Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng với nhau

D. Hai vectơ cùng ngược hướng với vectơ thứ ba thì cùng hướng với nhau.

Câu 9: Khẳng định nào sau đây sai?

Hai vectơ bằng nhau thì:

A. Có độ dài bằng nhau  

B. Cùng phương  

C. Có chung điểm gốc

D. Cùng hướng

Câu 10: Cho ba điểm M, N, P thẳng hàng, trong đó điểm N nằm giữa hai điểm M và P. Khi đó các cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?

Câu 11: Cho hình thang ABCD có hai đáy AB, CD và AB < CD. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 12: Cho ba điểm phân biệt A, B, C nằm trên cùng một đường thẳng. Các vectơ $vec{AB}$ và $vec{BC}$ cùng hướng khi và chỉ khi:

A. Điểm B thuộc đoạn AC 

B. Điểm C thuộc đoạn AB  

C. Điểm A thuộc đoạn BC

D. Điểm A nằm ngoài đoạn BC

Câu 13: Cho tam giác đều ABC cạnh 2a. Đẳng thức nào sau đây đúng?

Câu 14: Cho tam giác đều ABC với đường cao AH. Đẳng thức nào sau đây đúng?

Câu 15: Cho tam giác ABC có góc B tù và H là chân đường cao của tam giác hạ từ đỉnh A. Cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?

Câu 16: Cho tam giác không cân ABC. Gọi H, O lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác, M là trung điểm của cạnh BC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 17: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 18: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Vecto $vec{MN}$ không cùng phương với vecto nào?

Câu 19: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi O là giao điểm các đường chéo của tứ giác MNPQ, trung điểm các đoạn thẳng AC, BD tương ứng là I, J. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 20: Cho tam giác đều ANC cạnh a, G là trọng tâm tam giác. Khi đó |$vec{AC}$| có giá trị là:

A. a  

B. a√3  

C. (2a√3)/3  

D. (a√3)/3

Đăng ký ngay để được các thầy cô tư vấn và xây dựng lộ trình ôn thi THPT Quốc gia môn Lý sớm và phù hợp nhất 

Trên đây là toàn bộ lý thuyết đi kèm với bộ 20 câu hỏi trắc nghiệm luyện tập cho phần kiến thức hai vecto bằng nhau. Hy vọng rằng bài viết sẽ giúp các em hoàn toàn tự tin chinh phục các bài toán vecto từ việc vận dụng tốt hai vecto bằng nhau. Để đọc và học nhiều hơn về các kiến thức toán lớp 10, toán THPT,… các em học sinh truy cập trang web của trường học online  hoặc đăng ký hoá học với các thầy cô VUIHOC ngay nhé!

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Phép nhân vectơ của vectơ a và b được ký hiệu là a × b hay , định nghĩa bởi:

với θ là góc giữa a và b (0° ≤ θ ≤ 180°) nằm trên mặt phẳng chứa a và b, và n là vectơ đơn vị vuông góc với a và b.

Thực tế có hai vectơ n thỏa mãn điều kiện vuông góc với a và b (khi a và b không cùng phương), vì nếu n vuông góc với a và b thì –n cũng vậy.

Việc chọn hướng của véctơ n phụ thuộc vào hệ tọa độ tuân theo quy tắc bàn tay trái hay quy tắc bàn tay phải. (a, b, a × b) tuân cùng quy tắc với hệ tọa độ đang sử dụng để xác định các vectơ.

Vì kết quả phụ thuộc vào quy ước hệ tọa độ, nó được gọi là giả vectơ. May mắn là trong các hiện tượng tự nhiên, nhân vectơ luôn đi theo cặp đối chiều nhau, nên kết quả cuối cùng không phụ thuộc lựa chọn hệ tọa độ.

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Phép tính này phản giao hoán:

a × b = -(b × a)

Nó phân phối được trên phép cộng vectơ:

a × (b + c) = a × b + a × c

Nó kết hợp được với nhân vô hướng:

(r.a) × b = a × (r.b) = r.(a × b).

với “.” chỉ nhân vô hướng.

Nó không có tính kết hợp,

(a × b) × ca × (b × c)

(Ví dụ: khi a song song với b vế trái bằng 0 trong khi về phải (nói chung) khác không.)

Nó thỏa mãn đẳng thức Jacobi:

a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0.

2 vectơ không cùng phương thì tích có hướng là một vectơ vuông góc với 2 vectơ đã cho.

Các tính chất trên cho thấy không gian vectơ ba chiều với phép nhân vec tơ tạo thành một đại số Lie.